江蘇省2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月度檢測試題pdf含解析

#(本題滿分12分)在aSBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a-bcosC=JicsinB.⑴求B;⑵若a=2,且△ABC為銳角三角形，求aABC的面積S的取值范圍.(本題滿分12分)己知數(shù)列｛福滿足角=1,知=!，[3+(-1)"]%2一2%+2[(-1)"一1]=0/eV.令如=%_1，判斷｛々｝是否為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛九｝的通項公式；記數(shù)列｛吳的前2n項和為農(nóng)，求4“.(本題滿分12分)如圖，在三棱臺如C-481G中，底面棚C是等腰三角形，且8C=8,AB=AC=5,。為BC的中點.側(cè)面BCq句為等腰梯形，且片弓=。弓=4,M為職的中點.證明：平面4BC丄平面AOM記二面角A-BC-B.的大小為。，當時，求直線8耳與平面AAXCXC62所成角的正弦的最大值.(本題滿分12分)己知函數(shù)f(x)=x]nx-x-a,aeR當G=1時，求函數(shù)在(1,/(1))處的切線方程:若函數(shù)f(x)有兩個零點xt,x2.(x,<x2)求。的取值范圍；求證：xl+x2<a+3.

2022-2023學(xué)年秋學(xué)期高三年級第一次月度檢測試卷

數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）已知集合/<={1,2,3},5=jxl^<0,xez|,貝（ ）A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{0.1,2）【答案】C【解析】【分析】化簡集合B,利用并集概念及運算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得：8={同平W0,xez}={l,2}又』={1,2,3}B={1,2,3}故選：C己知復(fù)數(shù)z的共軸復(fù)數(shù)z=—,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）3-iA.第--象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運算法則計算后根據(jù)共軸復(fù)數(shù)概念得z,再由幾何意義得對應(yīng)點坐標，從而得結(jié)論.【詳解】2+i=（2+i）（3+i）【詳解】2+i=（2+i）（3+i）5+5i_1丄.3^T~（3-i）（3+i）~故日在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為修,一!），位于第四象限.故選：D.某圓錐體積為1,用-個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到-個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為：，則該圓臺體積為（ ）3一3一4

B.V22【答案】A【解析】【分析】設(shè)小錐體的底面半徑為，?，大錐體的底面半徑為2r,小錐體的高為人，大錐體的高為為2力，通過表示大圓錐和小圓錐體積，作差可得圓臺體積.【詳解】設(shè)小錐體的底面半徑為，?,大錐體的底面半徑為2尸，小錐體的高為力，大錐體的高為為2h,則大圓錐的體積即為丄力（2尸）2?2h=l,整理得-7rr2-h=-,3 3 8即小圓錐的體積為丄17所以該圓臺體積為1——=一88故選：A.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長.如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進該處一井內(nèi)而得到證明的）.同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2.因太陽距離地球很遠，故可把太陽光線看成是平行的.埃拉托斯特尼從商隊那里知道兩個城市間的實際距離大概是5000斯塔蒂亞，按埃及的長度算，1斯塔蒂亞等于157.5米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（ ）

亞歷山大城41200千米D.42192千米亞歷山大城41200千米D.42192千米【答案】B【解析】【分析】由題意可將賽伊尼和亞歷山大城之間的距離看作圓心角為7.2。的扇形的弧長，由此可計算地球半徑，進而求得地球周長.【詳解】由題意可知，賽伊尼和亞歷山大城之間的距離可看作圓心角為7.2的扇形的弧長,77設(shè)地球半徑為尸，則5000x157.5=—tit,1801QQ?.?地球周長為2財=2x5000x157.5x——=39375000（米）=39375（千米）,7.2故選：B.已知等比數(shù)列杞”｝的前〃項和為S“,若$=4,$6=12,則§2=A.32 B.28 C.48 D.60答案D在三棱錐P-ABC中，盤BC是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC,E,P分別是以，/IB的中點，且CE丄EF,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（ ）A.6勿 B.12〃 C.24勿 D.36勿【答案】A【分析】取北中點0連接P0BQ,根據(jù)線面垂直的判定定理，可證化丄平面時0即可得PBLAC,結(jié)合題點:，換據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理，可證丄兒，同理P8丄PC,將P-ABC補成一個正方體，根據(jù)條件，求得正方體邊長，根據(jù)正方體體對角線為外接球直徑，即可求得外接球半徑尸，即可得答案.【詳解】取4C中點0，連接P0BQ,如圖所示因為用=PC,Q^AC中點，所以PQ1AC,又△/!3C是正三角形，所以BQJ.AC,又PQC\BQ^Q,PQ,BQu平面8尸0所以4C丄平面時0又PBu平面BPQ,所以PBLAC,因為E,尸分別是用，的中點所以EF為^PAB中位線，所以EF//PB又因為丄恁，所以丄CE,^.CE^\AC=C,所以P8丄平面PAC,所以丄P/1,同，PB1PC,則以，PB,PC兩兩垂直如圖將P-ABC補成一個正方體，如圖所示，由題意得：AB=AC=BC=2,貝\\PA=PB=PC=整,又正方體的體對角線為外接球的直徑，

