山西省忻州市原平新原鄉(xiāng)鄉(xiāng)中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析

山西省忻州市原平新原鄉(xiāng)鄉(xiāng)中學2021-2022學年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2015?欽州模擬）閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內，那么輸入實數(shù)x的取值范圍是（）A．[﹣2，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）參考答案：A【考點】：程序框圖．【專題】：圖表型；算法和程序框圖．【分析】：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值．根據(jù)函數(shù)的解析式，結合輸出的函數(shù)值在區(qū)間，即可得到答案．解：分析程序中各變量、各語句的作用再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值．又∵輸出的函數(shù)值在區(qū)間內，∴x∈[﹣2，﹣1]故選：A．【點評】：本題考查的知識點是選擇結構，其中根據(jù)函數(shù)的流程圖判斷出程序的功能是解答本題的關鍵，屬于基本知識的考查．2.已知輸入的x=11，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x的值為（）A．12 B．23 C．47 D．95參考答案：D【考點】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析繼續(xù)循環(huán)和退出循環(huán)的條件特征，可得答案．【解答】解：x=11，n=1≤3，x=23，n=2≤3，x=47，n=3≤3，x=95，n=4＞3，輸出x=95，故選：D．3.在中，條件甲：，條件乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件參考答案：C略4.對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f（x）稱為M函數(shù)：（i）對任意的x∈，恒有f（x）≥0；（ii）當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．則下列四個函數(shù)中不是M函數(shù)的個數(shù)是(

)①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A考點：函數(shù)與方程的綜合運用．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：利用已知條件函數(shù)的新定義，對四個選項逐一驗證兩個條件，判斷即可．解答： 解：（i）在上，四個函數(shù)都滿足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；對于①，，∴①滿足；對于②，=2x1x2﹣1＜0，∴②不滿足．對于③，=而x1≥0，x2≥0，∴，∴，∴，∴，∴，∴③滿足；對于④，=，∴④滿足；故選：A．點評：本題通過函數(shù)的運算與不等式的比較，另外也可以利用函數(shù)在定義域內的變化率、函數(shù)圖象的基本形式來獲得答案，本題對學生的運算求解能力和數(shù)形結合思想提出一定要求．5.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數(shù)的是(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D

略6.函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．參考答案：解：選D．由．7.在中，若,則A．是銳角三角形

B．是直角三角形

C．是鈍角三角形

D．的形狀不能確定參考答案：B8.已知i是虛數(shù)單位，若z（1+i）=1+3i，則z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故選：A．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．9.已知命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“?x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(

) A．{a|a≥1} B．{a|a≤﹣2或1≤a≤2} C．{a|﹣2≤a≤1} D．{a|a≤﹣2或a=1}參考答案：D考點：復合命題的真假．專題：簡易邏輯．分析：由命題p可得：a≤（x2）min，解得a≤1；由命題q可得：△≥0，解得a≥1或a≤﹣2．由命題“p且q”是真命題，可知p，q都是真命題，即可解出．解答： 解：命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min，∴a≤1；命題q：“?x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，則△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2．若命題“p且q”是真命題，則，解得a≤﹣2或a=1．則實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣2或a=1}．故選：D．點評：本題考查了復合命題的真假判定方法、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與幾十年令，屬于基礎題．10.若函數(shù)滿足，且時，，函數(shù)，則函數(shù)－g(x)在區(qū)間內的零點的個數(shù)為 A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，又因為時，，所以作出函數(shù)的圖像：由圖知：函數(shù)－g(x)在區(qū)間內的零點的個數(shù)為8個。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項，則+的最小值是．參考答案：4【考點】基本不等式在最值問題中的應用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)等比中項的性質求得a+b的值，進而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化簡整理，根據(jù)ab的范圍，求得答案．【解答】解：∵是3a與3b的等比中項∴3a?3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（當a=b時等號成立）∴+==≥4．故答案為：4【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．使用基本不等式時要注意等號成立的條件．12.如圖,在中,,點在線段上,且,則

