二次函數一般式的圖像和性質

二次函數一般式的圖像和性質第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六1．的頂點坐標是________，對稱軸是__________

2．怎樣把的圖象移動，便可得到的圖象？（h，k）

復習提問直線x＝h

第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六3．的頂點坐標是

，對稱軸是

．(－2，－5)

直線x＝－2

4．在上述移動中圖象的開口方向、形狀、頂點坐標、對稱軸，哪些有變化？哪些沒有變化？有變化的：拋物線的頂點坐標、對稱軸，沒有變化的：拋物線的開口方向、形狀

第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六我們復習了將拋物線向左平移2個單位再向下平移5個單位就得到的圖象，將化為一般式為，那么如何將拋物線的圖像移動，得到的圖像呢？新課

的圖象怎樣平移就得到那么一般地，函數的圖象呢？

第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六1．用配方法把化為的形式。

的形式，求出頂點坐標和對稱軸。例1用配方法把化為解：

頂點坐標為（－3，－2），對稱軸為x＝－3第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六答案：，頂點坐標是(1，5)，對稱軸是直線x＝1．

的形式，求出頂點坐標和對稱軸。練習1

用配方法把化為第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

的方法和我們前面學過的用配方法解二次方程

“”類似．具體演算如下：化為的形式。2．用公式法把拋物線把變形為第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六所以拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線。第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

的形式，求出對稱軸和頂點坐標．例2

用公式法把化為解：在中，，∴頂點為（1，－2），對稱軸為直線x＝1。第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

的形式，并求出頂點坐標和對稱軸。答案：，頂點坐標為（2，2）對稱軸是直線x＝2練習2

用公式法把化成第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六3．圖象的畫法．步驟：1．利用配方法或公式法把化為的形式。2．確定拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標。3．在對稱軸的兩側以頂點為中心左右對稱描點畫圖。第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

的圖像，利用函數圖像回答：例3

畫出(1)x取什么值時，y＝0？(2)x取什么值時，y＞0？(3)x取什么值時，y＜0？(4)x取什么值時，y有最大值或最小值？第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六分析：我們可以用頂點坐標公式求出圖象的頂點，過頂點作平行于y軸的直線就是圖象的對稱軸．在對稱軸的一側再找兩個點，則根據對稱性很容易找出另兩個點，這四個點連同頂點共五個點，過這五個點畫出圖像．第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(1)用頂點坐標公式，可求出頂點為(2，2)，對稱軸是x＝2.(2)當x＝1時，y＝0，即圖象與x軸交于點(1，0)，根據軸對稱，很容易知道(1，0)的軸對稱點是點(3，0)．又當x＝0時，y＝－6，即圖象與y軸交于點(0，－6)，根據軸對稱，很容易知道(0，－6)的軸對稱點是點(4，－6)．用光滑曲線把五個點(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)連結起來，就是的圖象。

第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六解：列表xy22100－6304－6…………第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由圖像知：當x＝1或x＝3時，

y＝0；(2)當1＜x＜3時，

y＞0；(3)當x＜1或x＞3時，

y＜0；(4)當x＝2時，

y有最大值2。xy第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六練習3畫出的圖像。x…－10123…y…52125…第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六x=1y=x2－2x＋2第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

（3）開口方向：當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下。4．二次函數的性質：（1）頂點坐標（2）對稱軸是直線第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六如果a＞0，當時，函數有最小值，如果a＜0，當時，函數有最大值，（4）最值：第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六①若a＞0，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小。②若a＜0，當時，y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大。（5）增減性：第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

與y軸的交點坐標為（0，c）(6)拋物線與坐標軸的交點①拋物線②拋物線與x軸的交點坐標為，其中為方程的兩實數根第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

與x軸的交點情況可由對應的一元二次方程(7)拋物線的根的判別式判定：①△＞0有兩個交點拋物線與x軸相交；②△＝0有一個交點拋物線與x軸相切；③△＜0沒有交點拋物線與x軸相離。第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六例4已知拋物線①k取何值時，拋物線經過原點；②k取何值時，拋物線頂點在y軸上；③k取何值時，拋物線頂點在x軸上；④k取何值時，拋物線頂點在坐標軸上。第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

，所以k＝－4，所以當k＝－4時，拋物線頂點在y軸上。

，所以k＝－7，所以當k＝－7時，拋物線經過原點；②拋物線頂點在y軸上，則頂點橫坐標為0，即解：①拋物線經過原點，則當x＝0時，y＝0，所以第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

，所以當k＝2或k＝－6時，拋物線頂點在x軸上。③拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即③拋物線頂點在x軸上，則頂點縱坐標為0，即，整理得，解得：④由②、③知，當k＝－4或k＝2或k＝－6時，拋物線的頂點在坐標軸上。第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六所以當x＝2時，。解法一（配方法）：例5當x取何值時，二次函數有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六因為所以當x＝2時，。因為a＝2＞0，拋物線有最低點，所以y有最小值，

總結：求二次函數最值，有兩個方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六又例6已知函數，當x為何值時，函數值y隨自變量的值的增大而減小。解法一：，

∴拋物線開口向下，

∴

對稱軸是直線x＝－3，當

x＞－3時，y隨x的增大而減小。

第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六解法二：，∴拋物線開口向下，∴對稱軸是直線x＝－3，當x＞－3時，y隨x的增大而減小。第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六例7已知二次函數的最大值是0，求此函數的解析式．第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六解：此函數圖象開口應向下，且頂點縱坐標的值為0．所以應滿足以下的條件組．由②解方程得所求函數解析式為。第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

相等，則形狀相同。(1)a決定拋物線形狀及開口方向，若①a＞0開口向上；5．拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0開口向下。第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六5．拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同決定拋物線對稱軸的位置，由于拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線③若a，b異號對稱軸在y軸右側。，故①若b＝0對稱軸為y軸，②若a，b同號對稱軸在y軸左側，第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六5．拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小決定拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交點的位置。當x＝0時，y＝c，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸有且只有一個交點(0，c)，①c＝0拋物線經過原點；②c＞0與y軸交于正半軸；③c＜0與y軸交于負半軸。第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六例8已知如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六分析：已知的是幾何關系(圖形的位置、形狀)，需要求出的是數量關系，所以應發(fā)揮數形結合的作用．第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六解：(1)因為拋物線開口向下，所以a＜0；判斷a的符號第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(2)因為對稱軸在y軸右側，所以，而a＜0，故b＞0；判斷b的符號第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(3)因為x＝0時，y＝c，即圖象與y軸交點的坐標是(0，c)，而圖中這一點在y軸正半軸，即c＞0；判斷c的符號第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(4)因為頂點在第一象限，其縱坐標