數值計算方法三次樣條插值演示文稿

數值計算方法三次樣條插值演示文稿當前第1頁\共有68頁\編于星期五\0點（優(yōu)選）數值計算方法三次樣條插值當前第2頁\共有68頁\編于星期五\0點4.4.1分段插值當前第3頁\共有68頁\編于星期五\0點分段線性插值當前第4頁\共有68頁\編于星期五\0點分段線性插值當前第5頁\共有68頁\編于星期五\0點分段線性插值當前第6頁\共有68頁\編于星期五\0點缺點：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在當前第7頁\共有68頁\編于星期五\0點分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢必加大摩擦系數，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。當前第8頁\共有68頁\編于星期五\0點分段三次Hermite插值當前第9頁\共有68頁\編于星期五\0點分段三次Hermite插值算法當前第10頁\共有68頁\編于星期五\0點例題當前第11頁\共有68頁\編于星期五\0點例題當前第12頁\共有68頁\編于星期五\0點4.4.2三次樣條插值當前第13頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第14頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第15頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第16頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第17頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第18頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第19頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第20頁\共有68頁\編于星期五\0點當前第21頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第22頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第23頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第24頁\共有68頁\編于星期五\0點三次樣條插值當前第25頁\共有68頁\編于星期五\0點例題例4.4.1已知函數y=f(x)的數表如下表所示。

求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529當前第26頁\共有68頁\編于星期五\0點解做差商表(P111),由于是等距離節(jié)點,當前第27頁\共有68頁\編于星期五\0點由第二類邊界條件得當前第28頁\共有68頁\編于星期五\0點解方程得將Mi代入式4.4.14)得當前第29頁\共有68頁\編于星期五\0點由于故

當前第30頁\共有68頁\編于星期五\0點4．5曲線擬合的最小二乘法插值法是用多項式近似的表示函數,并要求在他們的某些點處的值相擬合.同樣也可以用級數的部分和作為函數的近似表達式.無論用那種近似表達式,在實際應用中都要考慮精度,所以我們給出最佳逼近的討論.當前第31頁\共有68頁\編于星期五\0點4.5.1最佳平方逼近定義4.5.1設稱為函數在區(qū)間[a,b]上的內積.

其中為區(qū)間[a,b]上的權函數,且滿足下面兩個條件:當前第32頁\共有68頁\編于星期五\0點容易驗證,上述定義的函數內積滿足一般內積概念中四條基本性質.當前第33頁\共有68頁\編于星期五\0點內積的性質當前第34頁\共有68頁\編于星期五\0點函數的歐幾里得范數定義4.5.2設稱為函數f(x)的歐幾里得范數,或2范數.當前第35頁\共有68頁\編于星期五\0點函數的歐幾里得范數性質當前第36頁\共有68頁\編于星期五\0點線性相關的函數系定義4.5.3設函數,如果存在一組不全為零的數使成立,則稱函數系是線性相關的,否則稱是線性無關的.當前第37頁\共有68頁\編于星期五\0點線性相關的函數系的判定定理4.5.1函數在區(qū)間[a,b]上線性相關的充分必要條件是Gramer行列式當前第38頁\共有68頁\編于星期五\0點不難證明在R上線性無關.定理的等價說法是:函數系線性無關的充分必要條件是Gramer行列式.當前第39頁\共有68頁\編于星期五\0點最佳平方逼近定義4.5.4設函數及函數系且線性無關.記為連續(xù)函數空C[a,b]的子空間,如果存在元素滿足當前第40頁\共有68頁\編于星期五\0點則稱為f(x)在上的最佳平方逼近函數.且其中是法方程唯一的一組解.當前第41頁\共有68頁\編于星期五\0點令則誤差為當前第42頁\共有68頁\編于星期五\0點特例取則法方程為其中當前第43頁\共有68頁\編于星期五\0點例題例4.5.1設求f(x)在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式.解設由于當前第44頁\共有68頁\編于星期五\0點故法方程為解得當前第45頁\共有68頁\編于星期五\0點平方誤差為當前第46頁\共有68頁\編于星期五\0點4.5.2對離散數據的曲線擬合最小二乘法曲線擬合問題對于f(x)插值問題,要想提高精度,就要增加節(jié)點,因此多項式的次數也就太高,計算量過大,而節(jié)點少,多項式的次數低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點利用最小二乘法確定低次多項式近似表示f(x),這就是曲線擬合問題.當前第47頁\共有68頁\編于星期五\0點在科學實驗中,得到函數y=f(x)的一組實驗數據:,求曲線與實驗數據誤差在某種度量意義下最小.當前第48頁\共有68頁\編于星期五\0點設是[a,b]上一組線性無關的連續(xù)函數系,令記誤差.為尋求我們常以誤差加權平方和最小為度量標準,即當前第49頁\共有68頁\編于星期五\0點達到極小值,這里是[a,b]上的權函數.類似前述最佳平方逼近方法,有多元函數極值必要條件有當前第50頁\共有68頁\編于星期五\0點用向量內積形式表示,上式可記上式為求的法方程組,其矩陣的形式為當前第51頁\共有68頁\編于星期五\0點其中由于向量組是線性無關,故式(4.5.14)的系數行列式當前第52頁\共有68頁\編于星期五\0點故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函數f(x)的最小二乘解其平方誤差為當前第53頁\共有68頁\編于星期五\0點特例當前第54頁\共有68頁\編于星期五\0點例題例4.5.2設函數y=f(x)的離散數據如下表所示試用二次多項式擬和上述數據,并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718當前第55頁\共有68頁\編于星期五\0點解由式(4.5.16)可得解方程組得所以擬合二次函數為當前第56頁\共有68頁\編于星期五\0點平方誤差為當前第57頁\共有68頁\編于星期五\0點例4.5.3地球溫室效應問題下表統(tǒng)計了近100年內地球大氣氣溫上升的數據.試根據表中數據建立一數學模型即擬和曲線,并根據這一模型,預報地球氣溫何年會比1860年的平均溫度高當前第58頁\共有68頁\編于星期五\0點年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08當前第59頁\共有68頁\編于星期五\0點解為簡化數據,從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴大100倍,根據新數據繪制圖4.5.1(P119)當前第60頁\共有68頁\編于星期五\0點從圖可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數函數增長過程,因此,可以假設t與n滿足指數函數關系為決定參數α,β將上式改寫成當前第61頁\共有68頁\編于星期五\0點記則有這是已知數據相應地變?yōu)槿缦卤硭緉1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32當前第62頁\共有68頁\編于星期五\0點由式(4.5.16),取n=1,m=10,并將上表已知數據帶入得解方程組得:當前第63頁\共有68頁\編于星期五\0點相應的t與n的指數型擬合曲線關系為就是所求地球溫室效應的指數函數的數學模型,以此進行預報,即已知t值求當前第64頁\共有68頁\編于星期五\0點以地球氣溫比1860年上升為例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)當前第65頁\共有68頁\