概率統(tǒng)計(jì)第十章教學(xué)課件回歸分析

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念參數(shù)估計(jì)方差分析回歸分析假設(shè)檢驗(yàn)回歸分析回歸分回析

歸分析回歸分析一、回歸分析與相關(guān)分析確定性關(guān)系變量間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系一、回歸分析與相關(guān)分析確定性關(guān)系確定性關(guān)系一、回歸分析與相關(guān)分析確定性關(guān)系Y

X 半徑:

X面積:

YY

=

p

X

2已知一個(gè)或幾個(gè)變量的值,能?chē)?yán)格計(jì)算出另一個(gè)變量的值.例如:一、回歸分析與相關(guān)分析確定性關(guān)系已知一個(gè)或幾個(gè)變量的值,能?chē)?yán)格計(jì)算出另一個(gè)變量的值.m速度X動(dòng)能Y22Y

=

1

m

X例如:

一質(zhì)量為常數(shù)m的物體,

沿直線(xiàn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng),m一、回歸分析與相關(guān)分析變量間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系高等數(shù)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)確函定數(shù)性關(guān)關(guān)系系相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系;由一個(gè)或幾個(gè)變量的值,不能準(zhǔn)確求出另一變量的值;例如:相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系;由一個(gè)或幾個(gè)變量的值,不能準(zhǔn)確求出另一變量的值;例如:相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系;由一個(gè)或幾個(gè)變量的值,不能準(zhǔn)確求出另一變量的值;例如:施肥量X蘋(píng)果產(chǎn)量Y相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系;由一個(gè)或幾個(gè)變量的值,不能準(zhǔn)確求出另一變量的值;例如:父親身高1X母親身高2X孩子身高為Y相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系;由一個(gè)或幾個(gè)變量的值,不能準(zhǔn)確求出另一變量的值;例如:父親身高1X母親身高X2孩子身高為Y已知X1和X

2Y一、回歸分析與相關(guān)分析變量間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系高等數(shù)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)確定性關(guān)系一、回歸分析與相關(guān)分析相關(guān)關(guān)系數(shù)理統(tǒng)計(jì)回歸分析相關(guān)分析回歸分析在幾個(gè)變量中要明確因變量和自變量,通過(guò)建立回歸方程研究因變量與自變量間的數(shù)量聯(lián)系.相關(guān)分析不必確定因變量和自變量,通過(guò)相關(guān)系數(shù)研究隨機(jī)變量線(xiàn)性依存關(guān)系的緊密程度.一、回歸分析與相關(guān)分析回歸與相關(guān)一元回歸與相關(guān)多元回歸與相關(guān)兩個(gè)變量?jī)蓚€(gè)以上變量線(xiàn)性第一節(jié)非線(xiàn)性第二節(jié)線(xiàn)性第三節(jié)一、回歸分析與相關(guān)分析尋求描述隨機(jī)變量間數(shù)學(xué)關(guān)系的模型——回歸方程;利用回歸方程對(duì)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)與控制;在影響因變量的諸多自變量中,分析其主次順序.多元回歸二、一元線(xiàn)性回歸方程2cm5cm9cm14cm19cm25cm引例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:

cm)與苗齡x(單位:

天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:33cm5天

10天

15天

20天

25天

30天

35天如何建立株高y與苗齡x間的近似函數(shù)關(guān)系——y?

=

f

(

x)1.

列數(shù)據(jù)表如引例1中可得數(shù)據(jù)表如下:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533確定變量之間的函數(shù)類(lèi)型可根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)、理論推導(dǎo)或?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)確定;可根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)確定函數(shù)類(lèi)型;設(shè)

(X,

Y)

是反映總體的兩個(gè)特征的指標(biāo),

對(duì)(X,Y)進(jìn)行n次觀(guān)察,

獲得觀(guān)測(cè)值

(

xi

,

yi

),

i

=

1,

2,

,

n,以

xi

值為橫坐標(biāo),

以

yi

值為縱坐標(biāo),

從而得到平面上的n個(gè)點(diǎn),

稱(chēng)為觀(guān)測(cè)值的散點(diǎn)圖.在n較大時(shí),如果有一條曲線(xiàn)基本通過(guò)n個(gè)點(diǎn),或使大部分點(diǎn)偏離曲線(xiàn)不遠(yuǎn),則稱(chēng)這條曲線(xiàn)為觀(guān)測(cè)值的擬合曲線(xiàn)或稱(chēng)為y對(duì)x的回歸曲線(xiàn).若曲線(xiàn)方程能表示成y=f(x),則稱(chēng)之為y對(duì)x的回歸方程.觀(guān)察散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì),

若符合常見(jiàn)函數(shù)圖像的形態(tài),可利用常見(jiàn)函數(shù)進(jìn)行擬合,建立兩個(gè)變量間的一元回歸方程

y?

=

f

(

x),

其中

y?

稱(chēng)為

X

=

x0

時(shí)變量Y的預(yù)測(cè)值.引例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:

cm)與苗齡x(單位:

天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533作散點(diǎn)圖:.ox....251914952.

.5

10

15

20

25

30

35y33經(jīng)觀(guān)察,

散點(diǎn)圖呈線(xiàn)性,

用近似線(xiàn)性方程:y?y?

==

bb00

++bb11xx進(jìn)行擬合,

稱(chēng)為y對(duì)x的一元線(xiàn)性回歸方程.ox....

..

.y332519149525

10

15

20

25

30

35經(jīng)觀(guān)察,

散點(diǎn)圖呈線(xiàn)性,

用近似線(xiàn)性方程:y?y?

==

bb0

++bb1

xx進(jìn)行擬合,

稱(chēng)為y對(duì)x的一元線(xiàn)性回歸方程.ox....

..

.y332519149525

10

15

20

25

30

35yy??

