2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想方法與解題技巧第67講運(yùn)用分類討論法解立體幾何問題含解析

Page1第67講運(yùn)用分類討論法解立體幾何問題在研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系時(shí)往往會出現(xiàn)不同的狀況需要分類討論,在進(jìn)行空間圖形中有關(guān)面積和體積計(jì)算時(shí),由于某一元素的變動(dòng)而出現(xiàn)多種結(jié)果,也需要運(yùn)用分類與整合的方法求解.典型例題【例1】已知直線且相距在所確定的平面外,且相距和平面相距,求與間的距離.【分析】本例是由于圖形的位置關(guān)系不確定而引起分類討論的立體幾何問題在平面上的射影位置不同,則與的距離也不同,對各種情形都要討論,否則就容易漏解或無從下手.【解析】在上任取一點(diǎn),作于,則垂足的位置有兩種可能:①在平行直線與之間,如圖所示；②不在平行直線與之間,如圖(b)和圖所示.在平面內(nèi),過作與垂直的直線交于,交于,則為與平面的距離,為與的距離.為平行直線間的距離,為間的距離.無論哪種情形,都有在圖中,,;在圖(b)中,,;在圖中,,此情況不存在.因此與間的距離為或.【例2】若一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有兩個(gè)是等腰直角三角形,另一個(gè)是邊長為1的正三角形,試求所有滿足上述條件的三棱錐的體積.【分析】三棱錐的三個(gè)側(cè)面中只有一個(gè)面的形狀是完全確定的,即是邊長為1的正三角形,另有兩個(gè)側(cè)面是等腰三角形,實(shí)質(zhì)上形狀沒有完全確定,構(gòu)成三棱錐第四個(gè)三角形的形狀有多種可能性,如圖所示,可以是與兩個(gè)等腰三角形全等,也可以與邊長為1的正三角形全等,若兩個(gè)側(cè)面是全等的等腰直角三角形,則第四個(gè)面是以等腰直角三角形的底邊為腰、邊長1為底的等腰三角形,所以解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造符合題意的三棱錐,獲得完整的解答.【解析】符合題意的三棱錐可以有三種.①三棱錐中,和是等腰直角三角形,且,而是邊長為1的正三角形,則此三棱錐的體積是,見圖②三棱錐中,和是等腰直角三角形,且,而是邊長為1的正三角形,則此三棱錐的體積是,見圖(b).③三棱錐中,和是等腰直角三角形,且,而和都是邊長為1的正三角形,取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié),則且,即平面,又,則是的等腰直角三角形,此三棱錐的體積是,見圖.【例3】已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,且,,側(cè)棱與底面成,求它的體積.【分析】在證得平面平面,點(diǎn)在底面上的射影在直線上之后,但點(diǎn)在直線上的位置不能確定,所以要對點(diǎn)的位置分類討論.【解析】平面又平面平面平面則點(diǎn)在平面上的射影一定在直線上,過作垂直于,設(shè).①若點(diǎn)在線段的延長線上,聯(lián)結(jié),如圖所示,則是與底面所成的角,即在中,在中,,②解得③綜上所述,斜三棱柱的體積為或【例4】在正三棱柱中,【分析】由于截面與下底面所成的二面角在內(nèi)變化,以截面為界,變動(dòng)中的截面可以是等腰三角形(截面的頂點(diǎn)在側(cè)棱上)也可以是等腰梯形(截面等腰梯形的上底在上底面內(nèi)且,故必須以此分類討論.【解析】如圖所示,在正三棱柱中,取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié),就是平面與平面所成二面角的平面角,①.截面的面積為.②當(dāng)時(shí),過棱的截面是等腰梯形