二項式系數(shù)的性質

關于二項式系數(shù)的性質第1頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)表11121133114641151010511615201561第2頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三《詳解九章算法》記載的表楊輝

三角楊輝

以上二項式系數(shù)表,早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它。這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的。第3頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三a).表中每行兩端都是1。b).除1外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=當n不大時，可用該表來求二項式系數(shù)。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因為：二項式系數(shù)的性質111211331146411510105116152015612134610第4頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二項式系數(shù)的性質先增后減對稱第5頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數(shù)?？煽闯墒羌希?，1，…，n｝到二項式系數(shù)的集合的映射?！飳τ诙検较禂?shù)，r與之間也有對應關系，即：r012

…r…n…二項式系數(shù)與函數(shù)…第6頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三

從映射、函數(shù)的觀點看，二項式系數(shù)可以看作是一個定義域為{0，1，2，…，n}的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。

即：r是自變量，r自變量二項式系數(shù)是函數(shù)值，組合數(shù)公式就是相應函數(shù)的解析式。123二項式函數(shù)值二項式系數(shù)與函數(shù)第7頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三①當n=6時，二項式系數(shù)（0≤r≤6）用圖象表示：7個孤立的點13……n…12322nOrf(r)6361420

①與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等1：對稱性2：增減性與最大值①先增后減②關于r=3對稱②r=3時取得最大值第8頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三f（r）n為奇數(shù)；如n=7f（r）rnO6152013n為偶數(shù)；如n=620103035On743①關于r=n/2對稱②r=3和r=4時取得最大值第9頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三二項式系數(shù)的性質

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等性質1：對稱性性質2：增減性與最大值先增后減當n是偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項二項式系數(shù)和相等，且同時取得最大值。即

即

和第10頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大時；當n是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1)k?(k-1)=Ck-1n?kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相對于的增減情況由決定由于kn–k+1>1k<n+12因而2.增減性與最大值第11頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三性質3：各二項式系數(shù)的和二項式系數(shù)的性質2n+++…+令x=1；賦值法令x=-1；0++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=

也就是說,(1+x)n的展開式中的各個二項式系數(shù)的和為，且奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)的二項式系數(shù)和2n第12頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三1、在(a＋b)20展開式中，與第五項二項式系數(shù)相同的項是().C課堂練習:A.第6項B.第7項

C.第6項和第7項D.第5項和第7項CA.第15項B.第16項C.第17項D.第18項2、在(a＋b)11展開式中，二項式系數(shù)最大的項().4，化簡+++

+=3，已知展開式中只有第10項二項式系數(shù)最大，則n=______。18第13頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三例1、證明的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。ban)(+證明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnrnn……ban)(+在展開式中1+=1n)(-Cnnn)(-10nC1nCC2n3nC--+…+b=-1，令a=1，則得++0nCC2n…-++1nC…3nC)(()0=++0nCC2n…++1nC…3nC=就是即在ban)(+的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項系數(shù)的和。證畢。上述證明過程中用到了什么方法？賦值法例題講解第14頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三變式練習：+…7210)(+++=-72721xaxaxaax已知則=+++6420aaaa71a=+++2aa…7=+++531aaaa簡解:令x=1,則則令x=-1,7a++5a6a102++aaa+=++3a4a(=)-721?1-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a---)+(721?1=371…2…1由得71a=+++2aa…-212-)(2由得12+)(2由得-2-109410937=+++531aaaa-1094=+++6420aaaa1093(

x=0時,a0=1)第15頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三123……n…123注意：

求解二項式系數(shù)和時，靈活運用賦值法可以使問題簡單化。通常選取賦值時?。?，1，0。第16頁，講稿共19頁，2023年5月2日，星期三小結:

（2）數(shù)學思想：函數(shù)思想a圖象、圖表；b單