所以外接球半徑r=蟲巫y+應(yīng)'+（廁=V6,2 2所以S=47T/-2=6tt，故選：A.【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定、性質(zhì)定理，并靈活應(yīng)用，對于側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，外接球即為所在正方體的外接球，考查空間想象能力，屬中檔題.

如圖，在矩形/CD中，AC,8Q相交于點0,BFLAC,DHLAC,AELBD,

函飛項+斜花=恥斜（奸爾=淄說+丘1訕CG丄BD,BE=——BO>則BF=（ ） A.CG丄BD,BE=——BO>則BF=（ ） A.小"B. 10 c.fD. 【鮮析】【分析】利用平面向量的線性運算和平面向量基本定理即可求解. 【詳解】解：be=§b3顯然BE=DG,BO=OD*D, 所以BG=\2—- 2—-5+^5—-.?聲""故選：D.設(shè)a=c°02-1>/>=2(e°""-1),c=sin0.01+tan0.01,則(A.a>b>ca>c>bA.a>b>cD.b>c>aC-c>a>b【答案】AD.b>c>a【詳解】^a-b=e002-2e001+1=(e001-1)2>0,所以a>b.設(shè)/W=2(ex一l)-sinx-tanx,則r(x)=2e'—cosx-一，cosX令g(x)=f\x),則g'(x)=2ex+sinX-類學(xué).所以g‘（x）＞o,所以當時，r（x）＞r（o）=o,所以_/'（》）在”0，親）上單調(diào)遞增,從而/（x）＞/（0）=0,因此_/（0.01）＞0,即方〉c.綜上可得a＞b＞c.故選：A二、多項選擇題（共4小題，每題5分，全部選對得5分，部分選對得2分，共20分）

設(shè)復(fù)數(shù)z,=V3+i,z2=x+yi（,x,yeR）,而％對應(yīng)的向量分別為QZ[,OZ；（。為坐標原點），則（ ）B.若宓〃。方；，則屈+*=0D.若B.若宓〃。方；，則屈+*=0D.若|Z2+Z||<JL則億_21|的最大值為3占若。耳,丄。2；,則Z|Z2=0【答案】AD【解析】【分析】對A,根據(jù)模長公式求解即可;對B,根據(jù)向量平行的坐標公式求解即可;對C,根據(jù)向量垂直的坐標公式求解x，必的關(guān)系，再求解Z,即可;對D,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合求解即可己知函數(shù)/（x）=2sinLx+^（6y>0）,則下列說法正確的是（ ）若函數(shù)/W的最小正周期"則其圖象關(guān)于直線x=?對稱O若函數(shù)/（X）的最小正周期為勿，則其圖象關(guān)于點（導(dǎo),0）對稱若函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,號）上單調(diào)遞增，則口的最大值為2若函數(shù)/（x）在[0,2材有且僅有5個零點，則口的取值范圍是-<?<—8 8【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)最小正周期可以計算出口，便可求出對稱軸和對稱點，可判斷A、B選項；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可以推出刃的值，可判斷C選項；根據(jù)零點情況可以求出勿的取值范圍，可判斷D選項.【詳解】A選項：v/（x）的最小正周期為〃

