廣州市2024屆高二數學第一學期期末考試試題含解析

廣州市2024屆高二數學第一學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列中，，當時，，設，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.2．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.3．為了調查全國人口的壽命，抽查了11個?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本容量4．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.5．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點，若C為直線與y軸的交點，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.6．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，點E是棱PC的中點，作，交PB于F.下面結論正確的個數為()①∥平面EDB；②平面EFD；③直線DE與PA所成角為60°；④點B到平面PAC的距離為.A.1 B.2C.3 D.47．已知復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數為（）A. B.C. D.8．已知定義在R上的函數滿足，且當時，，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.9．《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺10．平面上動點到點的距離與它到直線的距離之比為，則動點的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓11．設是公差的等差數列，如果，那么（）A. B.C. D.12．（）A.-2 B.-1C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知對任意正實數m，n，p，q，有如下結論成立：若，則有成立，現已知橢圓上存在一點P，，為其焦點，在中，，，則橢圓的離心率為______14．設數列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________15．已知函數，，若，，使得，則實數a的取值范圍是______16．設、分別是橢圓的左、右焦點．若是該橢圓上的一個動點，則的最大值為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設平面與平面的夾角為，求的最小值18．（12分）已知橢圓過點，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的上頂點作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點①求證：；②設OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點，過點O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值19．（12分）數列的前n項和為，（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和20．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由21．（12分）已知函數在處有極值.（1）求的值；（2）求函數在上的最大值與最小值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據遞推關系式得到，進而利用累加法可求得結果【題目詳解】數列中，，當時，，，，，且，，故選：A2、B【解題分析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【題目詳解】，則：，即，距離為.故選：B.3、C【解題分析】由樣本的概念即知.【題目詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.4、B【解題分析】根據得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【題目詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B5、D【解題分析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點的橫坐標，再利用可求解.【題目詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當時，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D6、D【解題分析】①由題意連接交于，連接，則是中位線，證出，由線面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由證出平面，即得，再由是正方形證出平面，則有，再由條件證出平面；③根據邊長證明△DEO是等邊三角形即可；④根據等體積法即可求.【題目詳解】①如圖所示，連接交于點，連接底面是正方形，點是的中點在中，是中位線，而平面且平面，∥平面；故①正確；②如圖所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正確；③如圖所示，連接AC交BD與O，連接OE，由OE是三角形PAC中位線知OE∥PA，故∠DEO為異面直線PA和DE所成角或其補角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等邊三角形，∴∠DEO＝60°，故③正確；④如圖所示，設B到平面PAC的距離為d，由題可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正確.故正確的有：①②③④，正確的個數為4.故選：D.7、D【解題分析】由復數除法求得后可得其共軛復數【題目詳解】由題意，∴故選：D8、B【解題分析】由可得，利用導數判斷函數在上的單調性，由此比較函數值的大小確定正確選項.【題目詳解】∵∴，當時，，∴，故∴在內單調遞增，又，∴，所以故選：B9、C【解題分析】設等差數列，用基本量代換列方程組，即可求解.【題目詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，記為數列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C10、A【解題分析】設點，利用距離公式化簡可得出點的軌跡方程，即可得出動點的軌跡圖形.【題目詳解】設點，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數圖象，故動點的軌跡是雙曲線.故選：A.11、D【解題分析】由已知可得，即可得解.【題目詳解】由已知可得.故選：D.12、A【解題分析】利用微積分基本定理計算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了定積分的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據正弦定理，結合題意，列出方程，代入數據，化簡即可得答案.詳解】由題意得：，所以，所以，解得.故答案為：14、【解題分析】先根據和項與通項關系得通項公式，再根據等比數列求和公式得，再根據函數單調性得取值范圍，即得取值范圍，解得結果.【題目詳解】因為是6和的等差中項，所以當時，當時，因此當為偶數時，當為奇數時，因此因為在上單調遞增，所以故答案為：【題目點撥】本題考查根據和項求通項、等比數列定義、等比數列求和公式、利用函數單調性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.15、【解題分析】先求出兩函數在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結果【題目詳解】由，得，當時，，所以在上單調遞減，所以，即，由，得，當時，，所以在上單調遞增，所以，即，因為，，使得，所以，解得，故答案為：16、4【解題分析】設，寫出、的坐標，利用向量數量積的坐標表示有，根據橢圓的有界性即可求的最大值.【題目詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當時，.故答案為：【題目點撥】關鍵點點睛：利用向量數量積的坐標表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系寫出點與點的坐標由于軸，可設，可得出與的坐標設為平面的法向量，求出法向量.是關于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則，因為軸，可設，可求得，設為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當時，取到最小值18、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解題分析】（1）根據離心率及過點求出求解即可；（2）①設直線l的方程為，利用向量的數量積計算證明即可；②設直線CD方程為，利用求出，再由點O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因為，所以，又因為，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①證明：設，，依題意，直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因為，所以，因此，②證明：設，，設直線CD方程為，因為，所以，則，聯(lián)立，得當時，，則所以，即滿足則，即為定值19、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據給定條件結合“當時，”計算作答.(2)由(1)求出，利用裂項相消法計算得解.【小問1詳解】數列的前n項和為，，當時，，當時，，滿足上式，則，所以數列的通項公式是【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以數列的前n項和20、（1）證明見解析（2）存在，的長為或，理由見解析.【解題分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，求出，根據與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進而求得的長.小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面法向量為，則，故可設，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長為或，使與平面所成角的正弦值為.21、（1），；（2）最大值為，最小值為【解題分析】（1）對函數求導，根據函數在處取極值得出，再由極值為，得出，構造一個關于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導數研究函數在上的單調性，比較極值和端點值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【題目詳解】解：（1）由題可知，，的定義域為，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變化情況表如下：120單調遞減單調遞增可得，，，由于，則，所以，函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【題目點撥】本題考查已知極值求參數值和函數在閉區(qū)間內的最值問題，考查利用導函數研究函數在給定閉區(qū)間內的單調性，以及