2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市敖漢旗金廠溝梁鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市敖漢旗金廠溝梁鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若四邊形ABCD滿足，，，＜0，則該四邊形為（）A．空間四邊形 B．任意的四邊形 C．梯形 D．平行四邊形參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，結(jié)合題意得出四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角都為銳角，內(nèi)角和小于360°，是空間四邊形．【解答】解：∵四邊形ABCD滿足，即||×||cos＜，＞＜0，∴，的夾角為鈍角，同理，，的夾角為鈍角，，的夾角為鈍角，，的夾角為鈍角，∴四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角都為銳角，其內(nèi)角和小于360°，∴四邊形ABCD不是平面四邊形，是空間四邊形．故選：A．2.已知函數(shù)f(x)=sinx–2x，若，則的最大值為（

）A．

B．3

C．12

D．16參考答案：D略3.若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

參考答案：D略4.每道數(shù)學(xué)選擇題都有4個(gè)選擇支，其中只有1個(gè)選擇支是正確的．某次考試共有12道選擇題，如果每題都選擇第一個(gè)選擇支，則結(jié)果是

(

)A．恰有3道題選對(duì)

B．選對(duì)的題數(shù)與3無一定大小關(guān)系C．至多選對(duì)3道題

D．至少選對(duì)3道題參考答案：B5.如圖是“集合”的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,如果要加入“子集”,則應(yīng)該放在(

)A.“集合的概念”的下位

B.“集合的表示”的下位C.“基本關(guān)系”的下位

D.“基本運(yùn)算”的下位參考答案：C6.在△ABC中，，若，則A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，用、表示出即可.【詳解】即：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.定義算式?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中算式?：x?y=x（1﹣y），我們可得不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對(duì)任意x都成立，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的二次不等式恒成立，進(jìn)而根據(jù)二次不等式恒成立的充要條件，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵x?y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對(duì)任意x都成立，則（x﹣a）?（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立則△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要條件是a＜0，△＜0構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．8.在中，已知，那么一定是（

）A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形參考答案：B略9.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：B10.用反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個(gè)不小于”時(shí)，反設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)，，至多有兩個(gè)小于

B.假設(shè)，，至多有一個(gè)小于C.假設(shè)，，都不小于

D.假設(shè)，，都小于參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率

參考答案：12.若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：略13.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________

參考答案：14.設(shè)條件；條件，那么是的

▲條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一)．參考答案：充分不必要15.已知點(diǎn)，，直線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N，始終使，三角形的外心軌跡為曲線C，P為曲線C在一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè),,,則（

）A、

B、C、

D、參考答案：C略16.已知二次函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

____.參考答案：17.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線的虛軸，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線于，且，則雙曲線離心率是參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A．B，將直線AB向左平移p個(gè)單位得到直線l，N為l上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；（2）在（1）的條件下，求?的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；（2）設(shè)直線l的方程及N點(diǎn)坐標(biāo)和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得?的以N點(diǎn)坐標(biāo)表示的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值的方法，可求得所求的最小值．【解答】解：（1）由條件知lAB：y=x﹣，則，消去y得：x2﹣3px+p2=0，則x1+x2=3p，由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p又因?yàn)閨AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y2=4x．（2）直線l的方程為：y=x+，于是設(shè)N（x0，x0+），A（x1，y1），B（x2，y2）則=（x1﹣x0，y1﹣x0﹣），=（x2﹣x0，y2﹣x0﹣）即?=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣（x0+）（y1+y2）+（x0+）2，由第（1）問的解答結(jié)合直線方程，不難得出x1+x2=3p，x1x2=p2，且y1+y2=x1+x2﹣p=2p，y1y2=（x1﹣）（x2﹣）=﹣p2，則?=2﹣4px0﹣p2=2（x0﹣p）2﹣p2，當(dāng)x0=時(shí)，?的最小值為﹣p2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查拋物線的定義，及向量坐標(biāo)運(yùn)算．19.已知曲線C：，直線l：（t為參數(shù)）（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；（2）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．參考答案：考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程；三角函數(shù)的最值．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（1）由平方關(guān)系和曲線C方程寫出曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)t即可得直線l的普通方程；（2）由曲線C的參數(shù)方程設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P直線l的距離，利用正弦函數(shù)求出|PA|，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出|PA|的最大值與最小值．解答： 解：（1）由題意得，曲線C：，所以曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），因?yàn)橹本€l：（t為參數(shù)），所以直線l的普通方程為2x+y﹣6=0

…（2）曲線C上任意一點(diǎn)P（2cosθ，3sinθ），則點(diǎn)P直線l的距離為d==，則|PA|==|4cosθ+3sinθ﹣6|=|5sin（θ+α）﹣6|（其中α為銳角且tanα=），當(dāng)sin（θ+α）=﹣1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為，當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為

…點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，點(diǎn)到直線的距離公式，以及輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)等，比較綜合，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．20.（14分）已知圓O：x2+y2=a2（a＞0），點(diǎn)A（0，4），B（2，2）．（1）若線段AB的中垂線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）過直線AB上的點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，若∠MPN=60°，則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”．若直線AB上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），求出直線AB的斜率，AB的中垂線方程x﹣y+2=0，利用直線與圓相切，求解a即可．（2）連接PO，OM，得到圓O'的方程為x2+y2=4a2，直線AB上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，推出圓心O到直線AB的距離，求解即可．【解答】解：（1）由A（0，4），B（2，2）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），直線AB的斜率為﹣1，…..（2分）所以AB的中垂線方程為y﹣3=1×（x﹣1），即x﹣y+2=0，…..又因?yàn)锳B的中垂線與圓O相切，所以圓心O到AB中垂線的距離，即．…（6分）（2）連接PO，OM，在Rt△POM中，∠OPM=30°，OM=a，所以PO=2OM=2a，…．（8分）所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，2a為半徑的圓，記為圓O'，則圓O'的方程為x2+y2=4a2，…..（10分）又因?yàn)橹本€AB的方程為x+y﹣4=0，且直線AB上有且只有兩個(gè)“好點(diǎn)”，則直線AB與圓O'相交，所以圓心O到直線AB的距離，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．…．（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．21.已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)