煤矸石堆積問題

煤矸石堆積問題1第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

現(xiàn)給出下列數(shù)據(jù)：

（1）矸石自然堆放安息角（矸石自然堆積穩(wěn)定后，其坡面與地面形成的夾角）；

（2）矸石容量（碎矸石單位體積的重量）約2噸/米3；

（3）運(yùn)矸車所需電費(fèi)為0.50元/度（不變）；

（4）運(yùn)矸車機(jī)械效率（只考慮堆積坡道上的運(yùn)輸）初始值（在地平面上）約30%，坡道每延長10米，效率在原有基礎(chǔ)上約下降2%；

（5）土地征用費(fèi)現(xiàn)值為8萬元/畝，預(yù)計(jì)地價(jià)年漲幅約10%；（6）銀行存、貸款利率均為5%；2第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一（7）煤礦設(shè)計(jì)原煤產(chǎn)量為300萬噸/年；

（8）煤礦設(shè)計(jì)壽命為20年；

（9）采礦出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般為7%~10%。

（10）為保護(hù)耕地，煤礦堆矸石地應(yīng)比實(shí)際占地多征用10%。

現(xiàn)在煤礦設(shè)計(jì)中用于處理矸石的經(jīng)費(fèi)（只計(jì)征地費(fèi)及堆積時(shí)運(yùn)矸車用的電費(fèi)）為100萬元/年，這筆錢是否夠用？試制訂合理的年度征地計(jì)劃，并對不同的出矸率預(yù)測處理矸石的最低費(fèi)用。

3第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

模型假設(shè)：1、矸石山是棱錐和圓錐的嵌合體，棱錐和圓錐的側(cè)面與地面形成夾角均為（安息角），運(yùn)矸車道SA與地面的夾角；

2、矸石容重取；

3、原煤年產(chǎn)量理解為去掉矸石的凈煤產(chǎn)量；

4、年度征地方案理解為最多于每年初征地一次；

5、煤礦用于處理矸石的經(jīng)費(fèi)100萬元/年理解為每年初一次撥出；

6、銀行利息為復(fù)利，煤礦使用銀行資金存貸自由；7、征地費(fèi)于當(dāng)時(shí)付出，電費(fèi)于當(dāng)年內(nèi)付出不可拖欠；

1．

8、

20年只堆積一個(gè)矸石山（參看最后的附注）4第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一模型建立：

1．矸石山的底面積和征地費(fèi)1）矸石山的底面積、體積與高度的關(guān)系在題圖中A—SBOD是棱錐部分，A—BCD是圓錐部分，△SOB是直角三解形

記矸石山高h(yuǎn)=AO，

=∠OSB，可得

矸石山的底面積為△SOB、△SOD與扇形OBCD面積之和，得

5第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一征地面積至少為矸石山的體積為6第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一2）征地面積與采煤出矸率的關(guān)系設(shè)出矸率為P，記

則平均出矸量

按矸石容重

換算成體積為

于是t年后矸石的體積為

由（3）、（4）式可得矸石高度與t的關(guān)系

即（5）代入（2）得t年后占地面積為7第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一這樣，可得20年后矸石山高與占地面積分別為當(dāng)p=0.1時(shí)，h(20)=162(m)，S(20)=102(畝)。

3）征地計(jì)劃

因?yàn)榈貎r(jià)年漲幅10%高于貸款利率5%，所以應(yīng)在開始時(shí)一次性將用地全部購入，所缺經(jīng)費(fèi)向銀行貸款。當(dāng)P=0.1時(shí)，征地費(fèi)為

2．堆積矸石的電費(fèi)

1）運(yùn)矸車機(jī)械效率設(shè)運(yùn)矸車坡道行程為L

，則

8第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

由于坡道每延長一米，效率與原來效率的百分比為,a=0.02為坡道每延長10米，效率在原有基礎(chǔ)上下降的百分比，所以有故當(dāng)坡道長為L米，即當(dāng)矸石山高x=時(shí)運(yùn)矸機(jī)械效率為2）運(yùn)矸車機(jī)械功

由微元分析法可知，堆積到高度h的機(jī)械功為9第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

以（3）、（7）和代入，得（9）式右端的積分可以算出：

3）電費(fèi)按照1度（電）=3.6×106焦耳和0.5元/度，可以由（10）、（5）算出從開始到t年的電費(fèi)。當(dāng)p=0.1時(shí)，t=1到t=20年的電費(fèi)k(t)如表6.7（萬元）：