．參考答案：考點：向量數(shù)量積，二倍角公式，余弦定理【思路點睛】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，都會出現(xiàn)交匯問題中的難點，對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解.13.在△ABC中，D為BC邊上一點，若△ABD是等邊三角形，且AC=4，則△ADC的面積的最大值為．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性質確定AD?DC的最大值，進而根據(jù)三角形面積公式求得三角形面積的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD時取等號，∴△ADC的面積S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案為：14.記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構成三角形的三邊長，若，則的取值范圍是

．參考答案：顯然，又，①當時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內的交點分別是（1，1）和，從而②當時，，作出可行區(qū)域，因拋物線與直線及在第一象限內的交點分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是。15.已知x，y滿足約束條件，則的取值范圍為______________．參考答案：.【分析】先由約束條件作出可行域，再由目標函數(shù)可化為，因此目標函數(shù)表示直線在軸截距的相反數(shù)，結合圖像，即可得出結果.【詳解】由約束條件作出可行域如下：因目標函數(shù)可化為，所以目標函數(shù)表示直線在軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像可得，當直線過點時，截距最小，即最大；當直線過點時，截距最大，即最?。挥深}意易得；由得，因此，所以，的取值范圍為故答案為【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，只需由約束條件作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義即可求解，屬于常考題型.16.規(guī)定記號“a?b”表示一種運算，即a?b=ab+a+b2（a，b為正實數(shù)），若1?m=3，則m的值為

．參考答案：1【考點】77：一元二次不等式與一元二次方程．【分析】根據(jù)a?b=ab+a+b2先用含m的式子表示1?m，再根據(jù)1?m=3，得到關于m的一元二次方程，解方程，所得方程的解還得滿足為正實數(shù)，就可求出m的值．【解答】解：∵a?b=ab+a+b2（a，b為正實數(shù)），∴1?m=1×m+1+m2=3，即m2+m﹣2=0，解得，m=﹣2，或m=1又∵a，b為正實數(shù)，∴m=﹣2舍去．∴m=1故答案為117.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為_______.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．參考答案：答：設計∠AMN為60°時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分解法二(構造直角三角形)：設∠PMD＝θ，在△PMD中，此時AM＝AN＝2，∠PAB＝30°

…………14分解法三：設AM＝x，AN＝y(tǒng)，∠AMN＝α．在△AMN中，因為MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．

…………2分

答：設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分

解法四(坐標法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系．即．

答：設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系．設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．答：設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分解法六(幾何法)：由運動的相對性，可使△PMN不動，點A在運動．由于∠MAN＝60°，∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上，…………4分設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質知：AP的最大值為PF＋R．

…………8分

答：設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分19.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記，其前項和為Tn，求證：參考答案：(1)(2)見證明【分析】（1）先根據(jù)已知求出，即得數(shù)列的通項公式；（2）先利用裂項相消求出，再證明.【詳解】（1）設公差為d，則由得，解得.所以.（2）易知隨著n的增大而增大，所以【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

20.在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1經(jīng)過點，曲線C2的極坐標方程為．（1）求曲線C1的極坐標方程；（2）若，是曲線C2上兩點，求的值．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）將首先化為普通方程，再化為極坐標方程，代入點可求得，整理可得所求的極坐標方程；（2）將代入方程，從而將代入整理可得結果.【詳解】（1）將的參數(shù)方程化為普通方程得：由，得的極坐標方程為：將點代入中得：，解得：代入的極坐標方程整理可得：的極坐標方程為：（2）將點，代入曲線的極坐標方程得：，【點睛】本題考查極坐標方程的求解、極坐標中的幾何意義的應用，關鍵是根據(jù)幾何意義將所求的變?yōu)?，從而使問題得以求解.21.如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D為BC的中點．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求證：AD⊥DC1；（2）求證：A1B//平面ADC1．參考答案：證明：（1）因為AB＝AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC．

因為平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADì平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．

因為DC1ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．

（2）(證法一)連結A1C，交AC1于點O，連結OD，則O為A1C的中點．因為D為BC的中點，所以OD//A1B．

因為OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．

(證法二)取B1C1的中點D1，連結A1D1，D1D，D1B．則D1C1BD．所以四邊形BDC1D1是平行四邊形．所以D1B//C1D．因為C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可證A1D1//平面AD