二重積分的概念與性質

關于二重積分的概念與性質1第1頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三2

重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限.

定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間.

而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應用.序言第2頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三3問題的提出二重積分的概念二重積分的性質doubleintegral第一節(jié)二重積分的概念

與性質第3頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三4一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的

一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的?

回想立體的體積、旋轉體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個模型.可作為第4頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三5曲頂柱體體積=特點1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面以頂是曲面且在D上連續(xù)).?曲頂頂是曲的第5頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三6柱體體積=

特點

分析?曲邊梯形面積是如何求以直代曲、

解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限.

底面積×高第6頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三7第7頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三8(1)

分割相應地此曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.(2)

取近似第i個小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個子域的面積).將域D任意分為n個子域在每個子域內任取一點第8頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三9(3)求和

即得曲頂柱體體積的近似值:(4)

取極限λ)趨于零,求n個小平頂柱體體積之和令n個子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積第9頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三102.非均勻平面薄片的質量(1)

將薄片分割成n個小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似

任取小塊設有一平面薄片,求平面薄片的質量M.第10頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三11也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和

①②③第11頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三12積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素這和式則稱此零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④第12頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三13曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質量即在薄片D上的二重積分,第13頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三14

2.

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注1.重積分中則面積元素為Dyxddd=s第14頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三15(A)最大小區(qū)間長;(B)小區(qū)域最大面積;(C)小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題第15頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三162.二重積分的存在定理

設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時,則都假定被積函數(shù)在相應的第16頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三17(2)3.二重積分的幾何意義(3)

(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,第17頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三18例設D為圓域?二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：RD第18頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三19性質１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類似的性質)三、二重積分的性質第19頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三20根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值練習第20頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三21以1為高的性質2將區(qū)域D分為兩個子域性質3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.

對積分區(qū)域的可加性質.D1與D2除分界線外無公共點.D又可看成是D的面積.第21頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三22問在有界閉區(qū)域D1上可積,且則必有第22頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三23特殊地性質4(比較性質)設則第23頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三24例的值().(A)為正(B)為負(C)等于0(D)不能確定為負B第24頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三25選擇題

比較(D)無法比較.oxy

1??1?2C(2,1)?性質4(比較性質)的大小,則()第25頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三26解例判斷的正負號.故于是又當?shù)?6頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三27幾何意義以m為高和以M為高的兩個證再用性質1和性質3,

性質5(估值性質)則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.第27頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三28解估值性質區(qū)域D的面積在D上例不作計算,第28頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三29性質6(二重積分中值定理)體積等于

顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點使得則曲頂柱體以D為底

為高的平頂柱體體積.將性質5中不等式各除以有第29頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三30的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點的值證畢.即是說,確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點使得函數(shù)在該與這個確定的數(shù)值相等,即第30頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三31選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.第31頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三32利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點是圓域內的一點.第32頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三33

補充在分析問題和算題時常用的設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關于坐標y為偶函數(shù).oxyD1性質7則D1為D在x軸上方的部分,對稱性質坐標y為奇函數(shù)則設區(qū)域D關于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關于第33頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三34這個性質的幾何意義如圖:OxyzOxyz

區(qū)域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為偶函數(shù)

區(qū)域D關于x軸對稱f(x,y)關于坐標y為奇函數(shù)第34頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三35如果函數(shù)f(x,y)關于坐標x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)f(x,y)關于坐標x則為偶函數(shù)則類似地,設區(qū)域D關于y軸對稱,且D1為D在Y軸右邊的部分,第35頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三36設D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域?第36頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三37

今后在計算重積分利用對稱性簡化計算時,

注意被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:第37頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三38二重積分的定義二重積分的性質二重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)(四步:分割、取近似、求和、取極限)四、小結(注意對稱性質的用法)第38頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三39思考題1

將二重積分定義與定積分定義進行比較,找出它們的相同之處