新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊全冊各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)

北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊知識(shí)點(diǎn)

第一章直線與圓.............................................................-2-

1直線與直線的方程.....................................................-2-

2圓與圓的方程.......................................................-29-

第二章圓錐曲線............................................................-46-

1橢圓...............................................................-46-

2雙曲線.............................................................-55-

3拋物線.............................................................-63-

4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系...........................................-72-

第三章空間向量與立體幾何.................................................-77-

1空間直角坐標(biāo)系......................................................-77-

2空間向量與向量運(yùn)算..................................................-85-

3空間向量基本定理及向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算...............................-98-

4向量在立體幾何中的應(yīng)用............................................-107-

5數(shù)學(xué)探究活動(dòng)（一）：正方體截面探究..................................-127-

第四章數(shù)學(xué)建模活動(dòng)（三）................................................-130-

第五章計(jì)數(shù)原理...........................................................-134-

1計(jì)數(shù)原理...........................................................-134-

2排列..............................................................-139-

3組合..............................................................-144-

4二項(xiàng)式定理.........................................................-148-

第六章概率...............................................................-157-

1隨機(jī)事件的條件概率.................................................-157-

2離散型隨機(jī)變量及其分布列..........................................-165-

3離散型隨機(jī)變量的均值與方差........................................-172-

4二項(xiàng)分布與超幾何分布..............................................-180-

5正態(tài)分布..........................................................-186-

第七章統(tǒng)計(jì)案例...........................................................-190-

1一元線性回歸......................................................-190-

2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性..............................................-194-

3獨(dú)立性檢驗(yàn)........................................................-199-

第一章直線與圓

1直線與直線的方程

1.1一次函數(shù)的圖象與直線的方程

1.2直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系

1.直線的傾斜角

定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線/,把逢（正方向）

按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線/首次重合時(shí)所成的角，稱為直線/的傾斜角.

規(guī)定：當(dāng)直線/和x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為。.

范圍：傾斜角a的取值范圍為［。3）.

2.直線的斜率

⑴直線過不同兩點(diǎn)P1（X|,yi）,P2（X2,y2）,其斜率攵="_"（X1#X2）.

X2-Xl

⑵直線的斜率表示直線的傾斜程度.

3.直線的斜率與傾斜角、方向向量的關(guān)系

（1）從函數(shù)角度看，攵是a的函數(shù)，其中攵=tana（其中aW幻，圖象如圖所示.

當(dāng)aS0,舒時(shí)，斜率攵20,且左隨傾斜角a的增大而增大;

當(dāng)兀）時(shí)，斜率攵＜0,且攵隨傾斜角a的增大而增大;

當(dāng)a=^時(shí)，直線/與x軸垂直，此時(shí)直線/的斜率不存在.

(2)如圖，在直線/上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)Pi(xi，yi),Pikxi,yi).由平面向量的

知識(shí)可知，向量萬72是直線/的方向向量,它的坐標(biāo)是(及一用，y2~yi)，直線的傾

斜角a、斜率公方向向量P>2分別從不同角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標(biāo)

系中x軸的傾斜程度.它們之間的關(guān)系是左="二九=tana(其中x^x2).

X2~X1

若攵是直線/的斜率，則。=(1,?是它的一個(gè)方向向量;若直線/的一個(gè)方向

向量的坐標(biāo)為a，y),其中xWO,則它的斜率人號

墾考&任意一條直線都有傾斜角和斜率嗎？若存在，唯一嗎?

［提示］直線都有傾斜角且唯一，但并不是所有的直線都有斜率.當(dāng)傾斜角是

TTTT

2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于X軸；當(dāng)傾斜角不是2時(shí)，直線的斜

率存在且唯一.

疑難問題

類型1直線的傾斜角

【例1］求圖中各直線的傾斜角.

(1)(2)(3)

［解］(1)如圖(1),可知N0A8為直線/1的傾斜能.易知NA8O=30。,

ZOAB=60°,即直線/i的傾斜角為60°.

(2)(3)

(2)如圖(2),可知NxAB為直線/2的傾斜角，易知NOBA=45。，

OA3=45。，

/.ZAAB=135°,即直線/2的傾斜角為135°.

(3)如圖(3),可知NOAC為直線石的傾斜角，易知NABO=60。，

：.ZBA0=3Q°,

：.ZOAC=\50°,即直線/3的傾斜角為150°.

