第二章模糊集合

第二章模糊集合第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.1經(jīng)典集合論概述2.1.1集合的概念經(jīng)典集合的定義

定義2-1具有某種共同性質(zhì)的事物的全體稱為“集合”，而每一個別事物稱為該集合的“元素”。論域：在討論集合前常常需要首先給出我們研究的對象范圍，這個范圍就稱為論域。論域本身是一種特殊的集合，它的選取一般不唯一，應(yīng)根據(jù)具體情況研究的需要而定。經(jīng)典集合論的基本要求：在論域中選出一個元素a，同時給定一個集合Ａ。則a或者“屬于”A或者“不屬于”A，兩者必居其一，并且只居其一。當a屬于A時記為，而當a不屬于A時記為。

第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四幾種常用的集合分類①當一個集合中的元素數(shù)目有限時，稱其為“有限集合”，否則為“無限集合”。②設(shè)S為無限集合，若S與自然數(shù)集合N之間存在1—1對應(yīng)的關(guān)系，則稱S為“可列集合”，否則稱其為“不可列集合”。③不含任何元素的集合稱為“空集”，記為φ；含有論域中所有元素的集合稱為“全集”，記為U。特征函數(shù)

=第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四常見的集合表示方法枚舉法：對于元素不多的集合，可以將它的所有元素都一一列出，對于具有明顯的順序規(guī)律的集合僅列出部分元素，而將集合中的其它一些元素隱含表示。例如：“大于2小于6的整數(shù)集合”＝｛３，４，５｝。“自然數(shù)集合”＝｛１，２，３，…｝。描述法：對于有些集合是很難一一列出集合元素的，其元素間也不存在任何順序規(guī)律性。例如“貓科動物”、“實數(shù)集合”?？梢酝ㄟ^形式描述的手段表示集合，設(shè)集合S的元素具有屬性P,則S=｛x｜P(x)｝其中豎線左邊為集合元素符號，而右邊是集合元素所具有的性質(zhì)。例如：“實數(shù)集合R”＝｛x｜x為實數(shù)｝第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四特征函數(shù)法：由于任一特征函數(shù)都能唯一地確定一個集合，所以也常常采用它來描述任何種類的集合。例如，以實數(shù)域R為論域，則有理數(shù)集合Q的特征函數(shù)為：文氏圖：采用圖①②③表示集合很直觀形象，故被廣泛應(yīng)用于集合論中。但這種方法缺乏描述上的嚴格性，所以使用范圍有一定的限制。①A=B②AB或AB③BA或BA第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四集合論中最基本的概念：(1)對于任意兩個集合A、B，若A的每一個元素都是B的元素，則稱A是B的“子集”，記為AB或BA；若B中存在不屬于A的元素，則稱A是B的“真子集”，記為AB或BA。(2)兩集合“相等”，當且僅當AB且BA。(3)論域U包含任何集合A，即AU。(4)對于任意集合A，恒有φA。(5)對于一個集合A，由其所有子集作為元素構(gòu)成的集合稱為A的“冪集”，記為:ρ(A)={X|XA}(6)設(shè)X、Y為兩個集合，則X和Y的笛卡兒積(又稱“直積”)定義為:X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.1.2集合的運算及其性質(zhì)經(jīng)典集合運算定義2-3令A(yù)、B為論域U中任意兩個集合，則定義①A與B的“并集”：A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}②A與B的“交集”：A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}③A與B的“差集”：A－B={x|(x∈A)∧(xB)}④A的“補集”：～A=U－A={x|(xA)∧(x∈U)}定義2-4令A(yù)、B為論域中任意兩個集合，則定義①A與B的“并集”為A∪B，且=(x)∨(x)；②A與B的“交集”為A∩B，且=(x)∧(x)；③A與B的“差集”為A-B，且=(x)∧(1-(x))；④A的“補集”為～A，且=1－(x)。第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四經(jīng)典集合運算的基本性質(zhì)(1)交換率：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。(2)結(jié)合率：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。(3)分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。(4)冪等率：A∪A=A；A∩A=A(5)吸收率：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A。(6)對偶率：～(A∪B)=～A∩～B；～(A∩B)=～A∪～B。(7)互補率：A∪～A=U；A∩～A=φ。(8)對合率：～(～A)=A。(9)同一率：A∪φ=A；A∩U=A。(10)零率：A∪U=U；A∩φ=φ。(11)傳遞率：若AB及BC，則AC。第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.1.3關(guān)系關(guān)系的定義定義2-5從集合X到集合Y的一個“二元關(guān)系R”，定義為笛卡兒積X×Y的一個子集RX×Y。特別地，當X=Y時，稱R為“X上的二元關(guān)系”。對于任意x∈X，y∈Y，若x、y之間存在關(guān)系R，則記為xRy。事實上，關(guān)系R可以描述為集合：R={(x，y)|(x∈X)∧(y∈Y)∧xRy}顯然，當xRy時必有(x，y)∈R。定義域由R的所有元素中第一客體x組成的集合稱為關(guān)系R的”定義域”，記為：D(R)={x|(x,y)∈R}；值域由R的所有元素中第二客體y組成的集合稱為關(guān)系R的“值域”，記為：C(R)={y|(x,y)∈R}。第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四關(guān)系矩陣令集合X={,,…，},Y={,,…，},X到Y(jié)存在關(guān)系R，則關(guān)系R的“關(guān)系矩陣”為=,其中=逆關(guān)系