10第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一t12345678910k(t)8.5014.318.021.123.826.328.630.832.934.9t11121314151617181920k(t)36.938.740.642.344.145.847.449.150.752.3為了與所給經(jīng)費(fèi)比較，將它們都按利率5%折合成現(xiàn)值。20年總電費(fèi)K和總經(jīng)費(fèi)S分別為

11第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

總電費(fèi)K與征地費(fèi)Q之和為1220（萬元），未超過總經(jīng)費(fèi)S。

4）直接將電費(fèi)折合成現(xiàn)值的另一種方法在（8）（9）的積分中加入折扣因子，并用（5）化為對t的積分，得總電費(fèi)（折合成現(xiàn)值）為

可用數(shù)值積分計(jì)算（12）式。

對不同的出矸率，費(fèi)用的計(jì)算結(jié)果如表6.8：

12第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一出矸率P總電費(fèi)（萬元）征地費(fèi)（萬元）總費(fèi)用（萬元）0．07218．6628．2846．80．08271．9691．7963．60．09330．8753．71084．50．10395．3814．51209．80．11465．7874．41340．1可以看出，p=0.1時(shí)，兩種算法得到的結(jié)果相近。

13第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

3．結(jié)論開始時(shí)按10%的出矸率為20年堆積矸石征地102畝，不足經(jīng)費(fèi)向銀行貸款，以后每年用當(dāng)年經(jīng)費(fèi)繳電費(fèi)并還貸，20年經(jīng)費(fèi)剛好夠用。

若出矸率高于10%，如11%時(shí)，上述結(jié)果表明，經(jīng)費(fèi)已不足。

需要指出的是，上面的計(jì)算是基于20年只堆積一個(gè)矸石山的假設(shè)，若堆積多個(gè)矸石山，顯然征地費(fèi)將增加，而電費(fèi)將減少，那么總費(fèi)用如何呢。注：若堆積兩個(gè)矸石山，每個(gè)10年，不難算出，

征地費(fèi)為513×2=1026（萬元），

電費(fèi)為185×2=370（萬元），

總費(fèi)用1396（萬元），大于上面的1220（萬元）。

所以堆積一個(gè)矸石山是正確的。14第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

6.7洗衣機(jī)節(jié)水的數(shù)學(xué)模型

問題：我國淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)。洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，目前洗衣機(jī)已非常普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要，假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水—漂水—脫水—加水—漂水—脫水—┄—加水—漂水—脫水（稱“加水—漂水—脫水”為運(yùn)行一輪）。請為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等），使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少。選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，并對照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對你的模型和結(jié)果作出評價(jià)。

15第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一1．問題的分析在實(shí)際生活中，衣服的洗滌是一個(gè)十分復(fù)雜的物理化學(xué)過程。洗衣機(jī)運(yùn)行過程可以理解為洗滌劑溶解在水中，通過水進(jìn)入衣物并與衣物中的贓物結(jié)合，這種結(jié)合物易溶于水中，但衣物對這種結(jié)合物也有一定的吸附作用，可以認(rèn)為在經(jīng)過一定時(shí)間的漂洗后，它在水與衣物中的分配達(dá)到平衡。經(jīng)過脫水，去除了溶于水中的洗滌劑與贓物的結(jié)合物（統(tǒng)稱為有害物）。然后再注入清水，開始一個(gè)新的洗滌輪回，吸附于衣物中的有害物逐漸減少。這種洗滌輪回循環(huán)下去直到衣物中殘留的有害物含量達(dá)到滿意程度（即滿足一定的洗滌效果）為止。

16第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一2．模型建立與求解

為了建立衣物中的有害殘留物與洗滌輪數(shù)及每輪的加水量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)目前洗衣機(jī)的有關(guān)情況，作出如下假設(shè)：

假設(shè)I：第一輪漂洗后，水與衣物中的殘留洗滌劑及洗滌劑與衣物贓物結(jié)合物的重量之和，與洗衣開始加入的洗滌劑重量接近，設(shè)D0為洗滌前加入的洗滌劑重量，因而可作為初始的有害物重量。在文中簡單地用洗滌劑來代替有害物。