==

bb0

++

bb1

xx經(jīng)觀(guān)察,

散點(diǎn)圖呈線(xiàn)性,

用近似線(xiàn)性方程:進(jìn)行擬合,

稱(chēng)為y對(duì)x的一元線(xiàn)性回歸方程.3.

確定b0,b1的值一般情況下,對(duì)(X,Y)進(jìn)行n次觀(guān)察,獲得n對(duì)觀(guān)測(cè)值(

xi

,

yi

),

i

=

1,

2,

,

n如何確定b0、b1的值,建立y對(duì)x的一元線(xiàn)性回歸方程y?

=

b0

+

b1

x在回歸關(guān)系中,設(shè)因變量y是隨機(jī)變量,因變量y的變化依賴(lài)于自變量x的變化,但不能由x唯一確定,若兩者間的內(nèi)在聯(lián)系是線(xiàn)性的,則有如下線(xiàn)性模型:y

=

b0

+

b1

x

+

e其中,ε為隨機(jī)變量,稱(chēng)為剩余誤差,是試驗(yàn)中各種復(fù)雜的隨機(jī)因素造成的.如果將n對(duì)觀(guān)測(cè)值

(

xi

,

yi

),

i

=

1,

2,

,

n,

代入上式,可得一元線(xiàn)性回歸的數(shù)學(xué)模型:yi

=

b0

+

b1

xi

+

ei

,

i

=

1,

2, L

,

n,(三)在回歸關(guān)系中,設(shè)因變量y是隨機(jī)變量,因變量y的變化依賴(lài)于自變量x的變化,但不能由x唯一確定,若兩者間的內(nèi)在聯(lián)系是線(xiàn)性的,則有如下線(xiàn)性模型:y

=

b0

+

b1

x

+

e其中,ε為隨機(jī)變量,稱(chēng)為剩余誤差,是試驗(yàn)中各種復(fù)雜的隨機(jī)因素造成的.如果將n對(duì)觀(guān)測(cè)值

(

xi

,

yi

),

i

=

1,

2,

,

n,

代入上式,可得一元線(xiàn)性回歸的數(shù)學(xué)模型:yi

=

b0

+

b1

xi

+

ei

,

i

=

1,

2, L

,

n,(三)如果將n對(duì)觀(guān)測(cè)值

(

xi

,

yi

),

i

=

1,

2,

,

n,

代入上式,可得一元線(xiàn)性回歸的數(shù)學(xué)模型:yi

=

b0

+

b1

xi

+

ei

,

i

=

1,

2, L

,

n,其中β0,

β1為未知參數(shù),

稱(chēng)為回歸系數(shù),

ε1

,

ε2,

…,εn是相互獨(dú)立的隨機(jī)誤差,且服從數(shù)學(xué)期望為0,方差為σ2的正態(tài)分布,

即εi~N(0,

σ2).如果可以得到模型中β0,β1的估計(jì)值b0,b1,則可建立y對(duì)x的一元線(xiàn)性回歸方程.假定有某種方法可以得到上述模型中回歸系數(shù)β0,β1的估計(jì)值b0,b1,則y的觀(guān)測(cè)值可表示為:yi

=

b0

+

b1

xi

+

ei

,

i

=

1,

2, L

,

n,這里,ei是εi的估計(jì)值,稱(chēng)為殘差或剩余.記y?i

為yi

的估計(jì)值,則有:y?i

=

b0

+

b1

xi

,y?i所以

ei

=

yi

-=

yi

-

(b0

+

b1

xi

)(i

=

1,

2, L

,

n)ox....

..

.xi0

1y?

=

b

+

b

xyyiiy?ie(xi

,

yi

)*(xi

,

y?i

)假定有某種方法可以得到上述模型中回歸系數(shù)β0,β1的估計(jì)值b0,b1,則y的觀(guān)測(cè)值可表示為:yi

=

b0

+

b1

xi

+

ei

,

i

=

1,

2, L

,

n,這里,ei是εi的估計(jì)值,稱(chēng)為殘差或剩余.記y?i

為yi

的估計(jì)值,則有:y?i

=

b0

+

b1

xi

,y?i所以

ei

=

yi

-=

yi

-

(b0

+

b1

xi

)(i

=

1,

2, L

,

n)ox....

..

.xi0

1y?

=

b

+

b

xyyiiy?ie(xi

,

yi

)*(xi

,

y?i

)記y?i

為yi

的估計(jì)值,則有:y?i

=

b0

+

b1

xi

,y?i所以

ei

=

yi

-=

yi

-

(b0

+

b1

xi

)(i

=

1,

2, L

,

n)ox....

..

.xi0

1y?

=

b

+

b

xyyiiy?ie(xi

,

yi

)*(xi

,

y?i

)選取b0,b1,使殘差平方和iy-

(b

+

b

x

)222iii

iee2n

ni

00

0

11

i

i

1

ix

)]i=

1

i=

1==

[

y-[y(b-

+(bb

+x

b)]?

?Q

=達(dá)到最小,這種求回歸系數(shù)估計(jì)值的方法稱(chēng)為最小二乘法.選取b0,b1,使殘差平方和ni

0

1

ii=

1Q

=?0

1nb

,b

?

Ri=

1[y

-

(b

+

b

x

)]2=

min[y

-

(b

+

b

x

)]2i

0

1

i?由多元函數(shù)的極值原理可知,b0,b1應(yīng)滿(mǎn)足方程組:

?Q=

0

?b0

?Q

=

0

?b1

ni=

1(

yi

-

b0

-

b1xi

)

=

0

?ni=

1(

yi

-

b0

-

b1xi

)

xi

=

0

?選取b0,b1,使殘差平方和ni

0

1

ii=

1Q

=?0

1nb

,b

?

