高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)(理科)?？碱}型歸納

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第2頁/共2頁精品文檔推薦高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)(理科)常考題型歸納高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)(理科)?？碱}型歸納

題型一:常見概率模型的概率

幾何概型、古典概型、互相自立大事與互斥大事的概率、條件概率是高考的熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(面積，體積或長度)；互相自立大事，互斥大事常作為解答題的一問考查，也是進(jìn)一步求分布列，期望與方差的基礎(chǔ)，求解該類問題要正確理解題意，精確?????判定概率模型，恰當(dāng)挑選概率公式.

【例1】現(xiàn)有4個(gè)人去參與某消遣活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)嬉戲可供參與者挑選.為增強(qiáng)趣味性，商定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子打算自己去參與哪個(gè)嬉戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參與甲嬉戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參與乙嬉戲.(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參與甲嬉戲的概率；

(2)求這4個(gè)人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)的概率；

(3)用X，Y分離表示這4個(gè)人中去參與甲、乙嬉戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列.解依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參與甲嬉戲的概率為13，去參與乙嬉戲的概率為2

3.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參與甲嬉戲”為大事Ai(i＝0，1，2，3，4).則

P(Ai)＝Ci4????

?

13i???

??234－i.(1)這4個(gè)人中恰有2人去參與甲嬉戲的概率P(A2)＝C24????

?

132???

??232＝8

27.

(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)”為大事B，則B＝A3＋A4，且A3與A4互斥，

∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝C34????

?133×23＋C44???

??134＝1

9.

(3)依題設(shè)，ξ的全部可能取值為0，2，4.且A1與A3互斥，A0與A4互斥.則P(ξ＝0)＝P(A2)＝8

27，

P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)

＝C14????

?131

·?????233＋C34???

??133×23＝4081，P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)

＝C04???

?

?234

＋C44???

?

?134

＝17

81.

所以ξ的分布列是

【類題通法】(1)本題4個(gè)人中參與甲嬉戲的人數(shù)聽從二項(xiàng)分布，由自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，4人中恰有i人參

加甲嬉戲的概率

P＝Ci4????

?13i???

??234－i，這是本題求解的關(guān)鍵.(2)解題中常見的錯(cuò)誤是不能分清大事間的關(guān)系，選錯(cuò)概率模型，特殊是在第(3)問中，不能把ξ＝0，2，4的大事轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥大事Ai的概率和.

【變式訓(xùn)練】甲、乙兩班舉行消防平安學(xué)問比賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪競賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分離為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是23，設(shè)每人回答正確與否互相之間沒有影響，用ξ表示甲隊(duì)總得分.(1)求ξ＝2的概率；

(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率.解(1)ξ＝2，則甲隊(duì)有兩人答對(duì)，一人答錯(cuò)，

故P(ξ＝2)＝34×23×??

???1－12＋34×?????1－23×12＋???

??1－34×23×12＝1124；

(2)設(shè)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4為大事A，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高為大事B.設(shè)乙隊(duì)得分為η，則η～B??

???3，23.

P(ξ＝1)＝34×??

???1－23×?????1－12＋?????1－34×23×?????1－12＋?????1－34×?????1－23×12＝14，

P(ξ＝3)＝34×23×12＝1

4，P(η＝1)＝C13

·23·?????

132

＝2

9，

P(η＝2)＝C23·????

?232·13＝49，

P(η＝3)＝C33???

?

?233

＝827，∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＝14×827＋1124×49＋14×29＝13，P(AB)＝P(ξ＝3)·P(η＝1)＝14×29＝1

18，

∴所求概率為P(B|A)＝P（AB）P（A）

＝1

1813＝1

6.

題型二:離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題的考查，屬于中檔題.復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與把握，弄清隨機(jī)變量的全部取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對(duì)概率模型確實(shí)定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，精確?????計(jì)算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練.

【例2】甲乙兩人舉行圍棋競賽，商定先連勝兩局者直接贏得競賽，若賽完5局仍未浮現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得競賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為1

3，各局競賽結(jié)果互相自立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽的概率；

(2)記X為競賽決出勝敗時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝23，P(Bk)＝1

3，k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)

＝?????232＋13×?????232＋23×13×?????232＝5681.(2)X的可能取值為2，3，4，5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)·P(B2)＝59，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)

＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2

9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)

＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10

81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8

81.故X的分布列為

E(X)＝2×5

9＋3×

2

9＋4×

10

81＋5×

8

81＝

224

81.

【類題通法】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的普通步驟

第一步：確定隨機(jī)變量的全部可能值；

其次步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率；

第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；

第四步：求均值和方差；

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.

【變式訓(xùn)練】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客舉行嘉獎(jiǎng)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~.

(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元.求：

①顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率；

②顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)商場對(duì)嘉獎(jiǎng)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的嘉獎(jiǎng)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對(duì)均衡，請對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.

解(1)設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X.

①依題意，得P(X＝60)＝C11C13

C24＝

1

2，

即顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率為12.

②依題意，得X的全部可能取值為20，60.

P(X＝60)＝1

2，P(X＝20)＝

C23

C24＝

1

2，

即X的分布列為

所以顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝20×1

2＋60×

1

2＝40(元).

(2)按照商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元.所以，先尋覓期望為60元的可能計(jì)劃.對(duì)于面值由10元和50元組成的狀況，假如挑選(10，10，10，50)的計(jì)劃，由于60元是面值之和的最大值，

所以期望不行能為60元；假如挑選(50，50，50，10)的計(jì)劃，由于60元是面值之和的最小值，所以期望也不行能為60元，因此可能的計(jì)劃是(10，10，50，50)，記為計(jì)劃1.