.'.(o=2V2sin—.'.(o=2V2sin—=y/22故A正確;B選項:v/(x)的最小正周期為勿G)=2.../修)=屈』2.蘭+n.n.../修)=屈』2.蘭+n.n8'7V2sin|=V2^0,故B錯誤;C選項：?,0“攵*+普剝+5又函數(shù)/(x)在〔0,勺上單調(diào)遞增TOC\o"1-5"\h\zn n n:.—CD+—<—7i_n—,2兀0)7i_n—,2兀0)——4 4D選項：a:e[0,2tt]a)x+^e又y(x)在［0,2^］有且僅有5個零點，則5〃《2物+?<6勿,.?.與〈學(xué)，故D正確.4 8 8故選：ACDIL如圖，在三棱錐A-BCD中，如丄平面BCD,BCA.CD,BELAC,E^垂足點，F(xiàn)為BD中點，則下列結(jié)論正確的是( )A.若/1C的長為定值,則該三棱錐內(nèi)切球的半徑也為定值A(chǔ).若/1C的長為定值,則該三棱錐內(nèi)切球的半徑也為定值B.若的長為定值,則該三棱錐外接球的半徑也為定值C.若8。的長為定值,C.若8。的長為定值,則的長也為定值若CD的長為定值，則中.血的值也為定值【答案】BCD【解析】【分析】對于A,將三棱錐補形成長方體，易知該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，4。為外接球的直徑，即可判斷；對于B,假設(shè)內(nèi)切球的球心為。，通過圖形特征假設(shè)兩種情況，保持4C的長…樣，求出各自情況的內(nèi)切球的半徑即可判斷；對于C和D,建立空間直角坐標系進行向量的坐標運算，即可判斷【詳解】解：對于A,將三棱錐補形成長方體，易知該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，對于B,因為ABL平面BCD,CD,BDu平面BCD,所以ABLCD、AB丄BD,因為8C丄CD,BCcAB=B,BC,/fBu平面ABC,所以CD丄平面ABC,因為』Cu平面XBC,所以CDLAC,假設(shè)內(nèi)切球的球心為O,第一種情況不妨假設(shè)AC=5,AB=3,BC=4,CD=4,=4損，此時內(nèi)切球的半徑為*，根據(jù)匕一網(wǎng)="_.風(fēng)+"一徹+知e+Uy，即:xS.gx/B=(xSmcX*+：xSsdx*+：xS*DX*+^X\fiCDX/1>—x4x4x3=—x3x4xr+—x3x4>/2xr+—x5x4xk+—x4x4xr,2 2 12 12 '2 1解得*=號色；第二種情況不妨假設(shè)AC=5,AB=3,BC=4,CD=3,BD=5,此時內(nèi)切球的半徑為如根據(jù)^A-BCD=^OABC+^O-ABD+^O-ACD+"-BCD'?lJ^x5^CDx/Jfi=lxSA^cx^+ixSA^Dx^+lxS^CDx^+lx5AZ?CDx^,

—x4x3x3=—x3x4xn+—x3x5xr,4-—x5x3xn+—x4x3xn2 2 22 22 2 22解得％=；，綜上所述，當SC的長為定值，三棱錐內(nèi)切球的半徑不為定值，故錯誤;對于C和D,以C點為原點建立空間直角坐標系，如圖所示,因為E在4C上，所以設(shè)E0k.2b,k.2c),則BE=(0,(k-l)-2b,k-2c)因為BELAC,所以元丄枝，所以旎枝=(A-l)(?)2+A(2c)2=0,解得k=-^-T，b~+c所以當8。的長為定值時，EF的長也為定值；當CD的長為定值，則京.宓的值也為定值,故C,D正確，故選：BCD設(shè)〃如，正項數(shù)列低｝滿足X3（0,l）,%s-x“l(fā)nx,=l,下列說法正確的有（ ）玉為低｝中的最小項晚為｛x“｝中的最大項存在X]e(O,i),使得xt,x2,x3成等差數(shù)列存在x3(0,l),〃eN',使得x?,x?tl,x,1+2成等差數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】由■Vx,E-x,,?ln%=l可得xn+i=-+\nxn，故構(gòu)造/(x)=l+lnx,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，X” X不難發(fā)現(xiàn)是最小的項；在構(gòu)造g(x)=/(x)-.r=^-+InA--x,為了比較工2之后每一項與前一項的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可是最大的項，易得BCD選項的對與錯【詳解】解：由，叫.|一毛?1"(1=1可得x,,,|=L+lnx“Xn令/'(x)=L+lnx,f\x)= +-=^-^x xxx當x..l,/'(x)>0,/(x)遞增：當x< <O,f(x)遞減且/(l)=l+lnl=l,.-./U)..lVX,G(0,1),/.x2=/(X,)>l,x3=f(x2)> =f(xn)>1,.-.X,是最小的項；所以A正確令g(x)=/(x)-x=—+lnx-x,x..lX，/、 ]I1~X+x—]?g(x)= -+——1= 2 <0,XX X??-g(x)在區(qū)間內(nèi)遞減，g(x),,0,X3-X2<0即*3<；X4-X3<0即X4<*3Lx,+|-x"<0即xqx,,所以，綜上所述，呵是最大的項，所以B正確，由于圣是最小的項，入2是最大的項，則不可能使得X?x2,x3成等差數(shù)列，故C錯誤；由C知，x?x2,x3不成等差數(shù)列，當時,