Ri=

1[y

-

(b

+

b

x

)]2=

min[y

-

(b

+

b

x

)]2i

0

1

i?上式整理后得:nni=

1i=

1

nb0

+

b1

邋xi

=

yi01nnniii

i

bx

yi=

1i=

1x

+

bx2

=邋?i=

1稱(chēng)此方程組為正規(guī)方程組.解正規(guī)方程組得:11nnni

in

nin(

x

)2ini=

1x

y

-b1

=x2

-邋(

xi

)(?

yi

)邋ni

i=

1

ni=

1

i=

1(

xi

-

x)(

yi

-

y)

i=

1

i=

1

i=

1

=(

x

-

x)2??b0

=

y

-

b1

x.ni=

12(

xi

-

x)

,Sxx

=

?ni=

1Sxy

=

?i=

12(

yi

-

y)

,S

yy

=

?ni=

1(

yi

-

y?i

)

.2(

xi

-

x)(

yi

-

y),

Se

=

?其中,

x

,

y

為樣本均值.令:n則:1xy

,xxSSb

=b0

=

y

-

b1

x.b0,

b1分別稱(chēng)為回歸系數(shù)β0,

β1的最小二乘估計(jì)(

LSE:Least Square

Estimate)

.可以證明:1.

b0,

b1分別是β0,

β1的無(wú)偏估計(jì);00xxxx21

x2.

bn

SSs

2~

N

(b

,

(+

)s

2

),

b

~

N

(b

,

);1

13.

Ses

2~

c

2

(n

-

2),Se且

E(s?

2

)

=

E()

=

s

2

.n

-

2則:1xy

,xxSSb

=b0

=

y

-

b1

x.b0,

b1分別稱(chēng)為回歸系數(shù)β0,

β1的最小二乘估計(jì)(

LSE:Least Square

Estimate)

.1n

nnxyi

ini=

1i=

1S

=x

y

-邋(

xi

)(?

yi

)1ni=

1nxxii(

x

)2ni=

1i=

1S

=x2

-邋1nxini=

1x

=?1nyini=

1y

=?三、回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)無(wú)論x和y之間的線(xiàn)性關(guān)系是否密切,總可以由以上公式求出b0和b1,從而可以得到回歸方程:y?

=

b0

+

b1

x

.但當(dāng)對(duì)回歸模型的基本假定不成立時(shí),上面求得的方程是無(wú)意義的.因此,必須檢驗(yàn)“y與x之間存在線(xiàn)性關(guān)系”這一假設(shè)是否合理.根據(jù)一元線(xiàn)性回歸的模型可知,原假設(shè)為經(jīng)檢驗(yàn),若H0

:

b1

=

0.??被接受,就可以認(rèn)為y對(duì)x的線(xiàn)性依賴(lài)程度不高,

此時(shí)稱(chēng)回歸方程不顯著;

若 ??被拒絕,

便可認(rèn)為y與x之間存在某種程度的線(xiàn)性相關(guān)性,此時(shí)稱(chēng)回歸方程是顯著的.對(duì)回歸方程的檢驗(yàn),

即檢驗(yàn)

H0

:

b1

=

0,檢驗(yàn)方法為方差分析法(F檢驗(yàn)).?

?????

?xyOy?

=

b0

+

b1

xxiyiiy?y

=

yyiiy?y

-iy?

-

y定義總平方和為:ni=

1S

yy

=

?

(

y

-

y)2i它反映了觀(guān)測(cè)值y1,y2,…,yn總的離散程度.對(duì)回歸方程的檢驗(yàn),

即檢驗(yàn)

H0

:

b1

=

0,檢驗(yàn)方法為方差分析法(F檢驗(yàn)).?

?????

?xyOy?

=

b0

+

b1

xxiyiiy?y

=

yyiiy?y

-iy?

-

y定義總平方和為:ni=

1S

yy

=

?

(

y

-

y)2i它反映了觀(guān)測(cè)值y1,y2,…,yn總的離散程度.對(duì)回歸方程的檢驗(yàn),

即檢驗(yàn)

H0

:

b1

=

0,檢驗(yàn)方法為方差分析法(F檢驗(yàn)).定義總平方和為:ni=

1(

yi

-ni=

1[(

yi

-

y?i

)

+

(

y?i

-

y)]2S

yy

=

?

y)

=

?2ni=

1(

yi

-ni=

1(

y?i

-ni=

1(

yi

-

y?i

)(

y?i

-

y)=

?

y?i

)

+

?

y)

+

2?2

2=0ni=

1(

yi

-ni=

1(

y?i

-

y)2=

?

y?i

)

+

?2即:nni=

1i=

1(

y?i

-

y)2S

yy

=

邋(

yi

-

y?i

)

+2記ni=

1稱(chēng)為回歸平方和,

它反映了自變量x的變化引起y波動(dòng)的大小;ni=

1(

y?i

-

y)

,2SR

=

?試驗(yàn)誤差和其他未加控制的隨機(jī)因素引起的.所以,Syy

=

SR

+

Se記

Se

=

?

(

yi

-

y?i

)

(=

Q),

稱(chēng)為剩余平方和,

它是由2因此可以證明,

當(dāng)

??成立時(shí),

有:S

yy~

c

2

(n

-

1),

Ses

2

s

2~

c

2

(n

-

2),

SRs

2~

c

2

(1),由Cochran定理可得:SRF

=~

F

(1,

n

-

2)Se

/

(n

-

2)則可通過(guò)計(jì)算F值進(jìn)行F檢驗(yàn).檢驗(yàn)的具體步驟如下:因此可以證明,

當(dāng)

??成立時(shí),

有:S

yy~

c

2

(n

-

1),

Ses

2

s

2~

c

2

(n

-

2),

SRs

2~

c

2

(1),由Cochran定理可得:SRF

=~

F

(1,

n

-

2)Se

/

(n

-

2)則可通過(guò)計(jì)算F值進(jìn)行F檢驗(yàn).檢驗(yàn)的具體步驟如下:檢驗(yàn)的具體步驟如下:1.