假設(shè)Ⅱ：設(shè)在每輪漂洗后，洗滌劑（有害物）在水中和衣物的分配可達(dá)到平衡（即充分漂洗），設(shè)G衣為在衣物中吸附的有害物重量與衣物重量的百分比，它與衣物材料有關(guān)，為在水中的有害物重量與水重量的百分比（即濃度），它們代表了對有害物的親和能力。

17第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一設(shè)比例系數(shù)在每一輪洗滌過程中均保持不變,即在每一輪漂洗中：也就是水中與衣物中有害物百分比減少的程度一樣，與殘留有害物多少無關(guān)。

假設(shè)要洗的衣物重量為W，開始洗滌前按要求加入洗滌劑D0即可看作初始有害物。并設(shè)第t輪洗滌后剩余的洗滌劑含量為Dt，第t輪加水量為Vt（t=1，2，…）。

下面建立t，Dt，Vt之間的關(guān)系。18第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

在第一輪洗滌中，用水洗滌后，剩余有害物量為，

則隨水排出的有害物量為D0-D1，

這樣從而可得

第2輪：

19第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一易見在第t輪洗滌后，

剩余劑量為：

我們把衣物中剩余的有害物重量與衣物的重量之比作為衡量衣物洗滌效果的標(biāo)準(zhǔn)，并設(shè)為（其中Dt為t輪洗滌后剩余的有害物重量，W為衣物重量）。

則在一定的洗滌條件下，確定最佳的洗滌輪數(shù)與每輪加水量，用最少的水達(dá)到滿意的洗滌效果的數(shù)學(xué)模型，

20第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一為求解下式中的t與（i=1，…t）：

式中Vmin和Vmax分別為最小加水量與最大加水量。

為求解上述模型，先證明一個(gè)定理。定理在總水量一定的條件下，平均分配每次加水量，實(shí)現(xiàn)的洗滌效果最好。21第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

證明：由算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系可知其中等號的成立條件為X1=X2=…=Xn，

即有當(dāng)X1+X2+…+Xn=C（C為常數(shù)）只有當(dāng)X1=X2=…=Xn時(shí)，乘積X1×X2×…×Xn為最大。

對于t次洗滌的效果，

它只與有關(guān)，

而由于為定值，

所以亦為定值，

所以由上述結(jié)論，

只有V1=V2=…=Vt時(shí)，最大，

22第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一從而最小，C0亦最小。證畢這樣，為達(dá)到最節(jié)省水的目的，每次加水量都必須相同，設(shè)為V0，

，則有當(dāng)每次加水量都為最小量Vmin時(shí)，所需要的輪數(shù)為最多，設(shè)為Tmax，

代入上式得23第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

當(dāng)每次加水量都為最大是Vmax時(shí)（一般指加滿水），所需要的輪數(shù)為最少，設(shè)為Tmin，得由于和均為整數(shù)，當(dāng)上兩式求得的和不為整數(shù)時(shí)，需取整加1，需取整，

這樣可能的最佳省水方案為使

的每次加水量V0，（t=Tmin,Tmin+1,…，Tmax）可以通過計(jì)算機(jī)遍厲t值，得出最優(yōu)的T值和每次加水量VT。

24第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一3．計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

根據(jù)以上建立的模型，當(dāng)洗衣輪數(shù)一定時(shí)（設(shè)為T），總的最優(yōu)加水量可以設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)程序，先求出T的取值范圍Tmin和Tmax，然后遍厲T從Tmin到Tmax的各整數(shù)值，

求出各個(gè)T下的最小加水量VT，從中選擇最優(yōu)解，包括需要洗滌多少輪，每輪應(yīng)加多少水。25第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一4．計(jì)算結(jié)果分析

結(jié)果分析與檢驗(yàn)不同的α，，W的變化與最小用水量的關(guān)系。1）洗滌劑添加量的變化對結(jié)果的影響。

測試前提：衣物重量為3千克；洗滌效果為0.05克/千克；α=0.56；最大水量為40升；最小水量為25升。26第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一（克）輪數(shù)（次）每輪用水量（升）最終用水量（升）203257525325753032678353288440330904533193

結(jié)論：在其它條件一定的情況下，洗滌劑的添加量越少越省水。

27第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

2）分析比例α的變化對結(jié)果的影響，

測試前提：衣物重量為3千克；洗滌添加量為30克；洗滌效果為0.05克/千克；最大水量為40升；最小水量為20升。α輪數(shù)（次）每輪用水量（升）最終用水量（升）α輪數(shù)（次）每輪用水量（升）最終用水量（升）