二重積分的概念與性質(zhì)

關(guān)于二重積分的概念與性質(zhì)1第1頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三2

重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限.

定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個(gè)確定區(qū)間.

而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個(gè)平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應(yīng)用.序言第2頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三3問(wèn)題的提出二重積分的概念二重積分的性質(zhì)doubleintegral第一節(jié)二重積分的概念

與性質(zhì)第3頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三4一、問(wèn)題的提出定積分中會(huì)求平行截面面積為已知的

一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開(kāi)始.而曲頂柱體的體積的計(jì)算問(wèn)題,一般立體的體積可分成一些比較簡(jiǎn)單的?

回想立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個(gè)模型.可作為第4頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三5曲頂柱體體積=特點(diǎn)1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)而母線(xiàn)平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).?曲頂頂是曲的第5頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三6柱體體積=

特點(diǎn)

分析?曲邊梯形面積是如何求以直代曲、

解決問(wèn)題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂以不變代變.曲邊梯形面積的求法類(lèi)似取近似、求和、取極限.

底面積×高第6頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三7第7頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三8(1)

分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.(2)

取近似第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個(gè)子域的面積).將域D任意分為n個(gè)子域在每個(gè)子域內(nèi)任取一點(diǎn)第8頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三9(3)求和

即得曲頂柱體體積的近似值:(4)

取極限λ)趨于零,求n個(gè)小平頂柱體體積之和令n個(gè)子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積第9頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三102.非均勻平面薄片的質(zhì)量(1)

將薄片分割成n個(gè)小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似

任取小塊設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.第10頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三11也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和

①②③第11頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三12積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱(chēng)此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④第12頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三13曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即在薄片D上的二重積分,第13頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三14

2.

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D,二重積分可寫(xiě)為注1.重積分中則面積元素為Dyxddd=s第14頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三15(A)最大小區(qū)間長(zhǎng);(B)小區(qū)域最大面積;(C)小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題第15頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三162.二重積分的存在定理

設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時(shí),則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的第16頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三17(2)3.二重積分的幾何意義(3)

(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,第17頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三18例設(shè)D為圓域?二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：RD第18頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三19性質(zhì)１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì))三、二重積分的性質(zhì)第19頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三20根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值練習(xí)第20頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三21以1為高的性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個(gè)子域性質(zhì)3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.

對(duì)積分區(qū)域的可加性質(zhì).D1與D2除分界線(xiàn)外無(wú)公共點(diǎn).D又可看成是D的面積.第21頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三22問(wèn)在有界閉區(qū)域D1上可積,且則必有第22頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三23特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))設(shè)則第23頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三24例的值().(A)為正(B)為負(fù)(C)等于0(D)不能確定為負(fù)B第24頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三25選擇題

比較(D)無(wú)法比較.oxy

1??1?2C(2,1)?性質(zhì)4(比較性質(zhì))的大小,則()第25頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三26解例判斷的正負(fù)號(hào).故于是又當(dāng)?shù)?6頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三27幾何意義以m為高和以M為高的兩個(gè)證再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,

性質(zhì)5(估值性質(zhì))則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.第27頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三28解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上例不作計(jì)算,第28頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三29性質(zhì)6(二重積分中值定理)體積等于

顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)使得則曲頂柱體以D為底

為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以有第29頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三30的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點(diǎn)的值證畢.即是說(shuō),確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)在該與這個(gè)確定的數(shù)值相等,即第30頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三31選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.第31頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三32利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點(diǎn)是圓域內(nèi)的一點(diǎn).第32頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三33

補(bǔ)充在分析問(wèn)題和算題時(shí)常用的設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1性質(zhì)7則D1為D在x軸上方的部分,對(duì)稱(chēng)性質(zhì)坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于第33頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三34這個(gè)性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz

區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù)

區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)第34頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三35如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x則為偶函數(shù)則類(lèi)似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且D1為D在Y軸右邊的部分,第35頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三36設(shè)D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域?第36頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三37

今后在計(jì)算重積分利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí),

注意被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性,要特別注意考慮兩方面:第37頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三38二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)(四步:分割、取近似、求和、取極限)四、小結(jié)(注意對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的用法)第38頁(yè)，講稿共41頁(yè)，2023年5月2日，星期三39思考題1

將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較,找出它們的相同之處