對(duì)于面值由20元和40元組成的狀況，同理，可排解(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的計(jì)劃，所以可能的計(jì)劃是(20，20，40，40)，記為計(jì)劃2.

以下是對(duì)兩個(gè)計(jì)劃的分析：

對(duì)于計(jì)劃1，即計(jì)劃(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X1，則X1的分布列為

X1的數(shù)學(xué)期望為E(X1)＝20×1

6＋60×

2

3＋100×

1

6＝60(元)，

X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×1

6＋(60－60)

2×

2

3＋(100－60)

2×

1

6＝

1600

3.

對(duì)于計(jì)劃2，即計(jì)劃(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X2，則X2的分布列為

X2的數(shù)學(xué)期望為E(X2)＝40×1

6＋60×

2

3＋80×

1

6＝60(元)，

X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×1

6＋(60－60)

2×

2

3＋(80－60)

2×

1

6＝

400

3.

因?yàn)閮煞N計(jì)劃的嘉獎(jiǎng)?lì)~的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但計(jì)劃2嘉獎(jiǎng)?lì)~的方差比喻案1的小，所以應(yīng)當(dāng)挑選計(jì)劃2.

題型三:概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用

概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確熟悉和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時(shí)要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義弄清晰，在此基礎(chǔ)上把握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)辦法、各類概率的計(jì)算辦法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算.

【例3】2022年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯進(jìn)行，某高校為世界杯組委會(huì)招收志愿者，被招收的志愿者需參與筆試和面試，把參與筆試的40名高校生的成果分組：第1組75，80)，第2組80，85)，第3組85，90)，第4組90，95)，第5組95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)分離求出成果在第3，4，5組的人數(shù)；

(2)現(xiàn)打算在筆試成果較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6人舉行面試.

①已知甲和乙的成果均在第3組，求甲或乙進(jìn)入面試的概率；

②若從這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名同學(xué)被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解(1)由頻率分布直方圖知：

第3組的人數(shù)為5×0.06×40＝12.

第4組的人數(shù)為5×0.04×40＝8.

第5組的人數(shù)為5×0.02×40＝4.

(2)利用分層抽樣，在第3組，第4組，第5組中分離抽取3人，2人，1人.

①設(shè)“甲或乙進(jìn)入其次輪面試”為大事A，則

P(A)＝1－C310

C312＝

5

11，

所以甲或乙進(jìn)入其次輪面試的概率為511.

②X的全部可能取值為0，1，2，

P(X＝0)＝C24

C26＝

2

5，P(X＝1)＝

C12C14

C26＝

8

15，

P(X＝2)＝C22

C26＝

1

15.

所以X的分布列為

E(X)＝0×2

5＋1×

8

15＋2×

1

15＝

10

15＝

2

3.

【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學(xué)期望相結(jié)合，立意新穎、構(gòu)思巧妙.求解離散型隨機(jī)變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中X聽從超幾何分布.

【變式訓(xùn)練】某公司為了解用戶對(duì)某產(chǎn)品的愜意度，從A，B兩地區(qū)別別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的愜意度評(píng)分如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

(1)按照兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶愜意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)愜意度評(píng)分的平均值及簇?fù)沓潭?不要求計(jì)算出詳細(xì)值，給出結(jié)論即可)；

(2)按照用戶愜意度評(píng)分，將用戶的愜意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：

記大事C：“A

互相自立.按照所給數(shù)據(jù)，以大事發(fā)生的頻率作為相應(yīng)大事發(fā)生的概率，求C的概率.

解(1)兩地區(qū)用戶愜意度評(píng)分的莖葉圖如下

通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶愜意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶愜意度評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶愜意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶愜意度評(píng)分比較簇?fù)?

(2)記CA1表示大事：“A地區(qū)用戶的愜意度等級(jí)為愜意或十分愜意”；

CA2表示大事：“A地區(qū)用戶的愜意度等級(jí)為十分愜意”；

CB1表示大事：“B地區(qū)用戶的愜意度等級(jí)為不愜意”；

CB2表示大事：“B地區(qū)用戶的愜意度等級(jí)為愜意”，

則CA1與CB1自立，CA2與CB2自立，CB1與CB2互斥，

C＝CB1CA1∪CB2CA2.

P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).

由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分離為1620，420，1020，820，即P(CA1)＝1620，P(CA2)＝4

20，P(CB1)＝1020，P(CB2)＝820，故P(C)＝1020×1620＋820×4

20＝0.48.

題型四:統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

能按照給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解自立性檢驗(yàn)的基本思想、辦法，在挑選或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.

【例4】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：

千元)的數(shù)據(jù)資料，算得∑10

i＝1xi＝80，∑10

i＝1yi＝20，∑10

i＝1xiyi＝184，∑10

i＝1x2

i

＝720.(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y^＝b^x＋a^；(2)推斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄.附：線性回歸方程y^＝b^x＋a^中，b^＝，a^＝y(tǒng)－b^

x，其中x，y為樣本平均值.

解(1)由題意知n＝10，x＝1n∑ni＝1xi＝80

10＝8，y＝1n∑ni＝1yi

＝2022＝2，

又lxx＝∑n

i＝1x2i－nx2＝720－10×82＝80，

lxy＝∑n

i＝1xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b

^＝lxylxx

＝2480

＝0.3，a

^＝y(tǒng)－b^x＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求線性回歸方程為y^＝0.3x－0.4.

(2)因?yàn)樽兞縴的值隨x值的增強(qiáng)而增強(qiáng)(b

^＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān).(3)將x＝7代入回歸