「.......?我思領(lǐng)悟.............................>.

求直線的傾斜角的兩點(diǎn)注意

(1)直線傾斜角的取值范圍是［0,兀).

(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0；當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為

兀

2,

□類型2直線的斜率

【例2】(1)已知兩條直線的傾斜角分別為60。，135。，求這兩條直線的斜率;

(2)已知A(3,2),8(—4,1),求直線45的斜率；

(3)已知直線/的一個(gè)方向向量是(小，1),求該直線的斜率.

(4)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,3),B(m,4)的直線的斜率.

［解］(1)直線的斜率分別為心=tan60o=M§,fe=tan135°=-1.

1—21

(2)直線AB的斜率kAB=二二3個(gè)

1S

(3)直線/的斜率Z=方=苧.

(4)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，直線的斜率不存在；當(dāng)〃zW2時(shí)，直線A8的斜率為以B=

4一31

m~2m~2

廠.....思領(lǐng)悟?.......................

求直線斜率的三種方法

(1)已知直線的傾斜角a(aW90。)時(shí)，可利用斜率與傾斜角的關(guān)系，即Z=tana

求得；

(2)已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可利用直線斜率的定義求.要注意，其前提條件

是X1WX2，若X|=X2時(shí)，直線斜率不存在；

(3)已知直線的方向向量0=(加，〃)時(shí)，可利用％=而來求，但要注意，當(dāng)〃2=0

時(shí)，直線的斜率不存在.

□類型3直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用

命題角度1三點(diǎn)共線問題

【例3】如果三點(diǎn)A(2,1),B(-2,in),C(6,8)在同一條直線上，求機(jī)的

值.

.m―11—m8—17

I斛n］kAB=4，

VA,B,。三點(diǎn)共線，

17

「n

即-

??kAB=kAC,4-4

??777=-6.

廠.......?灰思領(lǐng)悟......................

斜率是反映直線相對于X軸正方向的傾斜程度的.任意兩點(diǎn)所確定的直線的方

向不變，即同一直線上任何不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等，這正是利用斜率相等

可證點(diǎn)共線的原因.

命題角度2數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍

【例4】直線/過點(diǎn)P(l,0),且與以A(2,1),5(0,小)為端點(diǎn)的線段有公

共點(diǎn)，求直線/的斜率和傾斜角的范圍.

［解］如圖所示.

..1—0仍一0

■:knp=2_]=1，kBP=0_]=_y3,

.?.y―8,-73]0[1,+8),

.?.45°WaW120°.

1.......?灰思領(lǐng)悟.............................

直線與線段有交點(diǎn)求斜率問題，常用數(shù)形結(jié)合思想求解，先確定臨界位置直

線的斜率，再讓直線從一個(gè)臨界位置轉(zhuǎn)動(dòng)到另一個(gè)臨界位置，并考察斜率的變化

規(guī)律，最后確定是取“中間”，還是取“兩邊”.

歸納總結(jié)

1.直線的斜率與傾斜角是刻畫直線位置的兩個(gè)基本量，決定了這條直線相對

于x軸的傾斜程度.

2.傾斜角是90。的直線沒有斜率，傾斜角不是90。的直線都有斜率，即直線的

傾斜角不為90。時(shí)，斜率公式才成立.

3.斜率公式是以后研究直線方程的基礎(chǔ)，需熟記并會(huì)靈活運(yùn)用.

1.3直線的方程

第1課時(shí)直線方程的點(diǎn)斜式

1.直線/的方程

如果一條直線/上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是一個(gè)方程的解，并且以這個(gè)方程的解為

坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線/上，那么這個(gè)方程稱為直線/的方程.

2.直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程

名稱點(diǎn)斜式斜截式

已知條件點(diǎn)P(x(),泗)和斜率左斜率k和直線在y軸上的截距b

圖示z4-

方程y—v()=Z(x—xo)尸"+〃

適用范圍斜率存在

3.直線/在)，軸上的截距

定義：直線/與y軸交點(diǎn)(0,真的縱坐標(biāo)1叫作直線/在v軸上的截距.

量至式1)斜截式方程應(yīng)用的前提是什么？

(2)縱截距一定是距離嗎？

［提示］(1)直線的斜率存在.