因為X”,I<,所以g(xn+1)>g(x?),則一一In七,i->-—-Inxn-xn,Xn+\ XnXgfd，所以不存在成等差數(shù)列，故D錯誤故選：AB三、壊空題過點(1,2)作直線3x+4、-25=0的垂線，則垂線方程為一答案：y=-x+-'3 34 1已知a+2b=\(a,b>0~),則+了的最小值為 a+bb【答案】9【解析】【分析】4 1根據(jù)a+2b=\,利用"V的代換，將--+7轉(zhuǎn)化為a+bbWT+：=|<WT+?|S+b+切=5+芝+哮，利用基本不等式求解.a+bh\a+bb) a+bb【詳解】因為a+2b=l,所以a+b+h=l,所以-+-所以-+-a+bb訂加5=5土胃g馬邛=9,當且僅當其=嘩，即a=《b=\時，取等號.a+bb 3 34 1所以一土+!的最小值為9.a+hb故答案為：9將函數(shù)*=3sin(2x+；)的圖象向右平移￡個單位長度，則平移后的圖象中與火軸最近的4 6對稱軸的方程是▲【解析】y=3sin[2（x一親）+十=3sin（2x-習(xí)2x-—=—+k兀(kgZ)/.x=—+—(ZrgZ)122 24 2當k=-\時工=一気.故答案為：X=-|^己知/(x)是定義域為R的函數(shù)，f(x-2)為奇函數(shù)，/'(2工一1)為偶函數(shù)，則16￡/(，?)=—./=0【答案】0【解析】【分析】依題意可得/(X)關(guān)于直線x=-\對稱、關(guān)于點(-2,0)對稱且時周期為4的周期函數(shù)，再求出/(1)+/(3)=0,/(2)+/(4)=0，即可得解.【詳解】解：因為/(2x-1)為偶函數(shù),所以/(-2x-l)=/(2x-l),所以/(-x-l)=/(x-l),即/?(—X—2)=/'(x),則/'(X)關(guān)于直線x=-\對稱，因為/(X—2)為奇函數(shù)，所以/(x-2)=-/(-x—2),所以/(X)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱，所以f(x-2)=-f(-x-2)=-f(x),則/(x-4)=-/(x-2)=/(x),所以」(x)是周期為4的周期函數(shù)，由f(x-2)=-f(-x-2)=-f(4-x-2)=-f(2-x),即/'(力=一/(一工)，所以/(x)為奇函數(shù)，又/⑴是定義域為R的函數(shù)，所以/(0)=0,在/'(x—2)=—/'(X)中，令x=—1,所以/(-3)=-/(-0=/(1)=-/(3).所以/(1)+/(3)=0,在/(X—2)=/(-x)中，令x=-2,所以/(-4)=/(2)=-/■⑷,所以/(2)+/(4)=0,18.18.（本題滿分12分）所以/⑴+/（2）+/⑶+/（4）=0,所以E/（0=/（0）+4[/（l）+/⑵+/⑶+/⑷〕=0.i=0故答案為：0（本題滿分10分）己知直線（1-小+（1+。）*+3“-3=0（"￡R）.（1） 求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點P；（2） 經(jīng)過點P有一條直線/,它夾在兩條直線/,:2x-y-2=0與4：x+y+3=0之間的線段恰被P平分，求直線/的方程.17.⑴證明：將直線/的方程改寫為（-x+y+3）a+（x+y-3）=0,令-x+*+3=0,且x+*-3=0,兩式聯(lián)立，解得x=3,y=O,所以直線過定點尸（3,0）.（2）設(shè)直線/夾在直線"，匕之間的部分是"，且快被P（3,0）平分,設(shè)點B的坐標分別是（氣，坊），（才2，*2），則有X|+*2=6,*1+巧=0,又4,3兩點分別在直線4，4上,所以2囘一*］一2=0,易+*2+3=0,由以上四個式子解得X,=y,由以上四個式子解得X,=y,凹16nn/II16七'即4亍5所以直線如的方程為8工-*-24=0.已知向量a=(1,-a/3)-b=(sinx,cosx)-/(x)=a-b■2cos2--sin-1⑴若./'(。)=0,求 V^sin(9+?的值;⑵當xg[O,^-]時，求函數(shù)/Xx)的值域.18、(1)因為a=(l,->A),5=(sinx,cosx),所以/(X)=a?6=sinx-V3cosx?因為=0，所以sinQ-V^cosO=0，所以tan0=V3所以= 疽…&分sinO+cosOtanO+1V3+1(2)/(x)=sinx--\/3cosx=2sin^x-yJnIn一史T因為xe[0,?r],所以x-yg當x--=~-，即x=0時，/(X)取最小值一0；當Y弓即x=W時，加取最大值2?所以當xe[0,硏時，函數(shù)/(x)的值域為[一以,2]12分19.(本題滿分12分)在A4SC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a-bcosC=V3csinB?⑴求B；(2)若a=2，且為銳角三角形，求^ABC的面積S的取值范圍.19.(1)解：?.,“-bcosC=V^csinB，由正弦定理可得：sin=>/3sinCsinB+sinBcosC?又?.?sin/l=sin(B+C)=sin8cosC+cosBsinC,2sinCsinCtanCsinC「幣.廠—2sinCsinCtanCsinC「幣.廠—cosC+——sinC2tanC>tan；=右,右sinCsin8+sinBcosC=sinflcosC+cos8sinC，即：』3sinCsinB=sinCcosB,?/Cg(0,7T),sinC0,(2)解：(2)解：MBC為銳角三角形，所以20〈竺。芒TOC\o"1-5"\h\z6 22bc =—=C2=2,由正弦定理得一=—~~=一.-;-，即?/5 1sinC>sinAsinBsmCsin(—tf-c)—6 2S=—besinA=—besin2 2_1~43—~一+——tanC2 22tanC20己知數(shù)列｛%｝満足q=1,%=I，[3+(-!)"]a?i2-2an+2[(-l)n-1]=0,ne.(1)令bn=a2n_｝,判斷｛如｝是否為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛如｝的通項公式;(2)記數(shù)列｛a,｝的前2n項和為馬，求*

