北師版八下數(shù)學(xué)第一章第三節(jié)線段的垂直平分線同步練習(xí)

專訓(xùn)十四、線段的垂直平分線應(yīng)用

1.（2022?武漢六中上智中學(xué)月考）如圖，己知」48c的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)/,三邊的

垂直平分線相交于點(diǎn)0.若口50。=148。，則口以。：（）

A.120°B.125°C.127°D.132°

2.（2022?湖南永定?期中）如圖，A5C中，DE是AC的垂直平分線，AE=4cm,AABD

的周長為16cm，則一A6c的周長為（）

B.24cm

C.26cmD.36cm

3.（2022?海南?？?初三三模）如圖，在2kABC中，DE垂直平分AC,若BC=6,AD=4,

則BD等于（）

2C.2.5D.3

4.（2022?長沙市望城區(qū)郡維學(xué)校初二月考）如圖，A5C中，A3=io,AC=4,點(diǎn)O

在邊BC上,OD垂直平分BC,AD平分/BAC,過點(diǎn)D作DMJ_A8于點(diǎn)M,則BM=（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2022?黑龍江南崗?期中）如圖，DE是AB的垂直平分線，D是垂足，DE交BC于E,若

BC=32,AC=18,則aAEC的周長為

6.（2022?山西月考）如圖，在AABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,如果AC=5cm,

BC=4cm,那么zsDBC的周長為cm.

7.（2022?二連浩特市第二中學(xué)期中）如圖，Z\ABC中，AC=25cm,DE垂直平分AB,垂足

為E,交AC于D,若ADBC的周長是35cm,則BC邊的長為.

8.（2022?廈門市瑞景中學(xué)期中）如圖，在④ABC中，AB^AC,ABAC=55°,ABAC

的平分線與A3的垂直平分線交于點(diǎn)。，將NC沿用（E在上，尸在AC上）折疊,

點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合，則ZOEC為度.

9.（2022?廈門市瑞景中學(xué)期中）如圖，在...ABC中，AB=AC,3C=4,面積是10,AC

的垂直平分線EF分別交AC,A3邊于E,尸點(diǎn)，若點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段

EF上一動點(diǎn)，則7CDM周長的最小值為.

10.（2022?常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）如圖，在ABC中，AB、AC邊的垂直平分

線分別交BC邊于點(diǎn)M、N.若BMZ+CN'MM,貝ijNBAC=°,

11.（2022?廣西民族大學(xué)附屬中學(xué)初二月考）如圖，AABC中，AB=11,AC=5,UBAC的

平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D分別作DE1AB,DFnAC,垂足分別為E、

F,則BE的長為.

ER

專訓(xùn)十四、線段的垂直平分線應(yīng)用

1.(2022?武漢六中上智中學(xué)月考)如圖，已知EIN5C的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)/,三邊

的垂直平分線相交于點(diǎn)。若口5。。=148。，貝！()

A.1200B.1250C.127°D.132°

【答案】C

【解析】

【分析】

連接OA,根據(jù)點(diǎn)。為各邊中垂線的交點(diǎn)，可得NBAC=74°,再根據(jù)/8C的三條內(nèi)角平

分線相交于點(diǎn)I，即可求解.

:點(diǎn)O為各邊中垂線的交點(diǎn)

/.OB=OC=OA

AZCBO=ZBCO,ZBAO=ZABO,ZCAO=ZACO

又?.?NBOC=148°

???ZOBC=ZOCB=16°

ZBAC=ZBAO+ZCAO

=g(NBAO+—ABO+NCAO+NACO)

=g(180?！狽O5C—N0C6)

=74°

???Q48C的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)I

/BIC=180°-(/IBC+NICB)

=180°-1(180°-ZBAC)

=127°

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查線段的垂直平分線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)，熟練進(jìn)行邏輯推理是解題關(guān)鍵.

2.（2022?湖南永定?期中）如圖，ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4cm,△AB。

的周長為16cm,則..A6C的周長為（）

A.20cmB.24cm

C.26cmD.36cm

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)垂直平分線的定義與性質(zhì)可得AE=CE,AD=CD,再根據(jù)三角形的周長公式即可

得.

【詳解】

?！笆茿C的垂直平分線，R.AE=4cm,

AE=CE=4cm,AD=CD,

：.AC=AE+CE-8cm，

ABD的周長為16CT?Z,

:.AB+BD+AD-16cm,

/.AB+BD+CD-16cm,即AB+BC=16cm,

ABC的周長為AB+BC+AC=16+8=24（cw）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直平分線的定義與性質(zhì)、三角形的周長公式等知識點(diǎn)，熟練掌握垂直平分線的

定義與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2022?海南?？?初三三模）如圖，在AABC中，DE垂直平分AC,若BC=6,AD=4,

則BD等于（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DA=4,計算即可.

【詳解】

解：EIDE垂直平分AC,

口DC=DA=4,

□BD=BC-DC=2,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的

距離相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?長沙市望城區(qū)郡維學(xué)校初二月考）如圖，A5c中，AB=10,AC=4,點(diǎn)O

在邊BC上，OD垂直平分BC,AD平分NBAC,過點(diǎn)D作。M，AB于點(diǎn)M,則=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

如圖(見解析)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DW=OV,再根據(jù)直角三角形全等的判定定

理與性質(zhì)可得AM=4V,然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得比＞=CD，又根據(jù)直角三角形

全等的判定定理與性質(zhì)可得3M=CN，陵BM=CN=x,從而可得40=10—x,

AN=4+x,最后根據(jù)AM=AN建立等式求解即可得.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)D作。NJ.AC，交AC延長線于點(diǎn)N,連接BD、CD,

DM上AB，AD平分44C,

/.DM=DN，

AD=AD

在用△AO河和RfZvlIW中，…，

DM=DN

Rt_ADMsRt_ADN(HL),

：.AM^AN,

OD垂直平分BC,

BD-CD，

BD=CD

在Rt^BDM和Rt_CDN中，〈八?，，

DM=DN

Rt_BDM=Rt_CDN(HL),

：.BM=CN,

設(shè)BM=CN=x,

AB=10,AC=4,

.-.AM=AB-BM=10-x,AN=AC+CN=4+x,

又AM=4V,

.1.10—x=4+x,

解得x=3,

即3M=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識

點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

5.（2022?黑龍江南崗?期中）如圖，DE是AB的垂直平分線，D是垂足，DE交BC于E,若

BC=32,AC=18,則AAEC的周長為.

