2024屆湖南長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

2024屆湖南長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線x+y﹣1＝0被圓（x+1）2+y2＝3截得的弦長(zhǎng)等于（）A. B.2C.2 D.42．已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.3．已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長(zhǎng)是（）A. B.C.8 D.164．如圖給出的是一道典型的數(shù)學(xué)無(wú)字證明問題：各矩形塊中填寫的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，所有數(shù)字之和等于1.按照?qǐng)D示規(guī)律，有同學(xué)提出了以下結(jié)論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫的數(shù)字為B.前七個(gè)矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于C.矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列D.按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第n-1個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是5．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.329．與的等差中項(xiàng)是（）A. B.C. D.10．下列命題中，結(jié)論為真命題的組合是（）①“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件②若命題“”為假命題，則命題一定是假命題③是的必要不充分條件④雙曲線被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為⑤已知過點(diǎn)的直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤11．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.和 B.和C.和 D.和12．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，且對(duì)任意，都有且．若對(duì)任意恒成立，則________14．已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.15．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個(gè)正方形分成9個(gè)全等的小正方形，對(duì)中間的一個(gè)小正方形進(jìn)行著色得到第1個(gè)圖案（圖1）；在第1個(gè)圖案中對(duì)沒有著色的小正方形再重復(fù)以上做法得到第2個(gè)圖案（圖2）；以此類推，每進(jìn)行一次操作，就得到一個(gè)新的正方形圖案，設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為1，記第n個(gè)圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______16．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則的值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你認(rèn)為應(yīng)該選哪名學(xué)生參加比賽？為什么？18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若面積的最大值為，且離心率（1）求C的方程；（2）A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上19．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).20．（12分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.21．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對(duì)其求解.問題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長(zhǎng)：.故選B.點(diǎn)睛:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓的位置關(guān)系.判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：1．代數(shù)法：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但是計(jì)算量較大.2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較?。?dāng)直線與圓相交時(shí),可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長(zhǎng)和半徑的勾股關(guān)系.2、B【解題分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)弦的問題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線方程即可.【題目詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€AB的斜率為1，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B3、D【解題分析】根據(jù)橢圓定義求解【題目詳解】由橢圓定義得△的周長(zhǎng)是，故選：D.4、B【解題分析】根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【題目詳解】設(shè)每個(gè)矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列，則可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫的數(shù)字為，故A錯(cuò)誤；前七個(gè)矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是，故D錯(cuò)誤.故選：B.5、B【解題分析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求解.【題目詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故選：B.6、A【解題分析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【題目詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.7、B【解題分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}，，所以為，.故選：B.8、B【解題分析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.9、A【解題分析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【題目詳解】與的等差中項(xiàng)是故選：A10、C【解題分析】求出兩直線垂直時(shí)m值判斷①；由復(fù)合命題真值表可判斷②；化簡(jiǎn)不等式結(jié)合充分條件、必要條件定義判斷③；聯(lián)立直線與雙曲線的方程組成的方程組驗(yàn)證判斷④；判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷⑤作答.【題目詳解】若直線與直線相互垂直，則，解得或，則“”是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件，①正確；命題“”為假命題，則與至少一個(gè)是假命題，不能推出一定是假命題，②不正確；，，則是的必要不充分條件，③正確；由消去y并整理得：，，即直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，④不正確；點(diǎn)在圓上，則直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，而過點(diǎn)與圓相切的直線為，直線不包含，因此，直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，⑤正確，所以所有真命題的序號(hào)是①③⑤.故選：C11、C【解題分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得到焦點(diǎn)所在軸及半焦距的長(zhǎng)，進(jìn)而得到兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點(diǎn)在y軸，故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是和故選：C12、D【解題分析】設(shè)AA1=2AB=2，因?yàn)?，所以異面直線A1B與AD1所成角，，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、66【解題分析】根據(jù)恒成立和嚴(yán)格遞增可得，然后利用遞推求出，的值，不難發(fā)現(xiàn)在此兩項(xiàng)之間的所有項(xiàng)為連續(xù)正整數(shù)，于是可得，，然后可解.【題目詳解】因?yàn)?，且?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以或，若，則（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，所以，，所以，所以故答案為：6614、【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)求得為增函數(shù)，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，得出即在點(diǎn)處的切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解【題目詳解】由題意，點(diǎn)在曲線上，可得，又由函數(shù)，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，因?yàn)?，所以，即在點(diǎn)處的切線的斜率為2，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，即.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力15、【解題分析】根據(jù)題意，歸納總結(jié)，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的通項(xiàng)公式.【題目詳解】結(jié)合已知條件，歸納總結(jié)如下：第一個(gè)圖案中，著色正方形的面積即；第二個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個(gè)圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.16、2【解題分析】求得雙曲線的a，b，c，不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用雙曲線的定義、余弦定理列出方程組，求出mn即可.【題目詳解】雙曲線的a＝2，b＝1，c＝，不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可得故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；；；（2）選乙參加比賽，理由見解析.【解題分析】（1）利用平均數(shù)和方程公式求解；（2）利用（1）的結(jié)果作出判斷.【題目詳解】（1）由數(shù)據(jù)得：；；（2）由（1）可知，甲乙兩人平均成績(jī)一樣，乙的方差小于甲的方差，說(shuō)明乙的成績(jī)更穩(wěn)定；應(yīng)該選乙參加比賽.18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為，直線BN的方程為，聯(lián)立，解得：，即可證明直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【小問1詳解】由題意可得：，解得：,所以C的方程為.【小問2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由，消去y得：，所以.所以.因?yàn)橹本€AM的方程為，直線BN的方程為，二者聯(lián)立，有，所以，解得：，直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【題目點(diǎn)撥】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.19、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長(zhǎng).試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.20、（1）（2）【解題分析】由已知式子變形可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得利用錯(cuò)位相減法，得到數(shù)列的前項(xiàng)和為解析：（1）由，（）知，又，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴（2），，兩式相減得，∴點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的證明，錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力．第一問中將已知的遞推公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為的形式來(lái)證明，還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來(lái)證明；第二問，將第一問中得到的結(jié)論代入，先得到的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和為21、（1）（2）恒過點(diǎn)【解題分析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又，所以、，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所