解：因為[3+(-1)"]%2- +2[(-ir-l]=0,所以[3+(-l)m]%,廠 +2[(-1)”』-1]=0,即。2”+】一。2"-1=2,又ba，所以bn+i-bn=2,所以｛々,｝以1為首項，2為公差的等差數(shù)列。所以bn=2n-\o(2)當n為偶數(shù)時,可得H即歸以,3為首項，捉公比的等比數(shù)列,當n為奇數(shù)時，所以可得。2,5-。2宀=2,所以｛ ｝以％=1為首項，2為公差的等差數(shù)列,所以=(%+%+???+%"-1)+(。2+%+?..+%)頊21如圖，在三棱臺ABC-AXB｝CX中，底面△4BC是等腰三角形，且BC=8,AB=AC=5,O為BC的中點.側(cè)面BCC[B[為等腰梯形，且fi.C,=CC｝=^M為BQ的中點.(L)證明：平面ABCX.平面AOM；(2)記二面角A-BC-B｝的大小為。，當(2)記二面角A-BC-B｝的大小為。，當時，求直線BB】與平面AA^C所成角的正弦的最大值.【解答】(1)證明：???△/L8C是等腰三角形，0為BC的中點，:.BC1AO,?.,側(cè)面BCCiBi為等腰梯形，M為BiCi的中點，:.BCVMO.'：MOHAO=O,MO,NOu平面AOM,:.BC丄平面AOM,.:BCu平面ABC,平面ABC丄平面AOM.(2)解：在平面4。"內(nèi)，作。V丄。,，?..平面43C丄平面AOM,平面ABCH平面AOM=OA,Vu平面AOM,.?.CW丄平面ABC,以08,OA,CW分別為x軸、*軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.'JMOLBC,AOLBC,:.匕AOM為二面角A-BC-B\的平面角，即ZAOM^Q,:.A(0,3,0),B(4,0,0),C(-4,0,0),M(0,2扼cos。，2扼sin。)，C\(-2,2V^cos0,2a/3sin0)?B\(2,2V3cos0,2V3sin0),

設(shè)平面AA\C\C的法向量為5=3*,z),其中3=(4,3,0),而7=(2,2必cos。.所以CA-n=0—x所以CA