新人教版高二數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)

高二數(shù)學(xué)教案

一、指導(dǎo)思想

“師者，傳道授業(yè)解惑也?！苯逃呐d衰維系國(guó)家之興衰，孩子的進(jìn)步與

徘徊事關(guān)家庭的喜怒哀樂(lè)！數(shù)學(xué)這一科有著冰凍三尺非一日之寒地學(xué)科特

點(diǎn)，在高考中的決定性作業(yè)亦舉重非輕，夸張一點(diǎn)說(shuō)數(shù)學(xué)是強(qiáng)校之本、升學(xué)

之源。鑒于此，我們當(dāng)舉全組之力，充分發(fā)揮團(tuán)隊(duì)精神，既分工合作，立足

高考，保質(zhì)保量地完成教育教學(xué)任務(wù)，在原來(lái)良好的基礎(chǔ)上錦上添花。

二、工作目標(biāo)

1、全組成員精誠(chéng)團(tuán)結(jié)、互相關(guān)心、互相支持，弘揚(yáng)一種同志加兄弟的同

仁關(guān)系，力爭(zhēng)使我們高一數(shù)學(xué)組成為一個(gè)充滿活力的優(yōu)秀集體。

2、不拘形式不拘時(shí)間地點(diǎn)的加強(qiáng)交流，互相之間取長(zhǎng)補(bǔ)短、與時(shí)俱進(jìn)、

教學(xué)相長(zhǎng)。

3、在日常工作中，既保持和優(yōu)化個(gè)人特色，又實(shí)現(xiàn)資源共享，同類班級(jí)

的相關(guān)工作做到基本統(tǒng)一。

三、工作思路

本學(xué)期高二數(shù)學(xué)備課組工作總體思路是：1、認(rèn)真貫徹落實(shí)學(xué)校教務(wù)處對(duì)學(xué)

科備課組工作的各項(xiàng)要求；2、強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)研究，提高全組老師的教研水平和

教學(xué)能力，開(kāi)展好備課組的集體備課活動(dòng)；3、繼續(xù)鉆研新教材，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)新課

標(biāo)對(duì)高一數(shù)學(xué)教學(xué)的總體要求。

四、活動(dòng)設(shè)想

1、按時(shí)完成學(xué)校（教導(dǎo)處、教研組）相關(guān)工作；

2、輪流出題，講求命題質(zhì)量，分章節(jié)搞好集體備課；

3、每周集體備課一次，每次有一個(gè)中心發(fā)言人，組織進(jìn)行教學(xué)研討；

4、互相聽(tīng)課，一人之長(zhǎng)補(bǔ)己之短，完善自我；

5、認(rèn)真組織好培優(yōu)輔差工作以及各類競(jìng)賽的組織工作。

第一本都理易證明

課題：合情推理(一)----歸納推理

課時(shí)安排：一課時(shí)課型：新授課

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理這種基本的分析問(wèn)題法，認(rèn)識(shí)歸納推理的

基本方法與步驟，并把它們用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決中去。

2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推

廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。

教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。

教學(xué)難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理，做出猜想。

教學(xué)過(guò)程：

一、課堂引入：

從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱為推理。

見(jiàn)書(shū)上的三個(gè)推理案例，回答幾個(gè)推理各有什么特點(diǎn)？都是由“前提”和“結(jié)論”兩部分組

成，但是推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，據(jù)此可分為合情推理與演繹推理

二、新課講解：

1、蛇是用肺呼吸的，鱷魚(yú)是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鱷魚(yú)，海龜，蜥蜴都是爬行動(dòng)物，所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。

2、三角形的內(nèi)角和是180。，凸四邊形的內(nèi)角和是360°,凸五邊形的內(nèi)角和是540。

由此我們猜想：凸邊形的內(nèi)角和是(〃-2)x180°

c22+122+222+1

3、一<---,一<-----,一<-----由此我們猜想：巴＜竺竺(a,仇根均為正實(shí)數(shù))

33+133+233+3bb+m

這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,

或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡(jiǎn)稱：歸納)

