空洞探測(cè)-數(shù)學(xué)建模論文

PAGEPAGE1題目空洞探測(cè)分析與研究摘要近年來(lái)預(yù)測(cè)未知地域的空洞原來(lái)越受到人們的關(guān)注，通過(guò)探測(cè)空洞位置來(lái)指導(dǎo)工程實(shí)踐，本文就是通過(guò)解決未知地方的空洞位置，來(lái)給相關(guān)人員一些指導(dǎo)。通過(guò)題目所給的條件可知，可以把空洞探測(cè)簡(jiǎn)化為測(cè)定一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的平板，通過(guò)探測(cè)平板內(nèi)部的空洞位置近似實(shí)際地域的空洞位置。問(wèn)題簡(jiǎn)化為把一塊平板分成36個(gè)方格，通過(guò)探測(cè)在每個(gè)方格中是否有空洞存在。問(wèn)題一可以根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的差值來(lái)確定某條波線經(jīng)過(guò)的方格是否有空洞存在，可以畫出每條實(shí)際測(cè)量時(shí)間與理論時(shí)間差值小于或等于測(cè)量誤差的波線，則沒(méi)有波線經(jīng)過(guò)的方格視為空洞存在的地方，可以建立0-1模型，再?zèng)]有波線經(jīng)過(guò)空格記為0，在有波線經(jīng)過(guò)的空格記為1，建立0-1模型。用數(shù)據(jù)可以明顯看出哪些地方有空洞的存在，這種模型的建立視為問(wèn)題簡(jiǎn)化，明顯看出空洞存在的位置，如下圖所示空洞位置。問(wèn)題二要解出只在一組對(duì)邊波線存在的情況下是否可以確定空洞的位置，解決這個(gè)問(wèn)題同樣可以采取幾何排除法方法，通過(guò)在這種方法下測(cè)定的空洞位置與問(wèn)題一中測(cè)定的空洞位置比較。通過(guò)比較可知在只有一組對(duì)邊波線存在的情況下測(cè)定結(jié)果與問(wèn)題一結(jié)果相差太遠(yuǎn)，所以可以得出只有一組對(duì)邊波線是無(wú)法正確測(cè)定空洞位置。此外，解決這一問(wèn)題還有另一解釋，如果只有邊波時(shí)只能測(cè)定出沿方向的空洞坐標(biāo)，無(wú)法測(cè)出垂直邊的坐標(biāo)，最終無(wú)法確定空洞存在的位置。解決問(wèn)題二中在不影響測(cè)定空洞位置的前提下，適當(dāng)減少波源和接收點(diǎn)。一個(gè)波源或接受源是否能預(yù)測(cè)出空洞所在位置取決于與它相關(guān)的波線的交點(diǎn)分布情況。與其它波線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)位置。去掉一個(gè)波源，在其他波源和接受源不變的情況下，求出不重復(fù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和坐標(biāo)方差。比較去掉波源前后不重復(fù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)這種模型的建立與求解測(cè)出在去掉某些波源或接受點(diǎn)時(shí)，波前后交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)這種方法可以測(cè)定可以去掉第個(gè)波源。雖然第個(gè)波源交點(diǎn)數(shù)較多，但是方差很小，如果去除第個(gè)波源后交點(diǎn)分布很不均勻，所以不去除。這種通過(guò)計(jì)算方差的方法可通過(guò)數(shù)據(jù)觀測(cè)出應(yīng)當(dāng)去除的地方。關(guān)鍵詞：幾何排除法方差0-1模型一、問(wèn)題重述近年來(lái)探測(cè)物體內(nèi)部空洞問(wèn)題愈來(lái)愈受到人們的關(guān)注。通過(guò)探測(cè)空洞可以了解物體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，從而對(duì)工程實(shí)踐提供依據(jù)。為工程建設(shè)提供理論依據(jù)。根據(jù)對(duì)題目的理解與分析可以解決出空洞的位置從本題可知探測(cè)山體、隧洞、壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測(cè)量來(lái)確定，可以把問(wèn)題簡(jiǎn)化為測(cè)定一塊均勻介質(zhì)內(nèi)的空洞位置，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞，在平板的兩個(gè)鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在它們的對(duì)邊對(duì)等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個(gè)波源到達(dá)對(duì)邊上每個(gè)接收器的時(shí)間，根據(jù)彈性波在介質(zhì)中和在空氣中不同的傳播速度，來(lái)確定板內(nèi)空洞的位置。