定義2-6設(shè)R是一個集合X到集合Y的關(guān)系，則從Y到X的關(guān)系={(y,x)|(x,y)∈R}稱之為R的“逆關(guān)系”。合成關(guān)系

定義2-7令R是集合X到集合Y的關(guān)系，而S是集合Y到Z的關(guān)系，則稱R·S為R與S的“合成關(guān)系”：R·S={(x，y)|y∈Y((x，y)∈R∧(y，z)∈S)}。特別地，關(guān)系R自身的合成運算稱為R的“冪運算”：=R·R,=R·第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例2-13設(shè)X={1,2,3},Y={a,b,c},Z={$,@,#},現(xiàn)有從X到Y(jié)的關(guān)系R和從Y到Z的關(guān)系S：R={(1,a),(1,b),(2,b)}S={(a,@),(b,#),(c,#)},則R·S={(1,@),(1,#),(2,#)}。下圖給出了本例的復合關(guān)系的圖示。采用下面的矩陣運算也能得到相同的結(jié)果：R=,S=,則有R·S=·=第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四關(guān)系中最重要的三條性質(zhì)設(shè)R是非空集合X上的關(guān)系，則(1)若對于任意x∈X均有(x,x)∈R，則稱關(guān)系R具有“自反性”；(2)對有任意x、y∈X，如果由(x,y)∈R能保證(y,x)∈R，則稱關(guān)系R具有“對稱性”；(3)若對于任意x、y、z∈X，若(x,y)∈R且(y,z)∈R時必有(x,z)∈R，則稱關(guān)系R具有“傳遞性”。例2-14容易證明以下關(guān)系的性質(zhì)：①“朋友”關(guān)系是對稱的，“父子”關(guān)系不是對稱的；②整數(shù)集合中的“≤”關(guān)系是自反的、傳遞的，但不是對稱的；③實數(shù)集合中的“相等”關(guān)系是自反的、對稱的，且又是傳遞的。第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四相似關(guān)系

定義2-8設(shè)R是非空集合X上的關(guān)系,若R具有自反性和對稱性，則稱R是集合X上的“相似關(guān)系”。等價關(guān)系定義2-9設(shè)R是非空集合X上的關(guān)系,若R具有自反性、對稱性和傳遞性,則稱R是集合X上的“等價關(guān)系”。劃分設(shè)S是一個給定集合,A={,,…,},且S,i=1,2,…,n,若①S=,即的并集覆蓋了S;②=φ,i≠j且i、j=1,2,…,n,即互不相交；則稱A為S的一個“劃分”，而集合,,…,稱為劃分A的“類”。第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四等價類設(shè)R是集合X上的等價關(guān)系，對任意給定的x∈X,由所有與x有關(guān)系R的元素組成的集合稱為x的“等價類”，記為，={y|y∈X,(x,y)∈R}

定理2-1設(shè)R是集合X上的等價關(guān)系則由R的等價類組成的集合構(gòu)成X的一個劃分。例2-15設(shè)集合X={a,b,c,d}上的關(guān)系R為R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}可以證明R是等價關(guān)系,并且它的等價類為=={a,b}=={c,d}第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.1.4映射映射的定義

定義2-10設(shè)f是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，若對于任意x∈X，存在唯一的y∈Y，使得(x,y)∈f，則稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一個“映射”，記為f：X→Y。幾類常見的映射①對于映射f:X→Y,若其值域等于Y，則稱f是“映上的”，否則是“映內(nèi)的”?！あ趯τ谟成鋐:X→Y,、∈X，若當≠時必有f()≠f()則稱f是“一對一的”。·③如果映射f:X→Y即是一對一的，又是映上的，則稱f是“1-1對應(yīng)的”。逆映射