歸納推理的一般步驟：

⑴對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；

⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；

(日檢驗(yàn)猜想。

實(shí)驗(yàn)，觀察_____＞概括，推廣_______＞猜測(cè)一般性結(jié)論

三、例題講解:

春i)，

例1已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式見(jiàn)/5）=（1—2d一%）…（1一4），

試通過(guò)計(jì)算/(1),/(2),/(3)的值，推測(cè)出f(n)的值。

【學(xué)生討論：】(學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測(cè)如下)

13

⑴/(l)=l-a,=1--=-

13824

/(3)=(l-a,)(l-?2)(l-?3)=/(2).(l-^)=1^=1

163168

〃+2

由此猜想，/(〃)=-------

25+1)

學(xué)生討論：1)哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的之和。

2)三根針上有若干個(gè)金屬片的問(wèn)題。

四、鞏固練習(xí)：

1、已知/(〃)=4…+-1代?,經(jīng)計(jì)算：〃2)=2/(4)>2"(8)>3,

23n22

7

/(16)>3,/(32)>-,推測(cè)當(dāng)〃之2時(shí)，有.

33

2、已知:sin230+sin290+sin2150=-,sin25+sin265+sin2125=一。

22

觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題，并證明之。

3、觀察(1)tan10tan20+tan20tan60+tan60tan10=1

(2)tan5tan10+tan10tan75+tan75tan5=1。

由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論。

注：歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)：

1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而，由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.

2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性.

3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.

歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.

五、教學(xué)小結(jié)：

1.歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表

性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。

2.歸納推理的一般步驟：1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。

2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)。

六、作業(yè)：

教后反思：

課題：類比推理

?教學(xué)目標(biāo)：

(-)知識(shí)與能力：

通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，認(rèn)識(shí)類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問(wèn)

題的發(fā)現(xiàn)中去。

(二)過(guò)程與方法：

類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似

性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。

(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1.正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)

事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí)。

2.認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)

學(xué)意識(shí)。

?蔡￡重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。

?教學(xué)難點(diǎn)：用類比進(jìn)行推理，做出猜想。

?教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

?課時(shí)安排：1課時(shí)

?教學(xué)過(guò)程：

一.問(wèn)題情境

從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班(后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師)一次去林

中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.

他的思路是這樣的：

茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.

這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？

二.數(shù)學(xué)活動(dòng)

我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的推理實(shí)例。

例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。

等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)：

(1)a=b=>a+c=b+c;(1)a>b=^>a+c>b+c;

(2)a=b=>ac=bc;(2)a>b=>ac>bc;

⑶a二bnaJb2；等等。⑶aAbna^Ab?；等等。

問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？

例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.

圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

圓球

弦^--*截面圓

直徑一f大圓

周長(zhǎng)一f表面積

面積----體積

圓的性質(zhì)球的性質(zhì)

圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于

截面圓

與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等與球心距離相等的兩截面圓相等：與球心距離

的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較

大

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)球心且垂

直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心

☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們

在其他方面也相似或相同；或其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些

特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.

簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

類比推理的一般步驟：

⑴找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；

⑵用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；

S）檢驗(yàn)猜想。即

觀察、比較修|聯(lián)想、類推|一|猜想新結(jié)論

例3.在平面上，設(shè)ha,hb,he是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的

距離分別為Pa,Pb,Pc,我們可以得到結(jié)論：2+且.+&=]

h兀h

試通過(guò)類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.

鞏固提高

1.（2001年上海）已知兩個(gè)圓①x2+y2=l:與②x2+（y-3）2=l,則由①式減去②式可得上述兩圓的

對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題,

而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為------------------

2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.

c2=a2+b2

直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體

ZC=90"NPDF=ZPDE=ZEDF=90"

3個(gè)邊的長(zhǎng)度a,b,c4個(gè)面的面積51,S2,53和5

2條直角邊a,b和1條斜邊c3個(gè)"直角面"51,S2,S3和1個(gè)"斜面”5

3.（2004,北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同

一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。

已知數(shù)列是等和數(shù)列，且公和為5,那么

的值為.,這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為

課堂小結(jié)

教后反思:

1.類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似

性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。

2.類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)

不等式證明一(比較法)

比較法是證明不等式的一種最重要最基本的方法。比較法分為：作差法和作商法

一、作差法：若a,bWR,則：a—b>O<=>a>b；a—b=0Oa=b；a—b<O<=>a<b

它的三個(gè)步驟：作差一一變形一一判斷符號(hào)(與零的大小)一一結(jié)論.