分解平方和1(nSyy

=

SR

+

Sennyyiiiy

)2

,ni=

1i=

1i=

1其中,

S

=(

y

-

y

)2

=

y2

-邋?,nRi1

xyi=

1S

=(

y?

-y

)2

=

b

S?eyyRS

=

S

-

S

.2.

分解自由度f(wàn)

yy

=

fR

+

fe其中,

f

yy

=

n

-

1,

fR

=

1,fe

=

n

-

2.檢驗(yàn)的具體步驟如下:3.

計(jì)算F值并確定F分布臨界值當(dāng)

??成立時(shí),F

=~

F

(1,

n

-

2)SR

1Se

/

(n

-

2)查F分布表求自由度為(1,

n-2)

的F分布臨界值

??.4.

F檢驗(yàn)若F>

??,

則拒絕原假設(shè),

認(rèn)為回歸方程是顯著的;若F

??,

則接受原假設(shè),

認(rèn)為回歸方程不顯著.根據(jù)一元線(xiàn)性回歸模型,也可對(duì)自變量x的回歸系數(shù)的H0

:

b1

=

0.可以證明,當(dāng)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn),即檢驗(yàn)該檢驗(yàn)為t檢驗(yàn)過(guò)程.b1??成立時(shí),

有:

t

=

~

t(n

-

2)2若

t

>

ta

(n

-

1),

則拒絕x與y之間存在顯著的線(xiàn)性關(guān)系;

否則,

則接受

??,

認(rèn)為回歸系數(shù)不顯著.2??,認(rèn)為回歸系數(shù)是顯著的,即Se(n

-

2)Sxx計(jì)算t值及求自由度為(n-2)

的t分布的臨界值點(diǎn)t

>ta(n-1),四、相關(guān)系數(shù)及其統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)XYcov(

X

,Y

)D(

X

)

D(Y

)r

=復(fù)習(xí):

兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y之間的總體相關(guān)系數(shù)為四、相關(guān)系數(shù)及其統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)若對(duì)(X,

Y)

進(jìn)行n次觀(guān)察,

獲得n對(duì)觀(guān)測(cè)值(

xi

,

yi

),i

=1,

2,

,

n,

則可定義樣本相關(guān)系數(shù)為:nni=

1(

xi

-

x)(

yi

-

y)R

=2(

yi

-

y)?n邋(

xi

-

x

)2i=

1xySSxx

S

yy i=

1

=R2稱(chēng)為決定系數(shù)或確定系數(shù).因?yàn)閤yS

2R2

=Sxx

×S

yyS

S=xy

?

xy1

xyb

S=RSSxx

S

yy

S

yy

S

yy=￡

1所以樣本相關(guān)系數(shù)有以下性質(zhì):- 1

＃

R

1;|R|的大小表明了x與y之間線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.當(dāng)|R|=1時(shí),稱(chēng)x與y完全相關(guān);當(dāng)R=0時(shí),稱(chēng)x與y不相關(guān).當(dāng)R>0時(shí),稱(chēng)x與y正相關(guān);當(dāng)R<0時(shí),稱(chēng)x與y負(fù)相關(guān).R的符號(hào)與b1的符號(hào)一致.由計(jì)算公式可知,兩者同為正或同為負(fù).對(duì)相關(guān)系數(shù)顯著性的檢驗(yàn)即x與y之間是否存在顯著的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.則原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為:H0

:

rXY

=

0,

H1

:

rXY

1

0.Sxy計(jì)算R統(tǒng)計(jì)量的值:

R

=

.Sxx

Syy查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表,

確定臨界值

??

(n-2).若|R|>Rα(n-2),

則拒絕

??,

認(rèn)為相關(guān)系數(shù)是顯著的,即x與y之間存在顯著的線(xiàn)性關(guān)系;

否則,則接受

??,

認(rèn)為相關(guān)系數(shù)不顯著,即x與y之間無(wú)顯著的線(xiàn)性關(guān)系.以上檢驗(yàn)過(guò)程用R統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn),稱(chēng)為R檢驗(yàn).例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(1)

利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程;7ii=

1?717i=

1x

= 5

+

10

+

L +

35

=

140,

x

=xi

=

20,?7ii=

1?717i=

1y

= 2

+

5

+

L +

33

=

107,

y

=yi

=

15.286,?例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(1)

利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程;7x2

= 52

+

? 352

=

3500,i?i=

172855,i=

1xi

yi

=

5?

2?

35?

33?苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)259141925337

7

7i=1

i=1

i=1例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(1)

利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程;Sxy

=

?

xi

yi

–(?

xi

)(?

yi

)

/

7=

2855-

140?

107

/

7

7157

717xxiiSx2

–i=

1i=

1=(

x

)2

=

3500- 1402

/

7

=

700邋例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(1)

利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程;從而得到回歸系數(shù)

b1

=

Sxy

/

Sxx

= 715

/

700

=

1.02b0

=

y

-

b1

x

=

15.286

-

1.02?

20

-

5.14因此得到苗齡x與株高y的一元線(xiàn)性回歸方程為:y?

=

-

5.14

+

1.02

x.苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法1回歸方程的顯著性檢驗(yàn)(方差分析法);1.

分解平方和:yyReS

=

S

+

S717nyyii(

y

)2i=

1

i=

1S

=y2

-邋745.43,=

(22

+

L

+

332

)

-

1

?

107270H

：ba=0，H

：b?0例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法1回歸方程的顯著性檢驗(yàn)(方差分析法);1.

分解平方和:Syy

=

SR

+

SeSR

=

b1

Sxy

=

1.02?

715

729.3,Se

=

Syy

-

SR

=

745.43

-

729.3

=

16.13.例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法1回歸方程的顯著性檢驗(yàn)(方差分析法);2.

分解自由度:f

yy

=

n

-

1

=

7

-

1

=

6,fR

=

1,

fe

=

n

-

2

=

7

-

2

=

5.f

yy

=

fR

+

fe例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法1

回歸方程的顯著性檢驗(yàn)(方差分析法);3.