定義2-11設(shè)f:X→Y是1-1對應(yīng)的映射，則f所構(gòu)成的逆關(guān)系稱之為f的“逆映射”，記為:Y→X。第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.2模糊集合概念模糊集合的定義

定義2-12論域X上的“模糊集合”A定義為：A={(x,A(x))|x∈X}或者A={(x,μ(x))|x∈X}其中A(x)稱為“隸屬函數(shù)”，它滿足：A:X→M，這里，M稱為“隸屬空間”。隸屬度隸屬函數(shù)A(x)用于刻畫元素x對模糊集合A的隸屬程度——“隸屬度”。所以，模糊集合A的每個元素(x,A(x))都能明確地表現(xiàn)出x的隸屬等級。A(x)的值越大，x的隸屬程度就越高。模糊集合與經(jīng)典集合之間的關(guān)系模糊集合概念是經(jīng)典集合概念的推廣，而經(jīng)典集合是模糊集合的特例。當隸屬函數(shù)A(x)的值域為集合{0,1}時，模糊集合A便退化為經(jīng)典集合，而隸屬函數(shù)就等同于特征函數(shù)。第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四模糊冪集

定義2-13由論域X上所有模糊集合構(gòu)成的集合F(X)稱為“模糊冪集”。模糊冪集的特點①模糊冪集自身是經(jīng)典集合②論域X上的模糊冪集真包含了經(jīng)典冪集模糊集合的表示方法⑴序偶表示法或稱向量表示方法⑵查德(Zadeh)方法①Σ符號法：這種表示法適合于論域為有限集合或可列集合時的模糊集合的描述。設(shè)論域為X={，，…,}，A為X上的一個模糊集合，則A可記為：A=②符號法：這種表示法適合于任何種類的論域，特別是無限論域中的模糊集合的描述。對于任意論域X中的模糊集合A可記為：A=第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四⑶隸屬函數(shù)方法用解析表達式表示隸屬函數(shù)。當論域為實數(shù)集合中的某個區(qū)間時，有時將模糊集合的隸屬函數(shù)用解析表達式表示很方便。例2-19對于年齡區(qū)間X=(0,100)中的“年老”和“年輕”這兩個模糊集合O、Y，它們的隸屬函數(shù)分別可表示為：