作差法是當(dāng)耍證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時(shí)，通過(guò)作差把定量比較左右的大小轉(zhuǎn)化為

定性判定左一右的符號(hào)，從而降低了問(wèn)題的難度。作差是化歸，變形是手段，變形的過(guò)程是

因式分解(和差化積)或配方，把差式變形為若干因子的乘積或若干個(gè)完全平方的和，進(jìn)而

判定其符號(hào)，得出結(jié)論.

例1、求證：X2+3>3x

證：(x2+3)—3x=x~—3x+(―)~—(―)-+3=(X——)_+—>0,x2+3>3x

例2：已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b,求證：^―^>-

b+mb

a+mah(a+m)-a(b+m)m(b-a)..切p翱竹口.

證：---------=-------------------=---------,?a,b,m都是1g正數(shù)，并且a<b,

b+mbh(b+m)b(b+m)

m(b-。)八a+ma

??b+m>0,b-a>0..------------->0r即1n:------>一

b(b4-m)b+mb

變式：若a>b,結(jié)果會(huì)怎樣？若沒(méi)有“a<b”這個(gè)條件，應(yīng)如何判斷？

例3：已知a,b都是正數(shù)，并且awb,求證：a5+b5>a2b3+a3b2

證：(a，+b，)—(a2b3+a3b2)=(a，—a^b2)+(b，-a2b)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)

=(a+b)(a—b)2(a2+ab+b2)

?:a,b都是正數(shù)，Aa+b,a2+ab+b2>0,又,「awb,(a-b)2>0

(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,即：a5+b5>a2b3+a3b2

例4：甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半

時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mwn,

問(wèn)：甲乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？

解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S,甲乙兩人走完全程所需時(shí)間分別是0t2，

E4八0ss_.2SS(加+幾)

則：一rnH—n=S,------1------=t?可得ZH：4=---------,t2=-----------

222m2nm+n2tvn

.2SS(〃z+〃)S[4〃z〃-Q九+S(m-n)2

??f】一心=----------------=------------------=-------------

~m+n2mn2(m+ri)mn2m+

IS,m,n都是正數(shù),且mwn,BP：ti<t2

從而：甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。

例5：是一道利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的例題.我們先用類比列方程解應(yīng)用題的步驟，然后

參考列方程解應(yīng)用題的步驟，分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系(函數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系或

不等關(guān)系)，列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，求解，作答等?整個(gè)解答過(guò)程體現(xiàn)了比較法解決

不等關(guān)系等實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用.

變式：若m二n,結(jié)果會(huì)怎樣？

二、作商法：若a〉0,b>0,則：—>1<^>a>b；—=1Oa=b；—<1<^>a<b

bbb

它的三個(gè)步驟：作商一一變形一判斷與1的大小——結(jié)論.

作商法是當(dāng)不等式兩邊為正的乘積形式時(shí)，通過(guò)作商把其轉(zhuǎn)化為證明左/右與1的大小。

a+b

例5、設(shè)a,beR+,求證：優(yōu)薩N(ab)3>ahba

證：先證不等式左》中：由于要比較的兩式呈累的結(jié)構(gòu)，故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，故可采

用作商比較法證明.