計(jì)算F值:16.13

/5F

==

=

226.07.SR

1

729.3Se

/

(n

-

2)例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法1回歸方程的顯著性檢驗(yàn)(方差分析法);4.

統(tǒng)計(jì)推斷:

取

0.05,

查F分布表得臨界值F0.05

(1,5)

=

6.61,F

=

226.07

>

6.61,所以回歸方程顯著,即苗齡與株高有顯著的線(xiàn)性關(guān)系.例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法2t

=回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(t檢驗(yàn));H0b：1

b=0，=Ha：b1?.002Se

16.13=

15.13,(n

-

2)Sxx

(7

-

2)?

715取

0.05,

查t分布表得臨界值

t0.05

2

(5)

=

2.5706,t

=15.13

>

2.5706,故回歸系數(shù)顯著.例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533試建立y與x的一元線(xiàn)性回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(2)

顯著性檢驗(yàn);方法3相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(R檢驗(yàn));0XYH

:

r=1

XYxySSxx

S

yyR

=0,

=

H

:

7r15

1

0.

=

0.9898.700′

745.43取

0.05,查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表,

臨界值R0.05(5)=0.7545.|R|=0.9898>r0.05(5)=0.7545,

所以x與y相關(guān)關(guān)系顯著.注1

可以證明:(n

-

2)R2F

=(1-

R2

)

,,R2

=F(n

+

F

-

2)t

=

F

,因此在一元線(xiàn)性回歸中,F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)和R檢驗(yàn),其檢驗(yàn)效果是一致的,實(shí)際中檢驗(yàn)其一即可.注2

若檢驗(yàn)結(jié)果為不顯著,可以考慮以下兩個(gè)原因:x與y無(wú)內(nèi)在聯(lián)系,需要重新選擇變量;x與y有內(nèi)在聯(lián)系,但非線(xiàn)性關(guān)系,需要進(jìn)行曲線(xiàn) 回歸(第二節(jié)).若檢驗(yàn)結(jié)果顯著,則可根據(jù)線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制.五、預(yù)測(cè)與控制若回歸方程檢驗(yàn)結(jié)果為顯著,則可根據(jù)回歸方程對(duì)于給定的x值得到y(tǒng)值,這即為預(yù)測(cè)問(wèn)題.若給定x=x0,

則y的預(yù)測(cè)值為

y?0

=

b0

+

b1

x0

,

此值即為點(diǎn)預(yù)測(cè)(估計(jì)).由于y是隨機(jī)變量,給出y0的區(qū)間預(yù)測(cè)(估計(jì))更為合理.對(duì)置信度為1-,

其置信區(qū)間為

[

y?0

-

l,

y?0

+

l],

0

xxnSa2S

1 (

x

-

x)2l

=

t

(n

-

2)1

+

+

e

n

-

2其中:五、預(yù)測(cè)與控制若回歸方程檢驗(yàn)結(jié)果為顯著,則可根據(jù)回歸方程對(duì)于給定的x值得到y(tǒng)值,這即為預(yù)測(cè)問(wèn)題.若給定x=x0,

則y的預(yù)測(cè)值為

y?0

=

b0

+

b1

x0

,

此值即為點(diǎn)預(yù)測(cè)(估計(jì)).由于y是隨機(jī)變量,給出y0的區(qū)間預(yù)測(cè)(估計(jì))更為合理.對(duì)置信度為1-,

其置信區(qū)間為

[

y?0

-

l,

y?0

+

l],

0

xxnSa2S

1 (

x

-

x)2l

=

t

(n

-

2)1

+

+

e

n

-

2其中:五、預(yù)測(cè)與控制對(duì)置信度為1-,

其置信區(qū)間為

[

y?0

-

l,

y?0

+

l],

0

xxnSa2S

1 (

x

-

x)2l

=

t

(n

-

2)1

+

+

e

n

-

2其中:xyOy?

=

b0

+

b1

xx0??l(??

)1e

02

xaS

1(x-x)l=t(n-2)

++n-2nS顯然,預(yù)測(cè)區(qū)間的精度與x0有關(guān),x0越靠近

,預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度越短,

精度越高;

反之,

x0越遠(yuǎn)離

,預(yù)測(cè)精度越差.2l(????)五、預(yù)測(cè)與控制控制問(wèn)題是預(yù)測(cè)問(wèn)題的反問(wèn)題.具體來(lái)講,當(dāng)要求y的觀(guān)測(cè)值以置信度1?α在某區(qū)間(y1,y2)內(nèi)取值時(shí),問(wèn)相應(yīng)的

x0應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?求xk的控制區(qū)間的方法是解方程組:2

ya2=

b0

+

b1

x2+

t

(n

-

2)n

-

21

0

1

1Sea2

y

=

b

+

b

x

-

t

(n

-

2)n

-

2Se五、預(yù)測(cè)與控制控制問(wèn)題是預(yù)測(cè)問(wèn)題的反問(wèn)題.具體來(lái)講,當(dāng)要求y的觀(guān)測(cè)值以置信度1?α在某區(qū)間(y1,y2)內(nèi)取值時(shí),問(wèn)相應(yīng)的

x0應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解之得:1

1

01Sa2

x

=

(

y

-

b

+

t

e

)/

b212n

-

2Se

x)

/

ba=

(

y2

-

b0

-

tn

-

2當(dāng)b1>0時(shí)x的控制區(qū)間為(x1,x2),當(dāng)b1<0時(shí)x的控制區(qū)間為(x2,x1).例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533(1)求苗齡x0=28天時(shí),株高y的95%的預(yù)測(cè)區(qū)間.上面已得到苗齡x與株高y的一元線(xiàn)性回歸方程為:y?

=

-

5.14

+

1.02

x.經(jīng)檢驗(yàn)回歸方程顯著,苗齡與株高有顯著的線(xiàn)性關(guān)系.x0

=

28,

y?0

=

-

5.14

+

1.02?