(2)縱截距不一定是距離，它是直線與)，軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可取一切實(shí)數(shù).

疑難問題

類型1直線方程的點(diǎn)斜式

【例1】根據(jù)條件寫出下列直線的方程，并畫出圖形.

(1)經(jīng)過點(diǎn)4(—1,4),斜率左=一3；

(2)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為45。；

(3)經(jīng)過點(diǎn)5(3,-5),傾斜角為90。；

(4)經(jīng)過點(diǎn)C(2,8),。(一3,-2).

[解](1)>'—4=—3[JC—(—1)],即y=-3x+l.如圖⑴所示.

(2)A=tan45°=l,.,.j-0=x-0,即y=x.如圖(2)所示.

(1)(2)

⑶斜率攵不存在，二直線方程為x=3.如圖(3)所示.

Q—/—2)

(4?=)=2,.?.丁一8=2。-2),即y=2x+4.如圖(4)所示.

(3)(4)

,反思領(lǐng)悟...........

求直線方程的點(diǎn)斜式的步驟

確定點(diǎn)H%%)

由點(diǎn)斜式,寫方程|方程為工=反

類型2直線方程的斜截式

【例2］求滿足下列條件的直線/的方程：

(1)過點(diǎn)P(0,1),斜率為2；

(2)與直線>=一》+1在y軸上的截距相等，且過點(diǎn)。(2,2)；

(3)傾斜角為60°,與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.

［解］(l)j=2r+l.

(2)由題意知，該直線過點(diǎn)(0,1)和。(2,2),

故仁二^=J，?'?直線’的方程為1.

(3)..?直線的傾斜角為60°,其斜率A=tan6(T=小，

,/直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3,

直線在y軸上的截距b=3或〃=—3;

...所求直線方程為)=小%+3或y=,x—3.

「......思領(lǐng)悟??...............................

直線方程的斜截式求解策略

(1)直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存

在，只要點(diǎn)斜式中的點(diǎn)在y軸上，就可以直接用斜截式表示.

(2)直線的斜截式方程中只有兩個(gè)參數(shù)，因此要確定某直線，只需兩

個(gè)獨(dú)立的條件.

(3)利用直線的斜截式求方程時(shí)，如果已知斜率匕只需引入?yún)?shù)人；同理如果

已知截距4只需引入?yún)?shù)上

類型3直線過定點(diǎn)問題

【例3】求證：不論必為何值時(shí)，直線/：y=(加一l)x+2/w+1恒過定點(diǎn).

［證明］法一：直線/的方程可化為y—3=(，*—1)(九+2),

二直線/過定點(diǎn)(一2,3).

法二：直線/的方程可化為機(jī)(x+2)—(x+y—l)=0.

尤+2=0,x=-2,

令彳解得《

&+y—1=0,)=3.

.?.無論相取何值，直線/總經(jīng)過點(diǎn)(-2,3).

廠.....七反思領(lǐng)悟.............................

本例兩種證法是證明直線過定點(diǎn)的基本方法，法一體現(xiàn)了點(diǎn)斜式的應(yīng)用，法

二體現(xiàn)了代數(shù)方法處理等式恒成立問題的基本思想.

歸納總結(jié)

直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式的關(guān)系與使用條件

第2課時(shí)直線方程的兩點(diǎn)式直線方程的一般式

1.直線方程的兩點(diǎn)式與截距式

兩點(diǎn)式截距式

P\(x\,yi)和22(x2，yi)在x軸上截距a,在y軸上截距/?

條件

其中X|WX2，其中必W0

牛

圖形

y-yix-x\

方程>+.=1

\'2-yi-尢2一a-b---

適用不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過

不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線

范圍原點(diǎn)的直線

思考t1.直線的方程一定能用兩點(diǎn)式表示嗎？

［提示］當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，直線的方程不能用兩點(diǎn)式表示.

2.直線方程的一般式

(1)直線與二元一次方程的關(guān)系

①在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元

一次方程表示.

②每個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.

(2)直線方程的一般式的定義

我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ar+3y+C=0(其中A,8不全為0)叫作直

線方程的一般式，簡稱一般式.

思考.2.在直線方程的一般式Ar+8y+C=0中，為什么規(guī)定A,B不同時(shí)為

0?

［提示］當(dāng)A,8同時(shí)為0時(shí)，方程Ar+3y+C=0表示的不是直線.