O(x)=Y(x)=例2-21設(shè)A表示“接近5的整數(shù)”，則模糊集合A可表示為：①A={(3,0.2),(4,0.5),(5,1),(6,0.5),(7,0.2)};②A=0.2/3+0.5/4+1/5+0.5/6+0.2/7;③A(x)=第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.3隸屬構(gòu)造函數(shù)在模糊數(shù)學中，隸屬度是建立模糊集合論的基石，隸屬函數(shù)是描述模糊性的關(guān)鍵。隸屬函數(shù)能否反映出客觀事實將直接影響應(yīng)用效果。由于人們認識事物的局限性，我們通常只能構(gòu)造出一個近似的隸屬函數(shù)。2.3.1概述①例證法：從已知的有限個隸屬值A(chǔ)(x)中來估計論域X上的模糊集合A的隸屬函數(shù)。②模糊統(tǒng)計法：在某些情況下，隸屬函數(shù)可以用統(tǒng)計方法來確定。③蘊涵解析定義法：根據(jù)微積分的理論來確定隸屬函數(shù)。假設(shè)隸屬函數(shù)A(x)是連續(xù)可微的，則可用微分的方法計算A(x)。④二元對比法：采用對比的方法確定隸屬值。這種方法還根據(jù)具體的實現(xiàn)分為相對比較法、對比平均法、擇優(yōu)比較法和優(yōu)先關(guān)系定序法。⑤三分法：類似于模糊統(tǒng)計法，也是用隨機區(qū)間的思想來處理模糊性的實驗?zāi)Ｐ?。⑥模糊分布法：從給定的一系列隸屬函數(shù)解析式選擇出合適的函數(shù)作為自己的模糊函數(shù)。第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.3.2模糊統(tǒng)計隸屬頻率的穩(wěn)定性類似于隨機試驗，我們可以進行模糊統(tǒng)計試驗。模糊統(tǒng)計試驗也會表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種規(guī)律被稱為隸屬頻率的穩(wěn)定性。模糊統(tǒng)計試驗的基本原理設(shè)A是論域X中的模糊集合，現(xiàn)考慮x∈X對模糊集合A的隸屬度。在論域X中構(gòu)造一個邊界可變的、可移動的普通集合S，這個集合S往往是各種不同的人對于模糊集合A的一種肯定性的評價。對于特定的x，S中可以含有x，也可以不含有x。假設(shè)進行了n次模糊統(tǒng)計試驗，其中有m次x∈X，則m與n之比稱為x對模糊集合A的隸屬頻率。事實證明，隨著試驗次數(shù)n的增大，x對A的隸屬頻率將趨于穩(wěn)定。這個穩(wěn)定值可以作為x對模糊集合A的隸屬度A(x)。模糊統(tǒng)計的方法的實質(zhì)模糊統(tǒng)計方法體現(xiàn)了用確定的手段去把握和研究模糊性。通過部分人(例如專家等)評分的方法來確定隸屬度是一種廣泛使用的方法，例如跳水比賽、體操比賽、教學質(zhì)量、學術(shù)水平等的評判，將其結(jié)果進行適當?shù)奶幚矶伎赡苋〉幂^好的效果。第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四129人認為“年輕人”的年齡范圍調(diào)查記錄“27歲”對“年輕人”模糊集合A的隸屬度：A(27)=101/129=0.78第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四表2-2給出了在不同人數(shù)的統(tǒng)計調(diào)查中，“27歲”對模糊集合A的隸屬頻率。從表中可以看出隸屬頻率的穩(wěn)定性。2.3.3模糊分布第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.4截集截集的引入將“發(fā)燒病人”表示為模糊集合： A＝{(x1,0.9),(x2,0),(x3,0.4),(x4,1),(x5,0.7)};這樣，可以對發(fā)燒病人進行一些分類。例如，可將隸屬函數(shù)≥0.9的病人分出作為“發(fā)高燒”進行特別護理： A0.9＝{x1,x4};類似地，我們還可以有： A0.8＝{x1,x4}; A0.4＝{x2,x3,x4,x5}。 一般地，我們用Aλ表示A(x)≥λ的元素x組成的集合。第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四截集的定義定義2-14設(shè)A為論域X中的模糊集合，λ∈[0，1]，定義A的“λ截集”為集合Aλ＝{x|A(x)≥λ}實數(shù)λ稱為“閾值”(又稱“置信水平”)。特別地，集合A’λ＝{x|A(x)＞λ}稱為A的“λ強截集”。截集的特點模糊集合A的截集Aλ是經(jīng)典集合，它是由論域X中所有隸屬度等于或超過λ的元素組成。截集的性質(zhì)

定理2-2令A(yù)、B為模糊集合，則以下等式成立： ①(A∪B)λ=Aλ∪Bλ ②(A∩B)λ=Aλ∩Bλ 證明：對于式①：

∵x∈(A∪B)λ

∴(A∪B)(x)≥λ (A(x)∨B(x))≥λ (A(x)≥λ)∨(B(x)≥λ) (x∈Aλ)∨(x∈Bλ) x∈(Aλ∪Bλ)故式①成立。反方向可同樣證明。用類似的方法可證明式②。第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四定理2-3令A(yù)為模糊集合，α、β∈[0,1]且α≤β，則。證明：對于任意的，可得≥β∵α≤β∴≥α可得。反方向可舉出反例。定理2-4令λ∈[0，1]，I為其下標集合，Ai為模糊集合，其中i∈I，則有： ① ②證明①：對于任意x0∈，在下標集合I中必存在某一元素i0，使得x0∈。由截集定義知≥λ，從而得≥λ，即

≥λ，故得x0∈,因此式①成立。用類似的方法可證明式②。第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四例2－25設(shè)Ai為論域X中的無數(shù)個模糊集合，這里的i為正整數(shù)。記模糊集合 A=()(定理2-4式①左邊)，令A(yù)I的截集之并集(定理2－4式①右邊)為 B=若Ai的隸屬函數(shù)為Ai(x)=(0.5(i-1))/i。這不難推出A(x)=0.5。這說明論域X中的任何元素對于模糊集合A的隸屬度均為0.5，故有A0.5=X，即λ=0.5時，Ai之并的截集包含了論域中的所有元素。現(xiàn)在考慮定理2－4式①右邊的情況。顯然對于任意正整數(shù)i，(Ai)0.5=φ，故有B0.5=φ。這說明當λ=0.5時，Ai的λ截集之并不包含論域中的任何元素。由以上兩方面的討論得A0.5≠B0.5。第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四幾個概念定義2-15設(shè)A為論域X中的模糊集合，定義：①A的“核”為：KerA={x|A(x)=1}(注，Ker為Kernel的縮寫)；②A的“支集”為：SuppA={x|A(x)>0}(注，Supp為Support的縮寫)；