現(xiàn)考察如下的具體問(wèn)題：一塊（米）×（米）的平板（如圖），在一邊等距地設(shè)置個(gè)波源，對(duì)邊對(duì)等地安放個(gè)接收器，記錄由發(fā)出的彈性波到達(dá)的時(shí)間(秒);在另一組對(duì)邊同樣等距地設(shè)置個(gè)波源，另一邊對(duì)等距安放個(gè)接收器，記錄由發(fā)出的彈性波到達(dá)的時(shí)間(秒)。題目中可知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為（米/秒）和（米/秒），且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。需要根據(jù)題意的要求接出問(wèn)題一找出空洞的位置。問(wèn)題二中通過(guò)對(duì)問(wèn)題一的解決推斷出只有一組對(duì)邊的波傳播時(shí)間是否能確定空洞的位置。然后根據(jù)前面的問(wèn)題解決在確定準(zhǔn)確找到空洞位置的前提下是否可以適當(dāng)減少波源和接收器數(shù)量。這樣可以減少探測(cè)空洞的成本二、模型假設(shè)1、假設(shè)所有探測(cè)均在同一平面上進(jìn)行，所謂空洞即平面上一個(gè)區(qū)域。

2、假設(shè)對(duì)彈性波傳播的測(cè)量值存在測(cè)量誤差。

3、假設(shè)彈性波在傳播過(guò)程中互不干擾，不發(fā)生干涉。

4、假設(shè)空氣密度和介質(zhì)密度都均勻。

5、假設(shè)每個(gè)小正方形或者全是介質(zhì)，或者全是空洞。表二：實(shí)際測(cè)得的波傳播時(shí)間 根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)計(jì)算出彈性波在無(wú)空洞平板中的理論值表三：彈性波在無(wú)空洞平板中傳播的理論值i從表中數(shù)據(jù)分析可得出實(shí)際測(cè)量值與理論測(cè)量值的差值大于誤差值時(shí)，就可以得出在這條波所經(jīng)過(guò)的網(wǎng)格上有空洞的存在根據(jù)上面表格所示的波傳播的實(shí)際與理論值的時(shí)間可以通過(guò)計(jì)算機(jī)編程計(jì)算出每條波與理論值的差值，通過(guò)這種方法可以看出那條波線經(jīng)過(guò)的網(wǎng)格存在空洞即可以通過(guò)計(jì)算得出、的差值如下表所示表四：波測(cè)得的時(shí)間與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的差值jijj12345671-0.022230.0050170.1117590.1100310.3179460.3838240.44674920.014417-0.024130.3568170.3439590.3838310.4240460.27202430.2173590.328617-0.023530.3308170.3277590.2631310.09174640.2289310.3574590.319517-0.009530.094417-0.013840.11903150.2488460.3597310.1384590.1072170.0005670.0923170.09315960.2722240.2175460.1432310.2185590.1372170.0105670.01861770.3132490.2312240.2564460.102231-0.01184-0.015680.020867表五：波實(shí)際測(cè)量值與理論測(cè)量值的差值ij12345671-0.01883-0.02428-0.006540.2584310.2865460.3229240.4542492-0.00918-0.013330.2007170.3462590.2559310.3798460.38952430.2577590.2360170.0140670.3248170.3361590.3608310.21104640.2723310.2410590.3402170.0173670.2404170.1255590.00853150.2163460.1477310.2335590.2411170.0070670.1029170.12515960.1664240.2889460.4963310.2137590.1213170.000767-0.0138870.3255490.3834240.290246-0.01457-0.016940.006917-0.02503