疑難問題

類型1直線方程的兩點(diǎn)式和截距式

命題角度1直線方程的兩點(diǎn)式

【例1】已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(2,-1),BQ,2),C(4,1),求三角

形三條邊所在的直線方程.

［解］A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，直線A3與x軸垂直，故其方程為x=2.

由直線方程的兩點(diǎn)式可得，AC的方程為+27=尹左，即x—y—3=0.

—1-12—4

同理可由直線方程的兩點(diǎn)式得，直線BC的方程為七|=七|，即％+2y—6

=0.

二三邊AB,AC,所在的直線方程分別為x=2,x—y—3=0,x+2y—6=0.

(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式

方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.

(2)一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，由于減法的順序性，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)

系，即及與”是同一點(diǎn)坐標(biāo)，而xi與yi是另一點(diǎn)坐標(biāo).

命題角度2直線方程的截距式

【例2】求過點(diǎn)A(5,2),且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線/的方程.

2

［解］法一：當(dāng)直線/在坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為)，=尹，即2x—5y

=0;

當(dāng)直線/在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)方程為'+土=1,即x—y=a,

又?.,/過點(diǎn)A(5,2),：.5~2=a,a=3,

的方程為x-y-3=0,

綜上所述，直線/的方程是2x—5y=0,或x—y—3=0.

法二：由題意知直線的斜率一定存在.設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式為)，-2=小一5),

2

x=0時(shí)，y=2~5k,y=0時(shí)，x=5—v.

根據(jù)題意得2-5&=—(5—技解方程得仁|或1.

22

當(dāng)后=§時(shí)，直線方程為y—2=5(x—5),即2x—5y=0;

當(dāng)％=1時(shí)，直線方程為y—2=lX(x—5),即x—y—3=0.

廠.....七反思領(lǐng)悟......................

求解此類問題常用待定系數(shù)法，其求解步驟有兩步：

(1)根據(jù)題中條件設(shè)出直線方程，如在X軸、y軸上的截距分別為伙aWO'WO)

的直線方程常設(shè)為2+方=L

(2)根據(jù)已知條件，尋找關(guān)于參數(shù)的方程(組)，解方程(組)，得參數(shù)的值.

□類型2直線方程的一般式

【例3】設(shè)直線/的方程為(根2—2加—3)尢一0/后+加-i)y+6—2m=0.

⑴若直線/在x軸上的截距為-3,則團(tuán)=；

⑵若直線I的斜率為1,則m=.

5.,2m—6

⑴(2)-2[⑴令尸0,則x=￡2—2晟二？

2m—6p5

??工一~~=—3,何加=—孑或m=3.

m-2m3

當(dāng)m=3時(shí)，m2—2/72—3=0,不合題意，舍去.

._5

..m-—g.

(2)由題意知，2機(jī)2+〃?一1#0,即mw—1且mwg,

加2—9/77—36—2加

由直線/化為斜截式方程，得產(chǎn)而而e，

，加2—2加—3

則2〃?2+利-1=L

得加=—2或相=—1(舍去).Am=-2.]

廠....??慶思領(lǐng)悟...............

直線方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化

類型3直線方程的綜合應(yīng)用

【例4】已知直線/：5ax—5y—a+3=0.

(1)求證：不論a為何值，直線/總經(jīng)過第一象限；

(2)為使直線/不經(jīng)過第二象限，求。的取值范圍.

3—a

f解］(1)證明：法一：將直線方程變形為y=ax+-y-,

當(dāng)a>0時(shí)，直線一定經(jīng)過第一象限；

3

當(dāng)a=0時(shí)，曠=予直線顯然經(jīng)過第一象限；

3-a

當(dāng)。<0時(shí)，-^->0,因此直線經(jīng)過第一象限.

綜上可知，不論a為何值時(shí)，直線5ax—5y—a+3=0一定經(jīng)過第一象限.

法二：將直線方程變形為廠|=aQ—它表示經(jīng)過點(diǎn)4區(qū)|),斜率為

的直線.

??,點(diǎn)A^，!)在第一象限，

二直線/必經(jīng)過第一象限.

3

5-0

(2)如圖，直線04的斜率-=3.

5~0

13

-

5

5,

?..直線/不經(jīng)過第二象限,

.?.直線/的斜率223,

.?.如23,即a的取值范圍為{。|〃23}.

