講課提綱第四次1Cauchy列概念又稱為基本

§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.35，6（1（3，9四、CauchyCauchy列的概念（Cauchy列又稱為基本列定義：設(shè)an是一個(gè)數(shù)列，若對(duì)于任意的0N，當(dāng)mNnNan

q1時(shí)，qnCauchyqnqm

qn1qm

2qn（m，

qn0，所以對(duì)任意的0N，當(dāng)mnan

CauchyCauchy設(shè)k

A0，由于anCauchyN1，當(dāng)mN1nN1an

；又因?yàn)?/p>

k

A，所以存在正整數(shù)K，當(dāng)k

ANmaxN1K}nNkNanAan

A2即n

anAan發(fā)散存在00，對(duì)任意的N0，總存在nN,m

，使得anam0n（1）

lim2nkn“0 kn

1 k n

limknk11“ kn1

1

12若數(shù)列ana2a1a3

n

an“bna2a1a3

an

由an1an

Note：例（3）an

n

a2。

a3a2§1.4P60Ex1.4

x

f(x)A00，當(dāng)0

x

f(xA（1）0

x

f(xf(x0（3）與x0

x

f(x)A

x24

sinx0f1f1

x

x

f(x)A0

x

A定理：若

u

f(u)A

x

g(x)

，且xx0

g(x)u0x

f(g(x))A證明：0f(u)A

u

f(uA10，當(dāng)0u

1時(shí)，對(duì)于上述10

x

g(x)u0xx0g(x)u0，所以0當(dāng)0

x

時(shí)，有0g(x

1

f(g(xAf(xx0的左側(cè)附近單調(diào)增加（減少）且有上（下）f(xx0的左f(xx0的右側(cè)附近單調(diào)減少（增加）且有上（下）f(xx0

x

f(x)A

n

xnx0(xnx0，都

n

f(xn)Ax

f(x)A0

，

，滿足

0

x0f(xA0特別地，取

1，得到xn滿足0n

xn

1n

f(xn)A0 （1）

x

f(x)

xppq互素）

f(x

Note：兩個(gè)整數(shù)互素（互質(zhì)）指的是它們之間除了1x0是一個(gè)無(wú)理數(shù)，只要證明對(duì)任意的 f(zn0

n

znx0(znx0)n

znk

k

f(xk)0

yk

pk。對(duì)于任意的0

f(yk)

k

1qN0kNkkfyk)0

f(yk)

n

f(zn0Notef(x

xppq互素NoteRiemannf(x

Cauchy

x

f(x存在0，0，當(dāng)0

x1

，0x2

有f(x1f(x2)

f(x1)f(x2)

f(x1)A

f(x2ACauchy設(shè)xn

xnx0(xnx0的任意數(shù)列（先證數(shù)列f(xn)是一個(gè)

x

f(x)

f(xn)0，根據(jù)條件可知，00

x

，0

x

時(shí)，有f(xf(x)對(duì)于上述0

xnx0(xnx0N0，當(dāng)nNm0xn

，0

xm

，從而

f(xnf(xm)。這說(shuō)明數(shù)列A

n

f(xn)0，存在N1

，當(dāng)nN1時(shí)，有f(xnA取n0maxNN1

0

x0

f(xn0)A

0xx0

時(shí)，有

f(x)A

f(x)f(xn0)

f(xn0A2，故x

f(xx

f(x)不存在的Cauchy準(zhǔn)則：000x,x，滿足0x

，0

x

f(xf(x)0Cauchy

x0“取010，對(duì)01，取x,x2

，則0

x

，且2f(x)f(x)

11

112020

“不妨設(shè)

x11x30，取

0

x1，0

x1時(shí)，x x1

4x1x18 L’Hospitalf(x),g(x)（1）x0g(x)

x

g(x)

x

f(x)A()g則x

f(x)g(x)

x

f。g

x

g(x)Cauchy

0xx0

f(x)g(x)

f0

0xx0

g(x)

，所以存在10,M0x(x0x0ff

A

Mfgxx1(x0fgfg(xfg(x)fg(x)

f(x)fg(x)f(x)f(x)fg(x)f(x)fg(x)g(x)[g(x)f(x1)g(x1)f(x)g(x1)f(x1)g(x)fg(x)[g(x)

f()

f()Ag()

g(x)g(x)

fgfg(x)Mfg(x)

0xx0

g(x)，所以存在20x(x0x02MMffg(x)取min1,2}x(x0xfg(x)

A2

0xx00xx0

f(x)g(x)f(x)g(x)

ffg(x)

f(x)f(x1)fg(x)g(x)fg(x)

f(x)fg(x)f(x)g(x1)f(x1)g(x)g(x)[g(x)

f