根據(jù)以上計(jì)算出的時(shí)間差值可以建立0-1模型來(lái)處理表中數(shù)據(jù)，即是實(shí)際測(cè)量時(shí)間超過(guò)測(cè)量誤差的波線經(jīng)過(guò)的網(wǎng)格記為0，實(shí)際測(cè)量時(shí)間小于或等于測(cè)量誤差的波線經(jīng)過(guò)的網(wǎng)格記為1，規(guī)則表示如下：這可以根據(jù)波列出網(wǎng)格中空洞存在情況同樣的方法可以根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列出矩陣表示中空洞存在情況以上兩個(gè)矩陣說(shuō)明了兩組波分別在網(wǎng)格中測(cè)得空洞存在情況可以根據(jù)題意得出在空格中只要有波線通過(guò)就可視為該網(wǎng)格中無(wú)空洞存在，所以要對(duì)兩個(gè)矩陣中的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，以便得出網(wǎng)格中實(shí)際的空洞分布情況。定義兩個(gè)矩陣中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的運(yùn)算規(guī)則如下0+0=0,0+1=1.1+1=1.則可以得出下面矩陣以上模型的建立與求解確定了空洞在方格中的存在位置表示0的地方就是空洞所在網(wǎng)格中的位置，下面可以根據(jù)網(wǎng)格圖形直觀的看出空洞的具體所在位置。圖一：空洞所在位置如圖所示，根據(jù)以上圖形可以得出在網(wǎng)格中沒(méi)有線經(jīng)過(guò)的網(wǎng)格是空洞所在的位置。5.2問(wèn)題二：模型建立與求解5.2.1問(wèn)題二第一個(gè)問(wèn)題的建模和求解問(wèn)題二中要求的是通過(guò)理解和分析是否在只有一組對(duì)波的情況下確定空洞的所在位置如題意可知只知道這一組對(duì)波時(shí)判斷空洞所在的位置。由假設(shè)可知在網(wǎng)格經(jīng)過(guò)的最短距離都是240m則通過(guò)對(duì)問(wèn)題一的解決可知，波傳播的時(shí)間理論測(cè)量最短是0.0833S在這一組對(duì)波中最短時(shí)間是，依題意可知在空氣中波傳播的速度要小于在介質(zhì)中傳播的速度。測(cè)得的實(shí)際值應(yīng)當(dāng)大于0.0833S。假設(shè)中測(cè)得的實(shí)際時(shí)間數(shù)據(jù)全部正確，由此可知，測(cè)量存在誤差：根據(jù)題目中的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)和理論測(cè)量的差值與測(cè)量誤差的比較，差值不超過(guò)測(cè)量誤差的說(shuō)明在這條波線所經(jīng)過(guò)的空格中沒(méi)有空洞存在，依題意可知把實(shí)測(cè)時(shí)間與理論時(shí)間的差值不大于測(cè)量誤差的波線劃到圖中。空格即為空洞所在位置從圖中可以看出在只選擇一組對(duì)邊的波來(lái)探測(cè)未知地方空洞時(shí)，根據(jù)圖中表示的網(wǎng)格中沒(méi)有線經(jīng)過(guò)的地方即是空洞存在的區(qū)域。和問(wèn)題一中探測(cè)到的空洞比較可以看出，選擇一組對(duì)邊時(shí)測(cè)得的空洞要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于選擇兩組對(duì)邊時(shí)空洞數(shù)量。所以在實(shí)際測(cè)量空洞時(shí)不會(huì)只選擇一組對(duì)邊來(lái)探測(cè)空洞位置。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題還有另一種分析的方法，假如有些空洞和AB邊近似平行，以題意只有AB邊的波的發(fā)射點(diǎn)，可以確定是否有空洞存在也同時(shí)可以確定在AB方向的位置，但是無(wú)法確定在AD方向的位置。最終還是無(wú)法確定空洞的具體位置。綜上所述只有一組對(duì)邊的波存在情況下無(wú)法確定空洞的具體位置。5.2.2下面對(duì)問(wèn)題二中另一問(wèn)題進(jìn)行建模求解。在這個(gè)問(wèn)題中要求在不影響探測(cè)空洞準(zhǔn)確位置的前提下盡量減少波的發(fā)射和接收點(diǎn)的數(shù)量討論在同樣能夠確定空洞位置的的前提下，減少波源和接收點(diǎn)器的方法。由分析可以得出，一個(gè)波源或接受源是否能預(yù)測(cè)出空洞所在位置取決于與它相關(guān)的波線的交點(diǎn)分布情況。由上訴可分為兩個(gè)方面：與其它波線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)位置。