廠.....七反思領(lǐng)悟.......

含有一個(gè)參數(shù)的直線方程，一般表示無窮多條直線，稱為直線系.若這無窮多

條直線過同一個(gè)點(diǎn).則求該點(diǎn)時(shí)，將一般式方程變形為點(diǎn)斜式方程，便可求出該點(diǎn)

的坐標(biāo).

歸納總結(jié)

1.截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)

(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待

定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.

(2)選用截距式直線方程時(shí)，首先考慮直線是否過原點(diǎn)以及是否與兩坐標(biāo)軸垂

直.

(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用.

2.直線方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化為斜截式.一般

式化斜截式的步驟：

(1)移項(xiàng)，By=-Ax~C；

Ar

(2)當(dāng)BWO時(shí)，得〉=一彥’一百.

C

3.在一般式Ax+8y+C=0(A2+B2W0)中，若A=0,則y=一5，它表示一條

與y軸垂直的直線；若8=0,則％=一,，它表示一條與x軸垂直的直線.

Z1

1.4兩條直線的平行與垂直

1.兩條直線平行

設(shè)兩條不重合的直線/2,傾斜角分別為內(nèi)，。2,斜率存在時(shí)斜率分別為所,

近.則對應(yīng)關(guān)系如下：

類型斜率存在斜率不存在

前提條件8=a2790°?1=?2—90°

對應(yīng)關(guān)系1\//120kl=%2仁兩直線斜率都不存在

思考11.(1)如圖，設(shè)直線人與，2的傾斜角分別為囚與a2,斜率分別為心與

女2,若/|〃，2,則如與之間有什么關(guān)系？心與比之間有什么關(guān)系？

(2)對于兩條不重合的直線/1與/2,若kl=k2,是否一定有/|〃/2?為什么？

［提示］(1)若/1〃/2,ai與6(2之間的關(guān)系為ai=ot2；

對于M與女2之間的關(guān)系，當(dāng)俗=0￡2工90°時(shí)，k\=ki,當(dāng)內(nèi)=。2=90°時(shí)，防與

也不存在.

(2)一定有l(wèi)\//h.

因?yàn)镸=22,所以tanai=tan。2,所以ai=ot2,所以八〃/2.

2.兩條直線垂直

類型斜率存在其中一條斜率不存在

前提條件|?2—ai|=90°?1=0°,6(2=90°

對應(yīng)關(guān)系l\_L120kl,1<2=-1/］斜率為Q,/2斜率不存在

rAz%件

圖示/7

思考K2.(1)當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，它們的傾斜角有什么關(guān)系？

(2)當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，它們的斜率之積一定是一1嗎？

［提示］(1)設(shè)兩直線的傾斜角分別為ai,?2,若兩直線垂直，則⑶一Gt2|=90。.

(2)不一定.若一條直線的斜率為0,則與其垂直的直線斜率不存在.

疑難問題

類型1兩直線平行、垂直的判定

【例1】⑴已知兩條直線>=以-2和y=(a+2)x+l互相垂直，則實(shí)數(shù)。=

(2)“必=4”是直線2x+ay-l=0與直線bx+2y-2=0平行的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［思路點(diǎn)撥］(1)利用心d2=-1解題.(2)先求出兩直線平行的充要條件，再

判斷.

(1)-1(2)C［(1)由題意知(a+2)a=-l,所以/+2a+l=0,則。=-1.

(2)直線2x+ay—1=0與直線bx+2y—2=0平行的充栗條件是一￡=一叁且一/

W—1,即“。=4且aWl,則=4"是"直線2x+ay—1=0與直線bx+2y—2

=0平行”的必要而不充分條件.］

廠.......反思領(lǐng)悟..............................

判斷兩條不重合直線是否平行的步驟

類型2利用兩直線平行、垂直求直線方程

【例2】已知點(diǎn)A(2,2)和直線/：3x+4y—20=0,求：

(1)過點(diǎn)A和直線I平行的直線方程；

(2)過點(diǎn)A和直線I垂直的直線方程.

［思路點(diǎn)撥］利用兩條直線的位置關(guān)系，設(shè)出直線的方程，然后由另一條件確

定直線方程.

