2023學(xué)年完整公開課版曲線與方程

§2.1曲線與方程第二章

圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解曲線與方程的概念及其對應(yīng)關(guān)系.2.掌握求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個步驟，

感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE知識點(diǎn)一曲線的方程與方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程f

(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)

都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是

上的點(diǎn)，那么，這個方程叫做

；這條曲線叫做

.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的方程曲線方程的曲線知識點(diǎn)二求曲線方程的步驟有序?qū)崝?shù)對(x,y)P={M|p(M)}p(M)f(x,y)=0f(x,y)=0方程的解思考1

求曲線方程時，建立的坐標(biāo)系不同，所得的曲線方程相同嗎？答案不相同，但都是該曲線的方程.思考2

如果原題沒有確定坐標(biāo)系，如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？答案

通常選取特殊位置的點(diǎn)為原點(diǎn)，如線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)、直角頂點(diǎn)處等，相互垂直的直線為坐標(biāo)軸.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若曲線C上的點(diǎn)滿足方程F

(x，y)＝0，則坐標(biāo)不滿足方程F

(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線C上.(

)2.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

(x，y)＝0的解，則曲線的方程為f

(x，y)＝0.(

)3.在求曲線方程時，對于同一條曲線，建立不同的坐標(biāo)系，所得到的曲線方程也不一樣.(

)4.化簡方程“|x|＝|y|”為“y＝x”是恒等變形.(

)√××√2題型探究PARTTWO一、曲線與方程概念的解讀例1

(1)已知坐標(biāo)滿足方程f

(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么A.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程f

(x，y)＝0B.凡坐標(biāo)不適合f

(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上C.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合f

(x，y)＝0D.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合f

(x，y)＝0，有些不適合f

(x，y)＝0√(2)分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：①與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy＝5之間的關(guān)系；解

與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定滿足與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5.因此，與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy＝5.②第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程x＋y＝0之間的關(guān)系.解第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限兩軸夾角平分線上.因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x＋y＝0.反思感悟判斷方程是不是曲線的方程的兩個關(guān)鍵點(diǎn)：一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程；二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線上.跟蹤訓(xùn)練1

判斷下列命題是否正確.解

不正確.點(diǎn)(x0，y0)是這個圓上的點(diǎn).因此滿足以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).這就不滿足曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解.(2)過點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線l的方程為|x|＝2.解不正確.直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|＝2的解.然而，坐標(biāo)滿足|x|＝2的點(diǎn)不一定在直線l上，因此|x|＝2不是直線l的方程，直線l的方程為x＝2.二、曲線與方程的應(yīng)用例2

已知方程x2＋(y－1)2＝10.∴點(diǎn)P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，延伸探究本例中曲線方程不變，若點(diǎn)N(a,2)在圓外，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得a2＋(2－1)2>10，即a2>9，解得a<－3或a>3，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3)∪(3，＋∞).反思感悟判斷曲線與方程關(guān)系的問題時，可以利用曲線與方程的定義，也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷.跟蹤訓(xùn)練2若曲線y2－xy＋2x＋k＝0過點(diǎn)(a，－a)(a∈R)，求k的取值范圍.解∵曲線y2－xy＋2x＋k＝0過點(diǎn)(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0，三、求曲線的方程命題角度1直接法求曲線方程解設(shè)P(x，y)，則|8－x|＝2|PA|，化簡，得3x2＋4y2＝48，故動點(diǎn)P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48.例3

一個動點(diǎn)P到直線x＝8的距離是它到點(diǎn)A(2,0)的距離的2倍.求動點(diǎn)P的軌跡方程.延伸探究若本例中的直線改為“y＝8”，求動點(diǎn)P的軌跡方程.解設(shè)P(x，y)，則P到直線y＝8的距離d＝|y－8|，化簡，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故動點(diǎn)P的軌跡方程為4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思感悟直接法求動點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵：①建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②找出所求動點(diǎn)滿足的幾何條件.(2)方法：求曲線的方程遵循求曲線方程的五個步驟，在實(shí)際求解時可簡化為三大步驟：建系、設(shè)點(diǎn)；根據(jù)動點(diǎn)滿足的幾何條件列方程；對所求的方程化簡、說明.特別提醒直接法求動點(diǎn)軌跡方程的突破點(diǎn)是將幾何條件代數(shù)化.解由點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)對稱，得到B的坐標(biāo)為(1，－1).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，化簡得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1).命題角度2相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程解

設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，所以(2x－3)2＋4y2＝1.所以點(diǎn)P的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.例4

動點(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.反思感悟相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程的步驟(1)設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，相關(guān)動點(diǎn)M(x0，y0).(3)代入相關(guān)動點(diǎn)的軌跡方程.(4)化簡、整理，得所求軌跡方程.√解析

設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P(x，y)，∵點(diǎn)P′在曲線x2－y2＝2上，整理得xy＝－1.核心素養(yǎng)之直觀想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG由方程判斷曲線√即x2＋y2≥4，此時它表示直線x＋y－1＝0上不在圓x2＋y2＝4內(nèi)的部分；當(dāng)x2＋y2＝4時方程表示整個圓，所以方程對應(yīng)的曲線是D.素養(yǎng)提升(1)由具體的方程判斷曲線的步驟為：(2)由方程判斷曲線建立起數(shù)與形的聯(lián)系，提升數(shù)形結(jié)合能力，形成數(shù)學(xué)直觀想象的素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.若命題“曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

(x，y)＝0的解”是真命題，則下列命題為真命題的是A.方程f

(x，y)＝0所表示的曲線是曲線CB.方程f

(x，y)＝0所表示的曲線不一定是曲線CC.f

(x，y)＝0是曲線C的方程D.以方程f

(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上√12345解析“曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

