高中數(shù)學北師大版必修預備知識2常用邏輯用語必要條件與充分條件“百校聯(lián)賽”一等獎

§2常用邏輯用語2.1必要條件與充分條件王安石在《游褒禪山記》中寫道“而世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也?！彼伎迹骸坝兄尽迸c“至”有什么關系？1.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系.2.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系.3.通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關系.了解真命題與推出符號的關系，領會符號語言的優(yōu)越性（數(shù)學抽象）理解充分條件、必要條件、充要條件的概念，掌握充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法（邏輯推理）掌握證明充要條件的一般方法（邏輯推理）我們約定：若p，則q為真，記作：或若p，則q為假，記作：探究一

充分條件與必要條件提示：兩三角形全等兩三角形面積相等例如：1.如果兩個三角形全等，那么兩三角形面積相等.

提示：兩個三角形面積相等兩三角形全等2.如果兩個三角形面積相等，那么兩三角形不一定全等.用符號與填空.

（1）x2=y2x=y；

（2）內錯角相等兩直線平行；

（3）整數(shù)a能被6整除a的個位數(shù)字為偶數(shù)；

（4）ac=bca=b. 【即時訓練】

充分條件與必要條件：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作

，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件．例如：“x>3”是“x>2”充分條件，“x>2”是“x>3”的必要條件解析:命題(1)是真命題,命題(2)是假命題.

所以,命題(1)中的p是q的充分條件.例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若x=1,則x2-4x+3=0;(2)若x為無理數(shù),則x2為無理數(shù).下列條件中哪些是a+b>0的充分條件？a>0，b>0②a<0,b<0④a>0，b<0且|a|>|b|③a=3,b=-2思路分析：先給多個p，進行選擇，通過選擇，感知p的不唯一性.答案：①③④【變式練習】解析:命題(1)(2)是真命題,命題(3)是假命題.所以,命題(1)(2)中的q是p的必要條件.例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若x=y,則x2=y2;(2)若x<3,則x<5;(3)若a>b,則ac>bc.pq，相當于pq，p足以導致q,也就是說條件p充分了；q是p成立所必須具備的前提.從集合的角度來理解充分條件、必要條件pqp【提升總結】一般地，如果既有p

q，又有q

p，就記作

p?

q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件（sufficientandnecessarycondition）.概念！探究2

充要條件

顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?

q，那么p與q互為充要條件.對于兩個語句，p可能是q的充分條件，p也可能是q的必要條件，除此以外p與q之間的邏輯關系還有哪些可能？提示：p是q的充分條件，p不是q的必要條件；p是q的必要條件，p不是q的充分條件；即p是q的充分不必要條件，p是q的必要不充分條件p與q之間的四種邏輯關系：p是q的充要條件；p是q的充分不必要條件；p是q的必要不充分條件；p是q的既不充分條件，也不必要條件.判斷p是q的什么條件，并填空：（1）

p：

x

是整數(shù)是q：x是有理數(shù)的

；（2）

p：

ac＝bc是q：a＝b的

；（3）

p：

x＝3

或x＝-3是q：x2＝9

的

；（4）

p：同位角相等是q：兩直線平行的

；（5）p：(x-2)(x-3)＝0

是q：x+2＝0的__________________．充分不必要條件充要條件充要條件既不充分也不必要條件

必要不充分條件【即時訓練】充分條件與必要條件核心知識方法總結易錯提醒核心素養(yǎng)

（2）集合法:A?B,A是B的充分條件，B?A,A是B的必要條件.（1）判斷條件之間的關系時要注意條件之間關系的方向（2）證明充要條件時，要分清哪個是條件，哪個是結論邏輯推理：通過充分條件、必要條件的判斷與證明，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)充分條件必要條件充要條件判斷與證明應用1.x∈N是x∈Q的_____________.（用“充分條件”、“必要條件”、“充要條件填空”）充分條件【解析】因為x∈N能夠推出x∈Q,但x∈Q推不出x∈N,所以x∈N是x∈Q的充分條件,x∈Q是x∈N的必要條件。2.設x∈R,則“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B【解析】選B.因為|x-1|<1,所以0<x<2;又因為0<x<2?0<x<5;而由0<x<5不能推出0<x<2.所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分條件.（1）p:菱形q:正方形（2）p:x>4q:x>1解：(1)由圖１可知p是q的必要條件

(2)由圖２可知p是q的充分條件p:菱形q:正方形圖１qp014圖２3.用集合的方法來判斷下列哪個p是q的充分條件，哪個p是q的必要條件?（用或填寫）由小推大4.判斷正誤

p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)；則p是q的充要條件.(