【答案】50

【解析】

【分析】

利用垂直平分線的性質(zhì)計算即可;

【詳解】

DE是AB的垂直平分線，

/.AE=BE，

,：BC=32,

EC+AE=32,

...△AEC的周長=+原+熊=18+32=50.

故答案是50.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?山西月考）如圖，在AABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,如果AC=5cm,

BC=4cm,那么ADBC的周長為cm.

【答案】9.

【解析】

【分析】

運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)，得AD=DB,可得ADBC周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC,

問題可解.

【詳

解：：AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D

；.D是AB的垂直平分線上一點(diǎn)

Z.AD=BD

^BDC=BD+CD+BC^AD+CD+BC=AC+BC（把AC=5cm,BC=4cm代入）

=5cm+4cm

=9cm.

故答案為:9.

【點(diǎn)睛】

本題考查垂直平分線的性質(zhì).運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)，把三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩條已知

線段的和是解決此題的關(guān)鍵.

7.（2022?二連浩特市第二中學(xué)期中）如圖，△ABC中，AC=25cm,DE垂直平分AB,垂

足為E,交AC于D,若△DBC的周長是35cm,則BC邊的長為.

【答案】10cm

【解析】

【分析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，將回DBC的周長轉(zhuǎn)化為AC+BC,則問題可解?

【詳解】

解：由DE垂直平分AB

0BD=AD

00DBC的周長是35cm

0BD+DC+BC=35

團(tuán)AD+DC+BC=35

即AC+BC=35

團(tuán)AC=25cm

0BC=lOcm

故答案為：10cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是將三角形的周長轉(zhuǎn)化為兩邊之和.

8.（2022?廈門市瑞景中學(xué)期中）如圖，在.A5c中，AB=AC,ZBAC=55°,ZBAC

的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)。，將NC沿EE（￡在3c上，尸在AC上）折疊，

點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合，則/OEC為_______度.

B

E

【答案】no

【解析】

【分析】

連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出BAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出ABC,

再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角可得

□ABO=BAO,再求出!OBC,然后判斷出點(diǎn)O是DABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)

可得OB=OC,再根據(jù)等邊對等角求出nOCB=C)OBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后

根據(jù)等邊對等角求出COE,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可

【詳解】

如圖，連接OB、OC,

BAC=55°,AO為BAC的平分線，

BAO=—BAC=—X55°=27.5°,

22

XDAB=AC,

ABC=—(180°-BAC)=—X(18O°-55°)=62.5°,

22

DO是AB的垂直平分線，

OA=OB,

□□ABO=BAO=27.5°,

□□OBC=IABC-ABO=62.5°-27.5O=35°,

AO為BAC的平分線，AB=AC,

OB=OC,

I點(diǎn)。在BC的垂直平分線上，

又一DO是AB的垂直平分線，

□點(diǎn)0是［ABC的外心，

□□OCB=nOBC=35°,

將DC沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)。恰好重合，

OE=CE,

□□COE=OCB=35。，

在JOCE中，OEC=180°-EiCOE-OCB=180°-35°-35°=l10°.

故答案為：110。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的

性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)

鍵.

9.（2022?廈門市瑞景中學(xué)期中）如圖，在一A6C中，AB=AC,3c=4,面積是10,AC

的垂直平分線所分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn),若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段

EF上一動點(diǎn)，則NCDM周長的最小值為.

【答案】7

【解析】

【分析】

連接AD,AM,由于ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故ADBC,再根據(jù)三

角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF

的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【詳解】

連接AD,AM.

口?ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

□ADOBC,

SAABC=—BC*AD=—x4xAD=10,

22

解得AD=5,

EF是線段AC的垂直平分線，

點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

□MA=MC,

□ADWAM+MD,

□AD的長為CM+MD的最小值，

CDM的周長最短=(CM+MD)+CD=AD+—BC=5+—x4=5+2=7.

22

故答案為口7.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是垂直平分線的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2022?常州市武進(jìn)區(qū)星辰實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)如圖，在ABC中，AB、AC邊的垂直平分

線分別交BC邊于點(diǎn)M、N.若BM2+CN2=MN2,貝！|NBAC=1

【答案】135°

【解析】

【分析】

連接AM,AN,由勾股定理的逆定理證出匚AMN是直角三角形，ZMAN=900,證出

ZAMN=24B,ZANM=2NC,得出N4a「+AANM=2HB+Z<7)=90°,證

出N8+NC=45°,由三角形內(nèi)角和定理可得出答案;

【詳解】

如圖，連接AM,AN,

AB,AC邊的垂直平分線分別交BC邊與點(diǎn)M,N,

ZBM=AM,CN=AN,

NB=/BAM，4c=4CAN、

BM2+CN2=MN2，

AM2+AN2=MN"

AMN是直角三角形，NM4N=90°，

AAMN=Z27+/BAM,AANM=NO+ACAN，

AZAMN^2ZB,ZANM=2NC，

AAMN+