(x，y)＝0的解”，但以方程f

(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定在曲線C上，故A，C，D都為假命題，B為真命題.123452.已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點(diǎn)M(2,1)A.在直線l上，但不在曲線C上

B.在直線l上，也在曲線C上C.不在直線l上，也不在曲線C上

D.不在直線l上，但在曲線C上√解析將M(2,1)代入直線l和曲線C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以點(diǎn)M既在直線l上又在曲線C上，故選B.12345解析A中方程表示圓，A錯誤；B中方程表示直線y＝x，B錯誤；3.下列選項(xiàng)中方程與曲線能夠?qū)?yīng)的是√123454.等腰三角形底邊的兩個頂點(diǎn)分別是B(2,1)，C(0，－3)，則另一個頂點(diǎn)A的軌跡方程是A.x－2y＋1＝0(x≠0) B.y＝2x－1C.x＋2y＋1＝0(y≠1) D.x＋2y＋1＝0(x≠1)√解析

設(shè)A(x，y)，依題意，知|AB|＝|AC|，化簡得x＋2y＋1＝0.又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不能共線，所以x≠1，故選D.12345解析作出圖象如圖所示，5.已知定長為6的線段，其端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動，線段AB的中點(diǎn)為M，則M點(diǎn)的軌跡方程為___________.x2＋y2＝9所以M的軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓，故M點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝9.1.知識清單：(1)曲線與方程的定義.(2)求曲線的方程.2.方法歸納：直接法、相關(guān)點(diǎn)法、定義法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽略曲線方程的純粹性(挖點(diǎn)).課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√所以方程表示點(diǎn)(2，－2).17解析

“曲線C的方程是f

(x，y)＝0”包括“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

(x，y)＝0的解”和“以方程f

(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”兩個方面，所以“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

(x，y)＝0的解”是“曲線C的方程是f

(x，y)＝0”的必要不充分條件，故選C.2.“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

(x，y)＝0的解”是“曲線C的方程是f

(x，y)＝0”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516173.到兩坐標(biāo)軸距離之和等于1的點(diǎn)的軌跡方程是A.x＋y＝1 B.x＋y＝±1C.|x|＋|y|＝1 D.|x＋y|＝1√解析

動點(diǎn)P(x，y)到x軸和y軸的距離分別為|y|，|x|，故|x|＋|y|＝1.12345678910111213141516174.關(guān)于方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的圖形敘述正確的是A.表示的圖形都是一條直線和一個圓B.表示的圖形都是兩個點(diǎn)C.前者表示一條直線和一個圓，后者表示兩個點(diǎn)D.前者表示兩個點(diǎn)，后者表示一條直線和一個圓√1234567891011121314151617解析

x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直線x＝0和圓x2＋y2＝1.表示點(diǎn)(0,1)，(0，－1).故選C.12345678910111213141516175.已知0≤α<2π，點(diǎn)P(cosα，sinα)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為√12345678910111213141516176.曲線y＝x2－1與y＝1的交點(diǎn)坐標(biāo)為______________.12345678910111213141516177.若點(diǎn)A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲線上，則m＝________.－112345678910111213141516178.已知動點(diǎn)P在曲線2y2－x＝0上移動，則點(diǎn)A(－2,0)與點(diǎn)P連線的中點(diǎn)的軌跡方程是______________.解析設(shè)點(diǎn)A(－2,0)與點(diǎn)P連線的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P(2x＋2,2y)，由動點(diǎn)P在曲線2y2－x＝0上，所以2(2y)2－(2x＋2)＝0，即x＝4y2－1.x＝4y2－112345678910111213141516179.已知方程x2＋4x－1＝y(tǒng).(1)判斷點(diǎn)P(－1，－4)，Q(－3,2)是否在此方程表示的曲線上；解因?yàn)?－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q不在曲線上.1234567891011121314151617即m2＋4m＝0，解得m＝0或m＝－4.1234567891011121314151617(3)求該方程表示的曲線與曲線y＝2x＋7的交點(diǎn)的坐標(biāo).得x2＋4x－1＝2x＋7，即x2＋2x－8＝0，解得x1＝2，x2＝－4，于是y1＝11，y2＝－1，故兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,11)和(－4，－1).123456789101112131415161710.過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.1234567891011121314151617解

如圖所示，設(shè)點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)，M(x，y).因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以a＝2x，b＝2y，即A(2x,0)，B(0,2y).因?yàn)閘1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1.1234567891011121314151617整理，得x＋2y－5＝0(x≠1).因?yàn)楫?dāng)x＝1時，A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0.綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是x＋2y－5＝0.1234567891011121314151617綜合運(yùn)用解析將方程xy(x＋y)＝1中的x替換為y，y替換為x，則方程變?yōu)閥x(y＋x)＝1，即xy(x＋y)＝1，與原方程相同，故曲線關(guān)于直線y＝x對稱.11.方程xy(x＋y)＝1所表示的曲線A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線y＝x對稱√123456789101112131415161712.已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM與BM的斜率之差是2，則點(diǎn)M的軌跡方程是A.x2＝－(y－1) B.x2＝－(y－1)(x≠±1)C.xy＝x2－1 D.xy＝x2－1(x≠±1)√整理得x2＝1－y(x≠±1)，即x2＝－(y－1)(x≠±1).123456789101112131415161713.已知動點(diǎn)M(x，y)到直線l：3x＋4y＋1＝0的距離等于1，則點(diǎn)M的軌跡方程為_________________________________.3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0故點(diǎn)M的軌跡方程為3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0.123456789101112131415161714.若過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1，l2分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為______________.x＋y－1＝0解析設(shè)M的坐標(biāo)為