28

23.42.571516.13

1

(20-

28)2l

=

t0.05

(5)21+

+ =

5.147例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533(1)求苗齡x0=28天時(shí),株高y的95%

的預(yù)測(cè)區(qū)間.y?0

-

l

=

23.42-

5.14

=

18.28,y?0

+

l

=

23.12+

5.14=

28.56.即當(dāng)苗齡為28天時(shí),株高的95%

預(yù)測(cè)區(qū)間為[18.28,28.56]厘米.例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)259141925332(2)當(dāng)株高y以95%的置信度在區(qū)間(20,22)內(nèi)取值時(shí),求相應(yīng)的苗齡x的取值范圍.苗齡x與株高y的一元線(xiàn)性回歸方程為:y?

=

-

5.14

+

1.02

x.經(jīng)檢驗(yàn)回歸方程顯著,苗齡與株高有顯著的線(xiàn)性關(guān)系.b0

=

-

5.14,

b1

=

1.02

>

0,

t0.05

(5)

=

2.5706,代入計(jì)算公式:例1

觀(guān)察某種作物株高y

(單位:cm)與苗齡x(單位:天)之間的關(guān)系,

得到如下結(jié)果:苗齡x(d)5101520253035株高y(cm)25914192533(2)當(dāng)株高y以95%的置信度在區(qū)間(20,30)內(nèi)取值時(shí),求相應(yīng)的苗齡x的取值范圍.1

1

01)

/

ba2

x

=

(

y

-

b

+

t212n

-

2Se

x)

/

ba=

(

y2

-

b0

-

tn

-

2

Se

x1

=

29.1736

x2

=

29.9245即當(dāng)株高y以95%的置信度在區(qū)間(20,

30)

內(nèi)取值時(shí),相應(yīng)的苗齡x的范圍為(29.1736,29.1736).注意

當(dāng)n較小時(shí),

控制問(wèn)題無(wú)實(shí)際意義.

因此,

通常在n較21Sea2y

>

2tn

-

2大,且

y

-的情況下考察控制問(wèn)題.小結(jié)回歸分析與相關(guān)分析變量間的關(guān)系,

回歸與相關(guān)分類(lèi).一元線(xiàn)性回歸方程一元線(xiàn)性回歸模型,回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)(公式).回歸方程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)F檢驗(yàn),

t檢驗(yàn).相關(guān)系數(shù)及其統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì),

相關(guān)系數(shù)的R檢驗(yàn).預(yù)測(cè)與控制回歸分析一、曲線(xiàn)回歸概述在許多問(wèn)題中,兩個(gè)變量之間并不一定是線(xiàn)性關(guān)系,而是某種非線(xiàn)性關(guān)系.此時(shí)若將n對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)繪制成散點(diǎn)圖,則n個(gè)點(diǎn)的圖像很明顯不是一條直線(xiàn).如下例:引例1

在進(jìn)行米氏方程和米氏常數(shù)推算時(shí),

觀(guān)測(cè)酶比活力y與底物濃度x

(單位:mmol/L)之間的關(guān)系,

測(cè)得9對(duì)數(shù)據(jù)如下表:一、曲線(xiàn)回歸概述在許多問(wèn)題中,兩個(gè)變量之間并不一定是線(xiàn)性關(guān)系,而是某種非線(xiàn)性關(guān)系.此時(shí)若將n對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)繪制成散點(diǎn)圖,則n個(gè)點(diǎn)的圖像很明顯不是一條直線(xiàn).如下例:引例1

在進(jìn)行米氏方程和米氏常數(shù)推算時(shí),

觀(guān)測(cè)酶比活力y與底物濃度x

(單位:mmol/L)之間的關(guān)系,

測(cè)得9對(duì)數(shù)據(jù)如下表:一、曲線(xiàn)回歸概述引例1

在進(jìn)行米氏方程和米氏常數(shù)推算時(shí),

觀(guān)測(cè)酶比活力y與底物濃度x

(單位:mmol/L)之間的關(guān)系,

測(cè)得9對(duì)數(shù)據(jù)如下表:底物濃度x1.251.431.662.002.503.305.008.0010.00酶比活力y17.652226.3235455255.735960試對(duì)x和y的關(guān)系進(jìn)行回歸分析.問(wèn)題背景x與y的散點(diǎn)圖如下:xy....

.

.

...3526.322217.65o

1.2151.4.6362.20.050

3.305.0055.7352458.005910.0060底物濃度x1.251.431.662.002.503.305.008.0010.00酶比活力y17.652226.3235455255.735960x與y的散點(diǎn)圖如下:顯然,x和y之間的關(guān)系不是線(xiàn)性的,應(yīng)進(jìn)行曲線(xiàn)回歸.oxy.........通常,進(jìn)行曲線(xiàn)回歸時(shí),需要進(jìn)行以下兩個(gè)步驟:1.

確定變量之間的函數(shù)類(lèi)型如果兩個(gè)變量間的關(guān)系是非線(xiàn)性的,需要首先確定可以表示變量關(guān)系的函數(shù)類(lèi)型,常見(jiàn)方法有以下幾種:可根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)、理論推導(dǎo)或?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)確定;可根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)確定函數(shù)類(lèi)型;用多項(xiàng)式逼近.注意在進(jìn)行一元曲線(xiàn)回歸時(shí),一般情況下,可根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀,與已知的常見(jiàn)函數(shù)圖像對(duì)比,選擇一條較為相似的曲線(xiàn)進(jìn)行擬合.通常,進(jìn)行曲線(xiàn)回歸時(shí),需要進(jìn)行以下兩個(gè)步驟:2.