去掉一個(gè)波源，在其他波源和接受源不變的情況下，求出不重復(fù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和坐標(biāo)方差。比較去掉波源前后不重復(fù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果兩組數(shù)據(jù)相差不大表明信息量少預(yù)測(cè)空洞位置不準(zhǔn)確。而不重復(fù)交點(diǎn)的坐標(biāo)方差表明交點(diǎn)的分散程度，方差小說(shuō)明離散程度小，交點(diǎn)集中在一個(gè)較小的面積內(nèi)，使得空洞更為集中并且可靠。綜上所述，應(yīng)該選擇交點(diǎn)減少量小的并且方差較大的波源去掉。在去掉這一波源的情況下，再用同樣的方法去掉其它波源。對(duì)于本題：不重復(fù)交點(diǎn)數(shù)方差方差原始情況20412.12422.1200去掉第個(gè)波源18202.12831.9877去掉第個(gè)波源17372.09372.0785去掉第個(gè)波源17742.12232.2010去掉第個(gè)波源17912.11462.2444去掉第個(gè)波源17742.12232.2010去掉第個(gè)波源17372.09372.0785去掉第個(gè)波源18202.12831.9877根據(jù)上述分析得：這里應(yīng)去掉第個(gè)波源。雖然第個(gè)波源交點(diǎn)數(shù)較多，但是方差很小，如果去除第個(gè)波源后交點(diǎn)分布很不均勻，所以不去除。六、模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋z驗(yàn)：根據(jù)題目中所給的關(guān)系，彈性波在從的傳播路徑中會(huì)通過(guò)均勻介質(zhì)和空氣兩種不同的介質(zhì)，而且因?yàn)樵诮橘|(zhì)和空氣中的傳播速度不同，以及經(jīng)過(guò)的路程也不同，可以得出彈性波傳播時(shí)間的方程：其中，式為從的彈性波傳播方程，式為的彈性波傳播方程式中：（3）（4）得到直線和,算出可以得出在通過(guò)的區(qū)域的空洞長(zhǎng)度總長(zhǎng)約為40米，而且除了以外，均有連線通過(guò)，可見僅在方格中存在空洞，且洞徑約為40米，同理可以得出約為4米，約為36米，類似的，可以得出其他空洞的洞徑。設(shè)或之間的彈性波通過(guò)方塊區(qū)域，則洞徑為。直線和：直線和：直線和：直線和：直線和：解得的每個(gè)空洞大小平均都在40米左右，，計(jì)算結(jié)果都大于測(cè)量誤差，且所有空洞都與原方法相符，所以結(jié)果合理，空洞即七、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)模型的優(yōu)點(diǎn)：通過(guò)將0-1矩陣法，結(jié)合概率的知識(shí)，將本來(lái)不規(guī)則的空洞先忽略其形狀和大小，純粹地先將其位置判斷出來(lái)。之后在模型的檢驗(yàn)中，根據(jù)彈性波在介質(zhì)和空氣中傳播速度的不同，估算出空洞的大小。這樣分次計(jì)算，既可以檢驗(yàn)第一步的正確性，又可以進(jìn)一步計(jì)算空洞大小。，模型直觀，計(jì)算簡(jiǎn)單。這一建立的模型，具有較好的實(shí)際可操作性.對(duì)于山體、遂洞、壩體等某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)的測(cè)定，由彈性波的時(shí)間數(shù)據(jù)，用我們的模型來(lái)確定，效果較好，有一定的應(yīng)用價(jià)值。模型的缺點(diǎn)：矩陣法是將將整個(gè)介質(zhì)劃分為份，范圍較大，而且對(duì)于跨區(qū)域的有些不規(guī)則空洞可能無(wú)法探測(cè)到，存在著較大的局限性。第二步估算的空洞大小也僅是沿彈性波方向上的長(zhǎng)度，而無(wú)法判斷其形狀，也就無(wú)法進(jìn)一步判斷其大小了在建模時(shí)對(duì)于誤差原因的分析過(guò)于主觀，忽略了空洞的所有可能的分布情況和不同的接收器系統(tǒng)誤差不同。在解決本問(wèn)題中，對(duì)于我們所采用的幾何排除模型，雖然方法比較粗糙，但在對(duì)問(wèn)題的求解上比較簡(jiǎn)單，而且比較易于理解；但還存在的問(wèn)題是我們得到的結(jié)果，雖然在理論上可以解決，但結(jié)果還不夠精確，存在的誤差較大。模型的改進(jìn)：對(duì)誤差盡量客觀分析，比如對(duì)每一個(gè)接收器來(lái)自個(gè)波源的彈性波作用的時(shí)間進(jìn)行單獨(dú)的誤差分析。