2022年浙江省寧波市余姚梁輝中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2022年浙江省寧波市余姚梁輝中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是A．把曲線C1向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到曲線C2 B．把曲線C1向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到曲線C2C．把曲線C2向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到曲線C1 D．把曲線C2向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到曲線C1參考答案：D2.設(shè)其中實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為，則的最小值為 A． B． C． D．參考答案：B3.下列命題中，真命題的是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是，過(guò)點(diǎn)(4,π/6)作曲線C的切線，切線長(zhǎng)為Ａ．4

Ｂ．7

Ｃ．22

Ｄ．32

參考答案：C5.已知P是正四面體S-ABC表面SAB內(nèi)任意一點(diǎn)，P到點(diǎn)S的距離為，P到直線AB的距離為，P到面ABC的距離為，有以下四個(gè)命題：①若，則P的軌跡為橢圓的一部分；②若，則P的軌跡為拋物線的一部分；③若成等差數(shù)列，則P的軌跡為橢圓的一部分；④若成等比數(shù)列，則P的軌跡為雙曲線的一部分，其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)參考答案：C略6.設(shè)f：A?B是集合A到B的映射，下列命題中是真命題的是

A.A中不同元素必有不同的象 B.B中每個(gè)元素在A中必有原象 C.A中每一個(gè)元素在B中必有象 D.B中每一個(gè)元素在A中的原象唯一

參考答案：C略7.是虛數(shù)單位，若，則的值是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”共收錄28個(gè)題目，其中一個(gè)題目如下：今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，問(wèn)積幾何？其譯文可用三視圖來(lái)解釋?zhuān)耗硯缀误w的三視圖如圖所示（其中側(cè)視圖為等腰梯形，長(zhǎng)度單位為尺），則該幾何體的體積為（）A．3795000立方尺 B．2024000立方尺C．632500立方尺 D．1897500立方尺參考答案：D【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可得，直觀圖為底面為側(cè)視圖是直棱柱，利用圖中數(shù)據(jù)求出體積．【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為底面為側(cè)視圖，是直棱柱，體積為=1897500立方尺，故選D．9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)A在雙曲線上，且,則雙曲線的離心率等于（

）A.2

B.3

C.

D參考答案：A10.若，則下列命題中正確的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：答案：D解析：用特殊值法，取ｘ＝可排除B、C，取x=可排除A，選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線y＝a與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)P，雙曲線C在左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，若，則雙曲線C的離心率為

▲

參考答案：12.在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足的概率為，則

.參考答案：13.已知函數(shù)f（x）=，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（，1]【考點(diǎn)】特稱命題．【分析】由x＜1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉(zhuǎn)化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），求出切點(diǎn)和斜率，設(shè)直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切于點(diǎn)（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，當(dāng)x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在（，1）上是增函數(shù)；畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，即為任意t∈R，且t≠0時(shí)，使得f（t）＜kt恒成立；作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），則由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；設(shè)直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）的圖象相切于點(diǎn)（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），則有k=1，由圖象可得，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)到與y=lnx（x≥1）圖象相切，以及與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切時(shí)，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范圍是（，1]．故答案為：（，1]．14.函數(shù)，且，，則的取值范圍是__________．參考答案：由題得：，如圖表示的可行域：則可得，又b=1,a=0成立，此時(shí)，可得15.記不等式x2+x﹣6＜0的解集為集合A，函數(shù)y=lg（x﹣a）的定義域?yàn)榧螧．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，﹣3]【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專(zhuān)題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)條件求出A，B，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?B，即a≤﹣3，故答案為：（﹣∞，﹣3]【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的關(guān)系的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．16.函數(shù)的最小正周期為

，

．參考答案：17.已知?jiǎng)t常數(shù)=_________.參考答案：1，解得。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示：

（I）求證：PA⊥BD；（II）連接AC、BD交于點(diǎn)O，在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30o？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：（I）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO

．

………2分

因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，………………4分

即BD⊥PA．

………………6分（II）由三視圖可知，BC＝2，PA＝2，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，因?yàn)锳C⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為直線OQ與平面ABCD所成的角

……8分在△POD中，PD＝2，OD＝，則∠PDO＝60o，在△DQO中，∠PDO＝60o，且∠QOD＝30o．所以DP⊥OQ．

……10分所以O(shè)D＝，QD＝．所以．

…12分

19.設(shè)曲線：（），表示導(dǎo)函數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）數(shù)列滿足，．求證：數(shù)列中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)；（III）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，，，求證：存在唯一的，使直線的斜率等于．參考答案：.解：（I），得當(dāng)變化時(shí)，與變化情況如下表：＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，沒(méi)有極小值；

…………（4分）（II）∵，∴，∴

…………（6分）假設(shè)數(shù)列中存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)，則，因此，數(shù)列中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)

…………（8分）（III）（方法1）∵，∴，∴即，設(shè)，，是的增函數(shù)，∵，∴；，，是的增函數(shù)，∵，∴，∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，

…………（10分）又∵，函數(shù)在是增函數(shù)，∴函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，命題成立…………（12分）（方法2）∵，∴，即，，且唯一設(shè)，則，再設(shè)，，∴∴在是增函數(shù)∴，同理∴方程在有解

…………（10分）∵一次函數(shù)在是增函數(shù)∴方程在有唯一解，命題成立………（12分）注：僅用函數(shù)單調(diào)性說(shuō)明，沒(méi)有去證明曲線不存在拐點(diǎn)，不給分。

略20.記函數(shù)在區(qū)間D上的最大值與最小值分別為與。設(shè)函數(shù)（），，令。（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的表達(dá)式；參考答案：（1）由題意

（2）當(dāng)時(shí)，，，顯然g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又此時(shí)故，

從而：=

21.在中，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值.參考答案：（1）在中，∵，∴（2）∵，∴∴，22.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ι）若曲線