第八章 §8.6.1 直線與直線垂直-高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊 課件（共25張PPT）

8.6.1直線與直線垂直第八章

§8.6空間直線、平面的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助長方體，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系.2.理解并掌握異面直線所成的角.(重點)3.會求任意兩條直線所成的角.(難點)導(dǎo)語我們知道，空間中兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行直線、相交直線和異面直線.在初中，我們已經(jīng)研究了平行直線和相交直線.本節(jié)課我們一起來探究異面直線吧！一、異面直線所成的角二、直線與直線垂直隨堂演練內(nèi)容索引異面直線所成的角

一問題1平面內(nèi)兩條直線所成的角的范圍是多少？問題2如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線A′C′與直線AB，直線A′D′與直線AB都是異面直線，直線A′C′與A′D′相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？提示不同.我們可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系.知識梳理異面直線所成的角定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b結(jié)論我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則0°＜θ≤90°注意點：(1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關(guān).(3)找出兩條異面直線所成的角，要做平行移動(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.例1

如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.(2)FO與BD所成的角.如圖，連接FH，∵FB∥AE，F(xiàn)B＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.反思感悟求兩異面直線所成的角的三個步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.(2)證：證明作出的角就是要求的角.(3)計算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計算”來概括.同時注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.跟蹤訓(xùn)練1

在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.如圖所示，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.直線與直線垂直

二知識梳理如果兩條異面直線所成的角是

，那么我們就說這兩條異面直線____

.直線a與直線b垂直，記作

.直角互相垂直a⊥b注意點：兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形.例2(課本147頁例2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心.求證：AO1⊥BD.如圖，連接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴BB1綉DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形.∴B1D1∥BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角.連接AB1，AD1，易證AB1＝AD1.又O1為底面A1B1C1D1的中心，∴O1為B1D1的中點，∴AO1⊥B1D1.∴AO1⊥BD.反思感悟要證明兩異面直線垂直，應(yīng)先構(gòu)造兩異面直線所成的角.若能證明這個角是直角，即得到兩異面直線垂直.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.如圖，取CC′的中點F，連接EF，BF，∵E為AC的中點，F(xiàn)為CC′的中點，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成的角為∠BEF，在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，