③若KerA≠φ，則稱A為“正規(guī)模糊集”。2.5模糊集合代數(shù)運算什么是模糊集合的代數(shù)運算對相應(yīng)的隸屬函數(shù)進行特定的運算，并且由此得到新的隸屬函數(shù)，從而確定出新的模糊集合。模糊集合之間的基本關(guān)系定義2-16令A(yù)、B為論域X中的模糊集合，對于任意X中的元素x：①A=φ，當且僅當≡0；A=X，當且僅當≡1。②A包含于B內(nèi)，當且僅當≤。③A與B相等，當且僅當=。第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四模糊集合的基本運算定義2-17令A(yù)、B為論域X中的模糊集合，對于任意X中的元素x：①A與B之“并集”記為A∪B=(A(x)∨B(x))／x即模糊集合A∪B的隸屬函數(shù)=max(,)記作∨或A(x)∨B(x)。②A與B之“交集”記為A∩B=(A(x)∧B(x))／x即模糊集合A∩B的隸屬函數(shù)=min(,)記作∧或A(x)∧B(x)。③A的“補集”(又稱“余集”)記為~A=(1－A(x))／x即模糊集合~A的隸屬函數(shù)＝1－或記為1－A(x)。模糊集合并、交運算還可以推廣至任意多個設(shè)Ai為模糊集合，且i∈I(I為某種下標集合)，則有：①令A(yù)=，則定義：=；

②令A(yù)=，則定義：=。第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四模糊集合的運算性質(zhì)交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。冪等律：A∪A＝A；A∩A＝A。吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A。對偶律：~(A∪B)=~A∩~B；~(A∩B)=~A∪~B。對合律：~(~A)=A同一律：A∪φ=A；A∩X=A。零律：A∪X=X；A∩φ=φ。第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四證明對偶律(德·莫根律)中的第一式證明：~(A∪B)(x)=1－(A∪B)(x) =1－(A(x)∨B(x)) =(1－A(x))∧(1－B(x)) =~A(x)∧~B(x) =(~A)∩~B)(x)故得~(A∪B)=~A∩~B。模糊集合不滿足的規(guī)律①A∪~A≠X②A∩~A≠φ③(~A)λ≠~(Aλ)模糊集合的性質(zhì)命題2-1若論域X中的模糊集合A、B滿足，則①對于X中任意元素x：A（x）≤B（x）；②~B~A。第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四代數(shù)和與代數(shù)積定義2-17’令A(yù)、B為論域X中的模糊集合，對于任意X中的元素x：①A與B的代數(shù)和，記作AB＝；②A與B的代數(shù)積，記作A·B＝。有關(guān)代數(shù)和與代數(shù)積的運算性質(zhì)①當A、B為經(jīng)典集合時，AB＝A∪B，A·B＝A∩B

②對偶律：～(AB)＝～A·～B，～(A·B)＝～A～B

③恒等律：AΦ＝A，A·X＝A

④零律：AX＝X，A·Φ＝Φ

⑤分配律：A·(B∩C)＝(A·B)∩(A·C)A·(B∪C)＝(A·B)∪(A·C)A(B∩C）＝(AB)∩(AC)A(B∪C）＝(AB)∪(AC)第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四2.6分解定理分解定理的作用模糊集合A的λ截集是經(jīng)典集合，λ由1趨向于0時，Aλ就有核KerA變?yōu)橹Ъ疭uppA。由于模糊集合A的核與支集均為經(jīng)典集合，所以這自然使得我們考慮能否用經(jīng)典集合來表示模糊集合。數(shù)積定義2-18設(shè)A為論域X中的模糊集合，λ∈[0，1]，定義數(shù)λ與集合Aλ的“數(shù)積”為模糊集合B=λAλ，其隸屬函數(shù)為： B（x）＝min(λ，)其中為截集Aλ的特征函數(shù)。數(shù)積B的隸屬函數(shù)還可記為：

B（x）=第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期四分解定理定理2-5令A(yù)為論域X中的模糊集合，則A=λAλ

證