然而對(duì)于本文建立的模型來(lái)說(shuō)，依然不能改變空洞探測(cè)的不確定性，不能確定空洞的具體大小，也不能肯定哪個(gè)單位的面積內(nèi)必有空洞，所以我們可以對(duì)模型對(duì)如下改進(jìn)，將各邊的六等分改為更多等分，加大其精確度，但由于可測(cè)空洞的最小值為米，因此也不能無(wú)限加大，在對(duì)其進(jìn)行求解。八、模型推廣該模型主要適用于分辨不同物質(zhì)的分布，可以應(yīng)用的范圍很廣。大，可以勘探地形，尋找礦物，小，則可以鑒定物質(zhì)密度，探查人體結(jié)石。不過(guò)隨著在模型的物質(zhì)種類的增加，模型也必須隨之復(fù)雜化以符合各物質(zhì)的特性。不僅可以對(duì)山體、隧道、壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)的測(cè)量，也可以運(yùn)用到對(duì)石料，建筑材料等內(nèi)部結(jié)構(gòu)的測(cè)定。九、參考文獻(xiàn)［１］中國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì),《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》,1998年［２］朱道遠(yuǎn),《數(shù)學(xué)建模精品案例》,東南大學(xué)出版社,1999年［３］宋來(lái)忠,王志明,《數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)》，科學(xué)出版社,2005年十、附錄x=240;fori=1:7forj=1:7A(i,j)=x*sqrt(6^2+(i-j)^2)/6endenddisp(A);B=A/2880A=240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441312.4100339.4113243.3105240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441312.4100252.9822243.3105240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000243.3105252.9822268.3282288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000243.3105252.9822312.4100288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000243.3105339.4113312.4100288.4441268.3282252.9822243.3105240.0000B=0.08330.08450.08780.09320.10020.10850.11790.08450.08330.08450.08780.09320.10020.10850.08780.08450.08330.08450.08780.09320.10020.09320.08780.08450.08330.08450.08780.09320.10020.09320.08780.08450.08330.08450.08780.10850.10020.09320.08780.08450.08330.08450.11790.10850.10020.09320.08780.08450.0833C=[0.06110.08950.19960.20320.41810.49230.56460.09890.05920.44130.43180.47700.52420.38050.30520.41310.05980.41530.41560.35630.19190.32210.44530.40400.07380.17890.07400.21220.34900.45290.22630.19170.08390.17680.18100.38070.31770.23640.30640.22170.09390.10310.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042]D=[0.06450.06020.08130.35160.38670.43140.57210.07530.07000.28520.43410.34910.48000.49800.34560.32050.09740.40930.42400.45400.31120.36550.32890.42470.10070.32490.21340.10170.31650.24090.32140.32560.09040.18740.2130]E=B-C;F=B-DE=0.0222-0.0050-0.1118-0.1100-0.3179-0.3838-0.4467-0.01440.0241-0.3568-0.3440-0.3838-0.4240-0.2720-0.