〃加厘2a±

222

作商：a+bb=(h-)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(ab)2

a-b

當(dāng)a=b時(shí)，(.2=1

ia-b

w..aa-b?/d、F~1

當(dāng)a>b>0時(shí)tt，—>l,--—>0,(―)2>I

ja-h

當(dāng)b>a>0時(shí)，0<.<l,巴!^<0，(()2>l

a+b

即aabh>(a份石

(中，右請(qǐng)自己證明，題可改為a,beR-,求證：竺不)

2

作業(yè)補(bǔ)充題：

I.己知。、/?>0,求證：-7-1

a~b~ab

2求證：I+2/z/+2/

3.己知。力e尸，加,“eN*,加〉〃，求證：a'"+b'n>a"'-nb"+a"-b'"-"

ab

4.已知c>a>b>0,求證--->-----.

c-ac-b

aaA-cc

5.已知a、b、c、d都是正數(shù)，且bc>ad,求證一<---<-.

bh+dd

不等式證明二(綜合法)

—?、綜合法：

從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式及不等式的性

質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法。

(也叫順推證法或由因?qū)Ч?

例1、已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，

求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abe

分析：不等式左邊含有“a'+b”'的形式，我們可以運(yùn)用基本不等式：a°+b222ab;還可

以這樣思考:不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：aZb,-Ibc7ca-的“和”,右邊有

三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以運(yùn)用重要不等式：a；l+b3+c3^3abc.

證：'/b2+c222bc,a>0,.\a(b2+c2)>2abc

同理:b(c2+a2)22abc,c(a2+b2)22abc

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)N6abc

當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào)，而a,b,c是不全相等的正數(shù)

三式不同時(shí)取等號(hào)，三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc本例證

法可稱為三合一法，當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母具有對(duì)稱形式時(shí)，我們?？砂哑淇闯墒怯扇舾?/p>

個(gè)結(jié)構(gòu)相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元的較簡(jiǎn)單的不等

式證出，即可完成原不等式的證明。

例2、a,b,ceR,求證：1。(a+A+c)(，+工+,)N9

ahc

2。(a+〃+c)(——+—'—+—'—)>-

a+hb+cc+a2

>abc、3

3°--------+---------+--------->-

b+cc+aa+b2

證：1。、法一：a+b+c>3lfabc,-+-+->3?兩式相乘即得。

abcVabc

-4、上〃+〃+c〃+b+ca+b+cc力〃、,c,ch

法二：左邊二-------+-------+-------=3+(-+-)+(-+-)+(-+-

abcabacbe

23+2+2+2=9

■.a+bb+cc3,r-----7—7------------------

2。、?—^―+—+土#3+/?)(〃+。)(。+。)

—+—+—>33---------------i---------------兩式相乘即得

a+bh+cC+Q\(a+Z?)(〃+c)(c+a)

9

3。、由上題：(。+/7+。)(一5—+—+>

-2-

a+bh+c

c,a、h9abc、3

At14---------+1+---------+1+--------->-,即：-----+-----+----->-

a+bh+cc+a2b+cc+aa+b2

例3、已知a,b,C都是正數(shù)，且a,b,C成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2>(a-b+c)2

證明：左一右=2(ab+bc—ac),'."a,b,c成等比數(shù)列，b2-ac

又.；a,b,c都是正數(shù)，所以=士￡<a+c,.,.a+c>/?

2

2(ab+bc—ac)=2(.ab+bc—b2)=2b(a+c—b)>0a2+b2+c2>(a—b+c)2

說(shuō)明：此題在證明過(guò)程中運(yùn)用了比較法、基本不等式、等比中項(xiàng)性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合法證明不

等式的特點(diǎn).

例4、制造一個(gè)容積為V(定值)的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無(wú)蓋兩種情況，求：

怎樣選取底半徑與高的比，使用料最?。?/p>

分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征，考慮運(yùn)用“基本不等式”來(lái)證明.對(duì)于2題，抓

住容積為定值，建立面積目標(biāo)函數(shù)，求解最值，是本題的思路.

V

解：設(shè)容器底半徑為r,高為h,則\'=nr2h,h=g.