確定方程(函數(shù))中的未知參數(shù)一般仍可采用最小二乘法.若某些非線(xiàn)性函數(shù)能夠通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系,

則仍可用線(xiàn)性回歸方法;若不能轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù),則需采用最優(yōu)化方法求解.二、幾種可直線(xiàn)化的曲線(xiàn)類(lèi)型若令

yⅱ=

1

,

x

=

1

,y

x則

yⅱ=

a

+

bx

.x????o

???(a>0,b<0)x表達(dá)式:

1

=

a

+

b

,

函數(shù)圖像:y

xy

y?

??

o??(a>0,b>0)????表達(dá)式:y

=

axb

,函數(shù)圖像:若令

yⅱ=

ln

y,

x

=

ln

x,

a?=

ln

a,

則

yⅱ=

a

+

bx?.等式兩邊取對(duì)數(shù)得:ln

y

=

ln

a

+

b

ln

x,oxy1(b>0)ab>1b=10<b<1.oxyb=-1b<-1-1<b<01(b<0)a.（1）表達(dá)式:

y

=

aebx

,函數(shù)圖像:若令

yⅱ=

ln

y,

a

=

ln

a,

則

yⅱ=

a

+

bx.等式兩邊取對(duì)數(shù)得:ln

y

=

ln

a

+

bx,oxy(b>0)aoxy(b<0)a（2）表達(dá)式:

y

=

aeb/

x

,

函數(shù)圖像:x若令

yⅱ=

ln

y,

a

=

ln

a,

x?=

1

,則等式兩邊取對(duì)數(shù)得:1,xyⅱ=

a

+

bx?.ln

y

=

ln

a

+

boxya(b>0)oxya(b<0)表達(dá)式:

y

=

a

+

b

ln

x,

函數(shù)圖像:若令x￠=

ln

x,則y

=

a

+

bx￠.oxy(b>0)oxy(b<0)1表達(dá)式:

y

=a

+

be-

x,函數(shù)圖像:1

=

a

+

be-

x

,y若令

yⅱ=

1

,

x

=

e-

x

,因?yàn)閯tyyⅱ=

a

+

bx

.oxy????三、應(yīng)用實(shí)例例1

在進(jìn)行米氏方程和米氏常數(shù)推算時(shí),觀(guān)測(cè)酶比活力y與底物濃度x(單位:mmol/L)之間的關(guān)系,

測(cè)得9對(duì)數(shù)據(jù)如下表:底物濃度x1.251.431.662.002.503.305.008.0010.00酶比活力y17.652226.3235455255.735960試對(duì)x和y的關(guān)系進(jìn)行回歸分析.1.

根據(jù)散點(diǎn)圖的形態(tài)確定函數(shù)類(lèi)型;x與y的散點(diǎn)圖如下:y.....

.

.

..o

x從圖像看,與雙曲線(xiàn)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)比較相似.2.

通過(guò)變量變換將曲線(xiàn)問(wèn)題直線(xiàn)化,建立回歸方程;(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xx￠與y￠為線(xiàn)性關(guān)系,利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程.y

x將原始數(shù)據(jù)(xi,yi)轉(zhuǎn)換為(xi￠,yi￠)=(1/xi,1/yi),由(xi￠,yi￠)求參數(shù)a、b,轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)為:令

yⅱ=

1

,

x

=

1

,則yⅱ=

a

+

bx

.x￠=1/x0.800.700.60……0.130.10y￠=1/y0.05670.04550.0380……0.01690.01672.

通過(guò)變量變換將曲線(xiàn)問(wèn)題直線(xiàn)化,建立回歸方程;(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xx￠與y￠為線(xiàn)性關(guān)系,利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程.y

x將原始數(shù)據(jù)(xi,yi)轉(zhuǎn)換為(xi￠,yi￠)=(1/xi,1/yi),由(xi￠,yi￠)求參數(shù)a、b,轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)為:令

yⅱ=

1

,

x

=

1

,則yⅱ=

a

+

bx

.x￠=1/x0.800.700.60……0.130.10y￠=1/y0.05670.04550.0380……0.01690.0167x￠與y￠為線(xiàn)性關(guān)系,利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程.x￠=1/x0.800.700.60……0.130.10y￠=1/y0.05670.04550.0380……0.01690.01671

10.4144,9n

=

9,

x'

= ?

3.73y'

= ?

0.2617

0.0291,99

9iixⅱx

i=

1

i=

1xⅱ2

–

(S

=x

)2

/

9

=

2.06

-

3.732

/

9

=

0.5141,邋99

9i=

1yi

) /

9

=

0.1366-

3.73?

0.2617

/

9

0.0281Sx￠y￠

=?

xiⅱyi

–(邋xiⅱ)(i=

19

i=

19iiyⅱy

i=

1i=

1yⅱ2

–

(S

=y

)2

/

9

=

2

/

n

=

0.00929

-

0.26172

/

9

=

0.0017.邋2.

通過(guò)變量變換將曲線(xiàn)問(wèn)題直線(xiàn)化,建立回歸方程;(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xx￠=1/x0.800.700.60……0.130.10y￠=1/y0.05670.04550.0380……0.01690.0167因此得回歸方程:y?

'

=

0.0064

+

0.0547

x

'.x￠與y￠為線(xiàn)性關(guān)系,利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程.從而得到回歸系數(shù):b

=

Sxⅱy

Sxⅱx

=

0.0281

/

0.5141

=

0.0547,a

=

y

'-

bx

'

=

0.0291-

0.0547?

0.4144

0.0064.2.

通過(guò)變量變換將曲線(xiàn)問(wèn)題直線(xiàn)化,建立回歸方程;(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xx￠=1/x0.800.700.60……0.130.10y￠=1/y0.05670.04550.0380……0.01690.0167x￠與y￠為線(xiàn)性關(guān)系,利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程.對(duì)此回歸方程檢驗(yàn)(F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、R檢驗(yàn)選其一即可)用相關(guān)系數(shù)R檢驗(yàn):0.0281Sx

'

y'Sx￠x￠Sy￠y'0.514·0.0017查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表,R0.01(7)=0.798,|R|=0.9505>R0.01(7)=0.798,所以回歸方程極顯著.2.