［解］法一：?.?直線/的方程為3x+4y-20=0,

⑴設(shè)過點(diǎn)A與直線/平行的直線為h,

.&/=勺］,??勺］=一不

3

AZi的方程為y-2=-^x~2),即3x+4y—14=0.

(2)設(shè)過點(diǎn)A與直線/垂直的直線為li,

34

=-1,：.(—7)-k,=—1,

12412I?3

4

h的方程為y—2=水工一2),即4x~3y—2=0.

法二：(1)設(shè)所求直線方程為3x+4y+C=0,

?.,點(diǎn)(2,2)在直線上，

.,.3X2+4X2+C=0,/.C=-14.

.?.所求直線方程為3x+4y—14=0.

(2)設(shè)所求直線方程為4x-3y+z=0,

?.?點(diǎn)(2,2)在直線上,

.,.4X2-3X24-2=0,

."=一2,即所求直線方程為4x—3y—2=0.

1.....?灰思領(lǐng)悟......................

1.根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求出所求直線的斜率，點(diǎn)斜式求解，或利用待定系

數(shù)法求解.

2.直線方程的常用設(shè)法

①過定點(diǎn)尸(xo，yo),可設(shè)點(diǎn)斜式y(tǒng)—y()=Z(x—x())；

②知斜率k,設(shè)斜截式y(tǒng)=^+b；

③與直線Ax+8y+C=0平行，設(shè)為Ax+3y+m=0；

④與直線Ax+5y+C=0垂直，設(shè)為取—Ay+〃=0.

□類型3兩條直線平行與垂直的綜合應(yīng)用

命題角度1求直線方程中參數(shù)的值

【例3】已知直線/i：(k—3)x+(4—攵)y+l=0與，2：2(k—3)x—2_y+3=0.

(1)若這兩條直線垂直，求左的值；

(2)若這兩條直線平行，求左的值.

5±\［5

［解］⑴根據(jù)題意，得(女一3)義2(%—3)+(4—幻><(-2)=0,解得z=箕-.I.

若這兩條直線垂直，則后=晉6.

(2)根據(jù)題意，得(攵一3)義(—2)—2~一3)><(4一B=0,

解得攵=3或k=5.經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意.

,若這兩條直線平行，則k=3或k=5.

廠.......反思領(lǐng)悟..............................

1.利用斜率研究兩直線的平行和垂直關(guān)系時(shí)，要分斜率存在、不存在兩種情

況進(jìn)行討論.

2.當(dāng)直線是一般式方程時(shí)，也可利用以下結(jié)論研究兩直線的平行和垂直關(guān)系：

直線(：Aix+Biy+Ci=0,直線42：A2x+&y+C2=0.

①/i//l2^AiB2-A2B\=0且#0(或A1C2-A2C1W0)；

②八J_/20A1+Bi&=0.

命題角度2求點(diǎn)的坐標(biāo)

【例4】已知四邊形ABC。的頂點(diǎn)8(6,-1),C(5,2),￡>(1,2).若四邊

形A8CO為直角梯形，求A點(diǎn)坐標(biāo).

［解］①若NA=N0=9O°,如圖(1),由已知AB〃0C,AD1AB,而kcD=0,

故A(l,-1).

②若NA=NB=90°,如圖(2).

⑵

設(shè)4a,b）,則"BC=-3,kAD=—,kAB==.

b—2

由AD〃BC0kAD=kBc,即口=-3;①

,6+1

由碗也c=—1,即有.（-3）=-1.②

f_I2

Ia~5'(12in

解①②，得Ju故A§，-yj.

綜上所述，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—1)或魅，—￡)?

廠......思領(lǐng)悟?..........

此類題目應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解較為方便、簡單.

歸納總結(jié)

I.兩直線平行或垂直的判定方法

斜率直線

斜率均不存在平行或重合

一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在垂直

相等平行或重合

斜率均存在

積為一1垂直

2.與直線>=區(qū)+b平行的直線可設(shè)為y=Ax+c(c#A)；與直線Ax+8y+C=

0平行的直線可設(shè)為Ax+By+D=Q(D^Q.

3.設(shè)直線/i：y—k\x+b\,直線乙：y=kix+bi.若/1U2，則Zi/2=—1；反

之，若心的=—1,則八_1_/2；已知兩直線/i：Aix+Biy+Ci=0,b：A2%+&y+C2

=0,/I1/2<=>AIA2+BIB2=0.