(1)當(dāng)容器有蓋時(shí)，所需用料的面積：

S=2Jtrz+2nrh=2nr2+^—=2nr2+—+—>3^2/-—=3yl27rV2

?vyVr1

當(dāng)且僅當(dāng)2"，=一，即r=[L,h=『=2r,取“=”號(hào).故一=一時(shí)用料最省.

r、2兀kh2

(2)當(dāng)容器無(wú)蓋時(shí)，所需用料面積：S=nr2+2nrh=nr2+—=nr2+-+->3

rrr

V[yV

當(dāng)且僅當(dāng)nr'=—,r=3|—,h=—z-=r.即r=h時(shí)用料最省.

rV7te"

作業(yè)補(bǔ)充題:

1、設(shè)a,b,c￡R,

_______5

1°求證：JQ?>——(a+b)

2

2。求證：+：2+7/?2+c2+M2+/>叵(a+/7+c)

2、設(shè)a>0,b>0,c>0且a+b+c=l,求證:8abc^(l-a)(1-b)(1-c).

3、設(shè)a,b,c為一個(gè)不等邊三角形的三邊,求證：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).

.八.十,ah-ici4-h

4、已知a,bwR,求證：(-----),<-------

22

ii25

5、設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證：(aH—)2+SH-)22—

ab2

不等式證明三(分析法)

當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時(shí)，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析尋求使

這個(gè)不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，從而得

出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析法證明時(shí)，

要注意表述的規(guī)范性，當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合使用，以分析法

尋求證明的思路，而用綜合法進(jìn)行表述，完成證明過(guò)程。

例1、求證：V3+V7<2A/5

證：分析法：綜合表述：

?/73+V7>0,2后>0V2K25

只需證明：（、Q+J7）2<（2百）V21<5

展開(kāi)得：10+2⑨<202V21<10

即：2721<10A10+2A/21<20

V21<5(V3+V7)2<(2A/5)

即：21<25（顯然成立）AV3+77<275

AV3+V7<2A/5

例2、設(shè)x>0,y>0,證明不等式：u2+r)>(一+泗3

證一：（分析法）所證不等式即:(x2+y2)3>(x3+/)2

即：f+y6+(％2+

即：3x2y2(x2+y2)>2x3y3

2

只需證：x2+y2>—xy

2

x2+y2>2xy>—xy成立

2i

/.(x2+y2)2>(x3+y3)3

證二：(綜合法)V(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)>x6+y6+6x3y3

>x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2

22

Vx>0,y>0,/.(x2+y2y>(x3+y3y

例3、已知：a+b+c=0,求證：ab+be+caW0

iiE一：(綜合法)*.*a+b+c=0(a+b+c)2=0

9,2)

pja+b+c

展開(kāi)得4l：ab+btc+ca--------------------------

2

Aab+be+caW0

證二：(分析法)要證ab+bc+caW0a+b+c=0

故只需證ab+be+caW(a+b+c)2

即證：a2+b~+c2+ab+bc+ca>0

即：萬(wàn)K。+〃)+(〃+c)?+(c+。/]N0(顯然)

???原式成立

證三：'/a+b+c=0A-c=a+b

ab+be+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab

2

b23/7

=-[(6Z+-)+—]<0

24

例4、已知a>8>0,ab=l,求證：—+/?->2>/2,并求等號(hào)成立的條件。

a-b

分析：不等式右邊是常數(shù)，能否用平均值定理？應(yīng)當(dāng)可以。(找條件一正、二定、三相等)

如何把左邊變形為和的形式？多項(xiàng)式的除法或配湊！

.a1+Z?2(a-b)2+2ab/,、2ah_

左二---------------------=(。-與+-----(看z到了希望！)x

a-ba—ba-b

=a-b+--------(已知"=1)

a-b

>272

=1(V6+V2)

當(dāng)?！猙='一時(shí)，由八"一切"解出當(dāng)《2時(shí)等號(hào)成立。

a-bab=\,

ib=—(y/6—A/2)

2

例5、a〉0,b>0,且a+b=1,求證：Ja+g+Jb+gW2.

證明：(a+—)+(b+—)+2?

V2V222

<=ab+----------1—Wl<=ab+-W]<=abW—

2444

a>0,b>0,且a+b=1,abW........)-成立，故JaT-------卜JbT—W2.