通過(guò)變量變換將曲線(xiàn)問(wèn)題直線(xiàn)化,建立回歸方程;(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xR

=

= =

0.9505

**x￠與y￠為線(xiàn)性關(guān)系,利用最小二乘法建立線(xiàn)性回歸方程.x￠=1/x0.800.700.60……0.130.10y￠=1/y0.05670.04550.0380……0.01690.0167因此線(xiàn)性回歸方程為:令yⅱ=

1

,

x

=

1

,y

xy?

'

=

0.0064

+

0.0547

x

'.代入方程,.x則x與y的曲線(xiàn)回歸方程為:

y?

=0.0064x

+

0.05472.

通過(guò)變量變換將曲線(xiàn)問(wèn)題直線(xiàn)化,建立回歸方程;(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/x.x(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xy?

'

=

0.0064

+

0.0547

x

',

y?

=0.0064x

+

0.0547R

=

0.9505(2)選對(duì)數(shù)模型令x￠=lgx,則y=a+blgxy=a+bx￠計(jì)算出回歸方程:

y?

=

18.6864

+

47.6485lg

x.

(過(guò)程略)R

=

0.9412兩邊取對(duì)數(shù)

lny=lna+blnx,

令

y￠=lny,

a￠=lna,x￠=lnx,則

y￠=a￠+bx￠計(jì)算出回歸方程:y?

'

=

3.0332

+

0.5504x'.(過(guò)程略)經(jīng)檢驗(yàn),相關(guān)系數(shù)極顯著.(3)

選冪函數(shù)模型

y=axb經(jīng)檢驗(yàn),相關(guān)系數(shù)極顯著.R

=

0.8992******.x(1)

選雙曲線(xiàn)模型

1/y=a+b/xy?

'

=

0.0064

+

0.0547

x

',

y?

=0.0064x

+

0.0547R

=

0.9505(2)選對(duì)數(shù)模型令x￠=lgx,則y=a+blgxy=a+bx￠計(jì)算出回歸方程:

y?

=

18.6864

+

47.6485lg

x.

(過(guò)程略)R

=

0.9412兩邊取對(duì)數(shù)

lny=lna+blnx,

令

y￠=lny,

a￠=lna,x￠=lnx,則

y￠=a￠+bx￠計(jì)算出回歸方程:y?

'

=

3.0332

+

0.5504x'.(過(guò)程略)經(jīng)檢驗(yàn),相關(guān)系數(shù)極顯著.(3)

選冪函數(shù)模型

y=axb經(jīng)檢驗(yàn),相關(guān)系數(shù)極顯著.R

=

0.8992******(1)

選雙曲線(xiàn)模型1/y=a+b/x(2)

選對(duì)數(shù)模型y=a+blgxR

=

0.9412(3)

選冪函數(shù)模型

y=axbR

=

0.8992******三種模型的檢驗(yàn)結(jié)果均極顯著,但比較R值,選雙曲線(xiàn)模型效果更好,即:.xy?

=0.0064x

+

0.0547思考該模型實(shí)際擬合效果如何?是否為最好的?R

=

0.√9505xy?

=0.0064x

+

0.0547R=0.9505**xyoR=0.9946**xx22y?

=0.0145

xx22

+

0.0638xyoR=0.9954**x3y?

=0.01751xx33

+

0.08002xoyy?

=0.016+

0.07144R=0.9984**x2.523xx2.52.5xoy小結(jié)曲線(xiàn)回歸概述適用情況,一般步驟.幾種可直線(xiàn)化的曲線(xiàn)類(lèi)型雙曲函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),S型曲線(xiàn)化曲線(xiàn)回歸為直線(xiàn)回歸的方法.應(yīng)用實(shí)例注意正確理解方程檢驗(yàn)結(jié)果顯著的意義,尋求最優(yōu)的函數(shù)類(lèi)型,并通過(guò)改進(jìn)參數(shù)值得到擬合效果最好的模型.回歸分析一、多元線(xiàn)性回歸概述論多個(gè)變量之間的關(guān)系.例如:在許多問(wèn)題中,需要討若設(shè)因變量為y,而p個(gè)且它們之間的關(guān)系是線(xiàn)性自變量分別設(shè)為x1,x2,…,xp,的,則可進(jìn)行多元線(xiàn)性回歸分析.多元線(xiàn)性回歸的統(tǒng)計(jì)思想與處理方法與一元線(xiàn)性回歸基本相同.只不過(guò)自變量不只一個(gè)而已.父母身高孩子身高設(shè)因變量y與p個(gè)自變量x1

,

x2

, L

,

xp之間有線(xiàn)性關(guān)系:y

=

b0

+

b1

x1

+

L

+

bp

xp

+

e其中e為隨機(jī)變量,稱(chēng)為剩余誤差.將n次觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)(

xi1

,

xi

2

, L

,

xip,

yi

),

i

=

1,

2, L

,

n,代入上面的方程,可得多元線(xiàn)性回歸的數(shù)學(xué)模型:ì?

y1

=

b0

+

b1

x11

+

L

+

bp

x1

p

+

e1?í

2

0

1

21

p

2

p

2?

y

=

b

+

b

x

+

L

+

b

x

+

e?

L

L??

yn

=

b0

+

b1

xn1

+

L

+

bp

xnp

+

en其中

b0

,

b1

, L

,

bp為p+1個(gè)未知參數(shù),

稱(chēng)為回歸系數(shù);1

2

ne

,

e

,

L

,

e2為n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)誤差且同服從分布N(0,s

).驏y1

÷??

y

÷÷??

y

÷桫n?

M÷若引入矩陣記號(hào):驏b0

÷?Y

=

?

2

÷,

b

=

?÷??b

÷?

M÷n