新教材2023版高中數(shù)學課時作業(yè)25用余弦定理正弦定理解三角形北師大版必修第二冊

課時作業(yè)25用余弦定理、正弦定理解三角形[練基礎(chǔ)]1．海上有A、B兩個小島，相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A．10eq\r(3)nmileB．10eq\r(6)nmileC．5eq\r(2)nmileD．5eq\r(6)nmile2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，則△ABC的面積等于()A．4eq\r(3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)3．如圖，CD是一座鐵塔，線段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B兩點測得塔頂C的仰角分別為60°，45°，又測得AB＝24m，∠ADB＝30°，則此鐵塔的高度為()A．18eq\r(3)mB．120eq\r(3)mC．32mD．24eq\r(3)m4．在平行四邊形ABCD中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周長為18，則平行四邊形ABCD的面積是()A．16B．18C．20D．325．如圖，貨輪在海上以20nmile/h的速度沿著方位角(從指北方向線起順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角)為150°的方向航行．為了確定船的位置，在點B觀察燈塔A的方位角是120°，航行半小時后到達C點，觀察燈塔A的方位角是75°，則貨輪到達C點時與燈塔A的距離為________nmile.6．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形ABCD的面積S.[提能力]7．[多選題]某人在A處向正東方向走xkm后到達B處，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km到達C處，結(jié)果他離出發(fā)點恰好eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．38．在△ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，S為△ABC的面積．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(eq\r(3)，S)滿足p∥q，則C＝________.9．某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預報，位于基地南偏東60°方向，相距20(eq\r(3)＋1)nmile的海面上有一個臺風中心，影響半徑為20nmile.正以10eq\r(2)nmile/h的速度沿某一方向勻速直線前進，預計臺風中心將從基地東北方向刮過，且(eq\r(3)＋1)h后開始影響基地持續(xù)2h，求臺風移動的方向．[戰(zhàn)疑難]10．在銳角△ABC中，a、b、c分別表示為∠A、∠B、∠C的對邊，O為其外心，則O點到三邊的距離之比為()A．a(chǎn)bcB.eq\f(1,a)eq\f(1,b)eq\f(1,c)C．cosAcosBcosCD．sinAsinBsinC

課時作業(yè)25用余弦定理、正弦定理解三角形1．解析：如圖，易知∠ACB＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(6)nmile.答案：D2．解析：由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，因為0<A<π，所以A＝60°.又bc＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|·|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝eq\f(\o(AC,\s\up13(→))·\o(AB,\s\up13(→)),cosA)＝8，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).故選D.答案：D3．解析：設(shè)塔高為hm，因為∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，CD⊥AD，CD⊥BD，所以AD＝eq\f(h,tan60°)＝eq\f(h,\r(3))，BD＝eq\f(h,tan45°)＝h.在△ABD中，由余弦定理得242＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,\r(3))))2＋h2－2×eq\f(h,\r(3))×h×cos30°，解得h＝24eq\r(3).故選D.答案：D4．解析：如圖．∵周長為18，∴AB＋BC＝9.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即65＝(AB＋BC)2－2AB·BC－2AB·BCcos∠ABC＝81－2AB·BC·(1＋cos∠ABC)．①在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos(π－∠ABC)＝BC2＋AB2－2BC·AB·cos(π－∠ABC)，即17＝(BC＋AB)2－2AB·BC＋2BC·AB·cos∠ABC＝81－2AB·BC(1－cos∠ABC)．②由①＋②，得82＝81＋81－4AB·BC，∴AB·BC＝20.∵AB＋BC＝9，∴AB＝4，BC＝5或AB＝5，BC＝4.∴cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2·AB·BC)＝eq\f(25＋16－65,40)＝eq\f(－24,40)＝－eq\f(3,5)，sin∠ABC＝eq\f(4,5)，∴S平行四邊形ABCD＝AB·BC·sin∠ABC＝20×eq\f(4,5)＝16.故選A.答案：A5．解析：根據(jù)題意，可知BC＝20×0.5＝10，∠ABC＝150°－120°＝30°，∠ACB＝30°＋75°＝105°，因此可得A＝45°.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，得AC＝5eq\r(2).答案：5eq\r(2)6．解析：如圖所示，連接BD，則S＝S△ABD＋S△CBD＝eq\f(1,2)AB·ADsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.∴S＝eq\f(1,2)sinA(AB·AD＋BC·CD)＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝20－16cosA.在△CDB中，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC.∴20－16cosA＝52－48cosC.又cosC＝－cosA，∴cosA＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.∴S＝16sinA＝8eq\r(3).7．解析：由題意知∠ABC＝30°，由余弦定理得cos30°＝eq\f(x2＋9－3,6x)解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3)，故選AB.答案：AB8．解析：由p∥q，得4S＝eq\r(3)(a2＋b2－c2)，則S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，所以S＝eq\f(\r(3),4)×2abcosC＝eq\f(\r(3),2)abcosC.又由面積公式得S＝eq\f(1,2)absinC，所以eq\f(\r(3),2)abcosC＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝eq\r(3).又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．解析：如圖所示，設(shè)預報時臺風中心為B，開始影響基地時臺風中心為C，基地剛好不受影響時臺風中心為D，則B，C，D在一條直線上，且AD＝20nmile，AC＝20nmile.由題意得AB＝20(eq\r(3)＋1)nmile，DC＝20eq\r(2)nmile，BC＝10eq\r(2)(eq\r(3)＋1)nmile.在△ADC中，DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏東60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．∵∠ADC＝45°，∴臺風移動的方向為向量eq\o(CD,\s\up13(→))的方向，即北偏西45°方向．故臺風的移動方向為北偏西45°方向．10．解析：如圖，過A作⊙O的直徑AG，連接BG，設(shè)⊙O的半徑為R；∵AG是⊙O的直徑，∴∠ABG＝90°；∵OD⊥AB，∴OD∥BG；又∵O是