1.5兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示

點(diǎn)AA（〃，b）

直線/l：Ax+By+C=O

點(diǎn)A在直線1上Aa+郎+C=0

A]%+Biy+G=O[x=a

直線/1與/2的交點(diǎn)是A方程組“八的解是,

x?=

[A2x+32y+C2=0[yb

2.方程組的解的組數(shù)與兩直線的位置關(guān)系

方程組的解交點(diǎn)個(gè)數(shù)直線的位置關(guān)系

無解Q個(gè)平行

有唯一解L個(gè)相交

有無數(shù)組解無數(shù)個(gè)重合

A\x-YB\y-\~C\—0

思考h方程組［妨十&什。?：。有唯一一組解的充要條件是什么？

［提示］4史一AzBWO.

疑難問題

□類型1兩直線的交點(diǎn)問題

【例1】判斷下列各對直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).

(1)/1：x—y=0,ht3x+3y—10=0；

(2)Zi：3x—y+4=0,Z2：6x—2y—1=0；

(3)/i：3尤+4y—5=0,Z2：6x+8jy-10=0.

f5

x—y=O,x=y

［解］(1)解方程組L「八八得qu所以/|與/2相交，交點(diǎn)坐

.3x+3y—10=0,_5

1＞，=3-

標(biāo)是俘1）

'3x—y+4=0,①

⑵'

16x—2y—l=0,②

①義2一②得9=0,矛盾，方程組無解，所以兩直線無公共點(diǎn)，又9#0,所

以l\//h.

'3x+4y-5=0,①

(3)1,?①X2得6x+8y—10=0,

［6x+8y—10=0,②)

因此，①和②可以化成同一個(gè)方程，有無數(shù)組解，故①和②表示同一條直線，

所以/1與/2重合.

］.......?我思領(lǐng)悟.............................

方程組解的個(gè)數(shù)與兩直線的位置關(guān)系.

一般地，若方程組有一解，則兩直線相交；若方程組無解，則兩直線平行；

若方程組有無數(shù)多組解，則兩直線重合.這體現(xiàn)了“以形助數(shù)，以數(shù)釋形”的數(shù)形

結(jié)合思想.

口類型2由交點(diǎn)求直線方程

【例2】求經(jīng)過兩直線2x—3y—3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x—y

—1=0平行的直線/的方程.

f思路點(diǎn)撥］思路一求出兩直線2x—3y—3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)，由

平行關(guān)系得到/的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求解；思路二利用過兩直線的交點(diǎn)的直線

系方程求解.

2x—3y—3=0(37、

［解］法一：由方程組?；八，得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為一之，-7,

.x十>+2=01,°，

?.?直線/和直線3x->—1=0平行，

...直線/的斜率左=3,

根據(jù)點(diǎn)斜式有>—(一,)=3%-'(一白).

即所求直線方程為15x—5y+2=0.

法二：?.?直線/過兩直線2x—3y—3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，

???可設(shè)直線/的方程為：2%—3y—3+2(x+y+2)=0,即(2+2)x+(2—3)y+22

-3=0.

?.?直線/與直線3》一＞一1=0平行,

.2+2—-32A—37

解得人=不

-i)

從而所求直線方程為15x—5y+2=0.

廠.....七反思領(lǐng)悟.............................

1.本題法一是基本方法，求解交點(diǎn)坐標(biāo)和斜率是解題關(guān)鍵.

2.經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程

①與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為By+C'=O(C#C)；

②與直線Ax+By+C=O垂直的直線系方程為Bx-Ay+C'=O；

③過兩直線/i：Aix+Biy+Ci=O,Z2：A2x+&y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程

為九G4ix+8iy+G)+%2(A2x+&y+C2)=0(九，h為參數(shù)).

當(dāng)九=1,七=0時(shí)，方程即為直線Q

當(dāng)為=0,七=1時(shí)，方程即為直線江

類型3直線過定點(diǎn)問題

［探究問題］

1.不論左取什么值，直線)，=依+2恒過定點(diǎn)，試求出此定點(diǎn).

［提示］由直線的方程可知當(dāng)x=0時(shí)，＞=2,此時(shí)與k的取值無關(guān).故直線

恒過點(diǎn)(0,2).