24V2V2

作業(yè)補(bǔ)充題

1.求證:后+V7>2后+石.

2、.若a,b>0,2c>a+b,求證：（l）c?>ab；（2）c-yjc2—ab<a<c+Vc2—ab

3、求證:a,b,ceR1求證：2（."；，-4ab）<3（"，:-。一y/abc）

4、設(shè)a,b,c是的aABC三邊，S是三角形的面積，求證：c?—a?—從十々龍

A

5,已知0<0<兀，證明：2sin20<cot—

2

6、求證：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截

面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

不等式證明四（反證法與放縮法）

一、反證法：

有些不等式無(wú)法利用用題設(shè)的已知條件直接證明，我們可以間接的方法一一反證法去證明，

即通過(guò)否定原結(jié)論-----導(dǎo)出矛盾------從而達(dá)到肯定原結(jié)論的目的。

例1、若x,y>0,且x+y>2,則史上和匕土中至少有一個(gè)小于2。

xy

反設(shè)1+222,"'22Vx,y>0,可得x+y<2與x+y>2矛盾，，原式成立

xy

例2、已知a+b+c>0,ab+be+ca>0,abc>0,求證：a,b,c>0

證：（1）設(shè)a<0,Vabc>0,/.be<0

又由a+b+c>0,則b+c=-a>0

ab+bc+ca=a（b+c）+be<0與題設(shè)矛盾

（2）若a=0,則與abc>0矛盾，必有a>0

同理可證：b>0zc>0

例3、設(shè)Ova,b,c<l,求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同時(shí)大于,

4

證：設(shè)(l-a)b>,，(1-b)c>—,(1-c)a>—,

444

則三式相乘：(l-a)b?(l-b)c,(l-c)a>'-①

64

一~12

又：o<a,b,c<i.-.0<(l-a)4z<(”=-

_2J4

同理：(1-/?)/?<-,(l-c)c<-

44

以上三式相乘：(1-a)ae(l-b)be(l-c)c^—與①矛盾.

64

，(l-a)b,(l-b)c,(l-c)a,不可能同時(shí)大于!

4

二、放縮法：

在證明不等式的時(shí)候，在直接證明遇到困難的時(shí)候，可以利用不等式的傳遞性，把

要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式，即欲證A>B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€(gè)中間量C

作為媒介，證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C（或把A縮小到Q的方

法稱為放縮法,放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對(duì)象以及放縮的尺度不易掌握，技

巧性較強(qiáng)，這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過(guò)多次的探索和試驗(yàn)才能成

功,因此必須多練.比較常用的方法時(shí)把分母或分子適當(dāng)放大或縮?。p去或加上一個(gè)正

數(shù)）使不等式簡(jiǎn)化易證。

例4、若a,b,c,dwR,,求證：1<-------------1---------------1---------------1-------------<2

a+h+d〃+C+Qc+d+bd+a+c

、十、r。bcd

證：idm=--------------1---------------1----------------1--------------

a+b+db+c+ac+d+〃d+a+c

a,b,c,dGR+

abcd

m>--------------------1---------------------1---------------------1--------------------=1

a+b+c+da+b+c+ac+d+a+bd+a+b+c

ahcd

m<-------+----------1---------+--------=2

a+ba+hc+dd+c

/.1<m<2即原式成立

例5、當(dāng)n>2時(shí)，求證：log〃(〃-l)log“(〃+l)V1

證：:n>2logn(n-1)>0,logH(n+1)>0

—_12-9

?/八log?(n-l)+log?(?+l)log?(n--1)

log?(H-l)log?(/?+l)<金----------------------------=--------

<"-=1,，n>2時(shí)，log,,(n-1)log,,(n+1)<1

例6、求證：I+----卜二<2

I22232n2

--P..1111

nn(n-1)n-\n

1

i+±+±++Li+JJJd-----------

.I22232n21x22x33x4(n-l)xn

=1+(1--)+(---)++(——--)=2--<2

思考：若把不等式的右邊改成工或"，你可以證明嗎？

436

|a+Z?|<⑷?同

例7、求證:

