(完整版)四邊形題型歸納

#/19(2)設(shè)AE=EF=x,在RtABEF中，BE=4-x,BF=DB-AF3:-4:=5-'.BF=5-3=￡3??用+22=(4-X)2?七在肌△在肌△ADE中，二|3(3)連接DE,BF,VEF丄DB,且平分DBAOB=ODVDC#ABAZFDO=ZEBO,ZDFO=ZBEO.?.△DOF9ABOE???OF=OE???四邊形DEBF是平行四邊形VBD丄EF?：平行四邊形DEBF是菱形???DE=EB,AE=4-DE在RtAADE中,DE^=AD^+(4-DE)^ADE=2582513x==x5xEF8215.??EF=-44.設(shè)FE二AE二st,DE=3-3!,EP=EA=4J^RtAECF中，匚F二抨二^二J7在RtADEF中，DE2+DF2-EF2(3-k)卞4-【例9】(1)=6(2)當(dāng)AP+BQ=25時(shí)，PQ把梯形ABCD分成面積相等的兩部分,1即t+(26-3t)=25,解得:t=2(3)如圖，過點(diǎn)D作DE丄BC,則CE=BC-AD=2亡陀.當(dāng)CQ—PD=4時(shí)，四邊形PQCD是等腰梯形.即3藝一(24—上)=4.:=7._4(4)片=2“_§,^=3【變式2】(1)t=2

(2)①P未到達(dá)C點(diǎn)時(shí)②P到達(dá)C點(diǎn)并返回時(shí)(2)①P未到達(dá)C點(diǎn)時(shí)②P到達(dá)C點(diǎn)并返回時(shí)8-t=10-2t8-t=2t-10t=2t=6⑶①如圖，若PQ=PD過P作PE丄AD于E,則QD=8-t,AE=AQ^QE=L+——.0.AE=BP2

g"t=-……言屮3②如圖，若?過R作QF丄E笛于砂則二迫」二卻在取△°F嚴(yán)中，由勾股定?得］"Q護(hù)+護(hù)二Q宀珈卩JRjg4■?亠1或w曲是勰三霰101【例10】(1)證明：連接BDTE、H分別是AB、AD的中點(diǎn),.?.EH是厶ABD的中位線.??EH=龍BD,EH〃戈BD

同理得FG=2BD,FG//2BD.??EH=FG,EH〃FG???四邊形EFGH是平行四邊形（2）填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形（3）中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系來決定的.【例11】解：（1）菱形的一條對(duì)角線所在的直線。（或菱形的一組對(duì)邊的中點(diǎn)所在的直線或菱形對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線）。（2）三角形一邊中線所在的直線。（3）方法一：取上、下底的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線得梯形的二分線（如圖1）方法二：過A、D作AE丄BC,DF丄BC，垂足E、F,連接AF、DE相交于0,過點(diǎn)0任意作直線即為梯形的二分線（如圖2）【變式3】（1）如圖2,過點(diǎn)尸作陽(yáng)丄血衛(wèi)丄町円丄昭刃丄皿?：EP平分Z.DEC,PJ=PH同理PG=P1.?.尸是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)..?.尸是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn).(2)8E3C1)Gg]3(2)團(tuán)4平行四邊形對(duì)角線AC^BD的交點(diǎn)珥就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖(2)8E3C1)Gg]3(2)團(tuán)4或者取平行四邊形兩對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)蚪就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖3(2)；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)衛(wèi)就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)?如圖4.(3)真；真；假.(各1分，若出現(xiàn)打“V”“X”或?qū)憽皩?duì)”“錯(cuò)”同樣給分.)【變式4】(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2)此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，.?.△ABC的“友好矩形”的面積相等.(3)此時(shí)共有3個(gè)友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S,設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1，L2,L3,△ABC的邊長(zhǎng)BC=a，CA=b，AB=c，則:2S2SJSLq=—+2a)Lg二丁十2ti?L3=—+2c).■.L-i-L2=(—-(藝十2七)二一空(a-b)+2(a-b)=2(a-b)■■'■Li-L2>0-即Li$Lr(a-b)+2(a-b)=2(a-b)■同理可得，L2>L3-abSdi)￡AD???"最小，即^ABHK的周辰最小.abSdi)￡AD課后練習(xí)：1、4n2、解：(1)四邊形EFGH是正方形，證明：???四邊形ABCD是正方形，AZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=DA,HA=EB=FC=GD,.??AE=BF=CG=DH,.?.△aeh^△BFE^^CGF^^DHG,.??HE=EF=FG=GH,???四邊形EFGH是菱形，由厶DHG^^AEH知ZDHG=ZAEH,*/ZAEH+ZAHE=90°,.??ZDHG+ZAHE=90°,.??ZGHE=90°,???四邊形EFGH是正方形；(2)1。3、解：(1)正確.證明：在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC，連接ME..??BM=BE,.??ZBME=45°,.??ZAME=135°,CF是外角平分線，.??ZDCF=45°,.??ZECF=135°,.\ZAME=ZECF,VZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,.\ZBAE=ZCEF,.△AME^AECF(ASA),???AE=EF.(2)正確.證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N.使AN=CE，連接NE..??BN=BE,AD■nQ￡AD■nQ￡EC:GTCF平分ZD