2.不論"2取什么值，直線y—2=〃z(x+3)恒過定點(diǎn).求出此定點(diǎn).

［提示］由直線方程可知當(dāng)》=-3時(shí)，y=2,與〃，的取值無關(guān)，故直線恒過

定點(diǎn)(一3,2).

【例3】求證：無論左取何值時(shí)，直線/：(Z+l)x—(女一l)y—2%=0必過定

點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

［思路點(diǎn)撥］

［證明］法一：令攵=1,得到直線/］：x=l,

令k=0,得到直線為：x+y=O,

x=1

由彳，八，得人與/2交點(diǎn)M(l,-1),

［x+y=O

把M(l,-1)的坐標(biāo)代入方程(攵+1立一/一1處一2左=0恒成立，

無論k取何值時(shí)，直線(%+1〃一代一1處一24=0必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為M(l,

-1)-

4+1

法二：由已知直線/的方程得出+1)%=(左一1?+2&,整理可得y+l==T(x

K1

—1)(21),

因此當(dāng)女W1時(shí)，直線/必過定點(diǎn)M(l,-1);

當(dāng)左=1時(shí)，原直線/的方程為x=l,也過點(diǎn)M(l,-1).

綜上所述，不論《取任何實(shí)數(shù)值時(shí)，直線/必過定點(diǎn)M(l,-1).

法三：方程伏+l)x—(%—l)y—2%=0可化為攵(x—y—2)+(x+y)=0,

%—y-2=0

由〈，

.x+y=0

x=1

可得點(diǎn)

ly=-i

x=1

顯然，，使方程(％+l)x—(A—l)y—2A=0恒成立，

ly=-i

無論攵取任何實(shí)數(shù)值時(shí)，直線/必過定點(diǎn)M(l,-1).

1......?思領(lǐng)悟??...........................

1.法一是特殊到一般的轉(zhuǎn)化，法二是利用點(diǎn)斜式方程的特點(diǎn)，法三是利用直

線系.

2.處理動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的常用的方法：

(1)將直線方程化為點(diǎn)斜式；

(2)從特殊入手，先求其中兩條直線的交點(diǎn)，再驗(yàn)證動(dòng)直線恒過交點(diǎn)；

(3)從“恒成立”入手，將動(dòng)直線方程看作對參數(shù)恒成立，即將原方程化為.大x,

［fix,y)=0,

y)+mg(x,>)=0的形式，欲使此式成立與m的取值無關(guān)，則十八由此

lg(x,y)=0.

方程組求得定點(diǎn)坐標(biāo).

D類型4對稱問題

【例4】/XABC的一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線方程是y=2x,若A,8兩

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—4,2),8(3,1),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

(2,4)[把A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入.y=2x知，點(diǎn)A,8都不在直線)，=2x

上，

，直線y=2x是NC的平分線所在的直線.

設(shè)點(diǎn)迷一4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為4(凡b),

b—2(a—46+2、

則既v=F，線段A4'的中點(diǎn)坐標(biāo)為十一，牛，

。十4\22)'

b~2

—rrX2=-i,

a+4Q=4

則彳解得t\即4(4,-2).

b+2a-4{,b=-2,

、2=2乂2'

???直線y=2x是NC的平分線所在的直線，

二4在直線8C上，

直線BC的方程為七二=丁一7，即3x+y—10=0.

1十23一4

x=2,

由1.解得

[3x+y-10=0,J=4,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,4).]

「....思領(lǐng)悟,........................

有關(guān)對稱問題的兩種主要類型

(1)中心對稱：

x!—1a—x

①點(diǎn)P(x,y)關(guān)于。5，")的對稱點(diǎn)尸(M>')滿足，?

[y=2b~y.

②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決.

(2)軸對稱：

①點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線4+切+C=0(3#0)的對稱點(diǎn)4(加，〃)，，則有

n-h

--------X-1

m-a

b+n

卜B卜C=0.

②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.

歸納總結(jié)

1.解含有參數(shù)的直線過定點(diǎn)問題，將含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程常整理為

Aix+B\y+G+4A2X++Q)=0(其中2為常數(shù))形式，可通過

Aix+Bi_y+Ci=0,

求解定點(diǎn).

.A”+歷），+C2=0

(Aix+Biy+G—0,

2.方程組“八有唯一解的等價(jià)條件是4&一42辦W0,亦即