\+\a+b\l+|a|1+網(wǎng)

證：:|a+b|W|a|+|b|zz>|a|+1b|-1a+b|20,

|。+。||〃+力|+(|。|+|4一.乙少、-“4人、

???」-LIJ/I_k(課本P22“溶液”例結(jié)論)

i+|?+z?|1+,+.+刎+網(wǎng)-卜+川)

=口叱=Ml[+3I?4耳+耳.(把分母減小,使分式放大)

1+|?|+|/?|1+時(shí)+回1+同+例1+同1+網(wǎng)

作業(yè)補(bǔ)充題

1、設(shè)0<a,b,c<2,求證：(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b,不可能同時(shí)大于1

2、設(shè)/(x)=ox2+Z?x+c,其中。、b、cwZ,并且同=1.試證明:廬一4acW0

3、設(shè)+求證：|/⑴|、|/(2)|、/⑶中至少有一個(gè)不小于:

x+x

4、設(shè)、江x>0,y>0,。=------y--,h1--------1---y--,求證：a<b

1+x+y1+x1+y

5、證明：—I-----1-------F???H——>1(〃￡??+,〃N2)

n〃+l〃+2n

6、證明:Ig9-lgll<l

114

7、證明：若a>b>c,則----+——+----->0

a-hb-cc-a

教后反思:

課題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì).

2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題.

3.培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，論證的能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)

生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想.

4.努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和

課堂效率.

5.通過(guò)對(duì)例題的探究，體會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法(先猜想后證明)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱

情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析

【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解

【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法

【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)

【教學(xué)程序】

第一階段：輸入階段——?jiǎng)?chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維

(1)不完全歸納法引例：

明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字.這則笑話中財(cái)主的兒子

得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過(guò)，這個(gè)歸納推出

的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的.

(2)完全歸納法對(duì)比引例：

有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些.他給每人一筐花生去剝皮，看看每

一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰(shuí)先給出答案.大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；

二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒(méi)熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、

兩仁的，總共不過(guò)一把花生.顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明.

在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用.例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的

歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.

2.回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí)

(從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)

讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過(guò)歸納.)

(1)不完全歸納法實(shí)例：給出等差數(shù)列前四項(xiàng)，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(2)完全歸納法實(shí)例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況.

3.借助數(shù)學(xué)史料，促使學(xué)生思辨

(在生活引例與學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料?，能夠讓學(xué)生多方位

多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完

全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此.那么，有沒(méi)有更好

的歸納法呢？)

問(wèn)題1已知=(“2—5”+5)2(ne/v),

⑴分別求q；/；%；%?

(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？

(培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力.概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦指

出：思維都是在概括中完成的.心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括"，這里知識(shí)、技能、思維方法、

數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過(guò)程.)

問(wèn)題2費(fèi)馬(Fermat)是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)旌"時(shí)，22"+1

一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)〃=0,1,2,3,4作了驗(yàn)證后得到的.后來(lái)，18世紀(jì)偉大的瑞士

科學(xué)家歐拉(Euler)卻證明了2"+1=4294967297=6700417X641,從而否定了費(fèi)

馬的推測(cè).沒(méi)想到當(dāng)"=5這一結(jié)論便不成立.

問(wèn)題3f(n)=n2+n+41,當(dāng)〃d/V時(shí)，/(〃)是否都為質(zhì)數(shù)？

驗(yàn)證：/*(0)=41,/(I)=43,r(2)=47,f(3)=53,/(4)=61,f(5)=

71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,/(9)=131,f(10)=151,…，f(39)

=1601.但是/'(40)=1681=412,是合數(shù).

第二階段：新舊知識(shí)相互作用階段——新舊知識(shí)作用，搭建新知結(jié)構(gòu)

4.搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

(在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā),與學(xué)生一起解析歸納原理，揭示遞推過(guò)程.孔

子說(shuō)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者.”興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良

好的情感體驗(yàn).)

實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像

關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下，則它的后一張牌必定倒下.于

是，我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)全部倒下.

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