極坐標(biāo)與參數(shù)方程總結(jié)與習(xí)題復(fù)習(xí)題

PAGEPAGE12極坐標(biāo)題型：一、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化互化條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同.互化公式：或θ的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確定.例1⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為，．(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(II)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．例3以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若橢圓兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是(1,),(1,),長軸長是4,則此橢圓的直角坐標(biāo)方程是_______________.解：由已知條件知橢圓兩焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程為=15.與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（）A.B.C.D.二、已知曲線的極坐標(biāo)方程,判斷曲線類型例4極坐標(biāo)方程4sin2=5所表示的曲線是(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線類題:1(1991年三南)極坐標(biāo)方程4sin2=3表示的曲線是(A)二條射線(B)二條相交直線(C)圓(D)拋物線(答案:B)2(1987年全國)極坐標(biāo)方程=sin+2cos所表示的曲線是(A)直線(B)圓(C)雙曲線(D)拋物線(答案:B)3(2001年廣東、河南)極坐標(biāo)方程2cos2=1所表示的曲線是(A)兩條相交直線(B)圓(C)橢圓(D)雙曲線(答案:D)4(2003北京)極坐標(biāo)方程表示的曲線是 (A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線(答案:D)例5極坐標(biāo)方程=cos(-)所表示的曲線是(A)雙曲線(B)橢圓(C)拋物線(D)圓解:曲線=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得,曲線的形狀仍然是一個(gè)圓,故選D評(píng)述:把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程較為麻煩,利用旋轉(zhuǎn)不變性則更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一條直線,方程=acos(-0)表示半徑為,圓心為(,0)的圓,要注意兩者的區(qū)別.2.參數(shù)方程為表示的曲線是（）A.一條直線B.兩條直線C.一條射線D.兩條射線1x01x01x01x01x01x0x01(A)(B)(C)(D)解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得,圓心的極坐標(biāo)為(1,),故選C.類題:1(2002江蘇)極坐標(biāo)方程與=的圖形是00x0x0x0x(A)(B)(C)(D)(答案:B)2(2004北京春)在極坐標(biāo)系中，圓心在(且過極點(diǎn)的圓的方程為(A)(B)(C) (D)(答案:B)三、判斷曲線位置關(guān)系例7直線=和直線sin(-)=1的位置關(guān)系(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合解:直線sin(-)=1是把直線sin=1繞極點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角而得,從而兩直線平行,故選B.評(píng)注:對(duì)直線sin(-)=1與直線sin=1的關(guān)系要十分熟悉.四、根據(jù)條件求直線和圓的極坐標(biāo)方程例8(2002北京春)在極坐標(biāo)系中,如果一個(gè)圓的方程是=4cos+6sin，那么過圓心且與極軸平行的直線方程是(A)sin=3(B)sin=–3(C)cos=2(D)cos=–2解:將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圓心為(2,3),所求直線方程為y=3,即sin=3,故選A.評(píng)述:注意直線的直角坐標(biāo)方程極易求出.類題:1(1992年上海)在極坐標(biāo)方程中,與圓=4sin相切的一條直線的方程是(A)sin=2(B)cos=2(C)cos=4(D)cos=-4(答案:B)2(1993年上海)在極坐標(biāo)方程中,過點(diǎn)M(2,)且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是_______.(答案:sin=2)3(1994年上海)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,),那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為(A)=1(B)=cos(C)=(D)=(答案:C)4(2000年全國)以極坐標(biāo)系中點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是(A)=2cos(-)(B)=2sin(-)(C)=2cos(-1)(D)=2sin(-1)(答案:C)五、求曲線中點(diǎn)的極坐標(biāo)例9(2003上海)在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(1,),點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是_________.解:在直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),B在直線x+y=0上,AB最短,則B為,化為極坐標(biāo)為.例10(1999年上海)極坐標(biāo)方程52cos2+2-24=0所表示的曲線焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為__________.解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化為直角坐標(biāo)方程得,該雙曲線的焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(,0)與(-,0),故所求焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,0)、(,).評(píng)述:本題考查圓錐曲線極坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)知識(shí),掌握點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系極為有用.例11(2001年京皖蒙春)極坐標(biāo)系中,圓=4cos+3sin的圓心的坐標(biāo)是(A)(,arcsin)(B)(5,arcsin)(C)(5,arcsin)(D)(,arcsin)解:由=4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-φ)(其中sinφ=)所以所求圓心坐標(biāo)為(,arcsin),故選A.類題：(2002上海)若A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(4,),B(6,0),則AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)是_________.(極角用反三角函數(shù)值表示).答案.()3.直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.4.圓的圓心坐標(biāo)是（）A.B.C.D.六、求距離例12(2007廣東文)在極坐標(biāo)系中，直線的方程為ρsinθ=3，則點(diǎn)(2,)到直線的距離為___________.解:將直線的極坐標(biāo)方程ρsinθ=3化為直角坐標(biāo)系方程得:y=3,點(diǎn)(2,)在直角坐標(biāo)系中為(,1),故點(diǎn)(2,)到直線的距離為2.評(píng)注：本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的互化.例13(1992年全國、1996年上海)極坐標(biāo)方程分別是=cos和=sin的兩個(gè)圓的圓心距是(A)2(B)(C)1(D)解法一:兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(,0)與(,),由此求得圓心距為,選D.解法二:將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得(x-)2+y2=與x2+(y-)2=,由此求得圓心距為,選D.評(píng)述:本題考查對(duì)極坐標(biāo)的理解,理解深刻者可在極坐標(biāo)系上畫出簡圖直接求解,一般理解者,化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程也能順利得到正確答案.例14(1997年全國)已知直線的極坐標(biāo)方程為sin(+)=,則極點(diǎn)到該直線的距離是_______.解法一:化直線方程為=,根據(jù)極坐標(biāo)的概念極點(diǎn)到該直線的距離等于這個(gè)函數(shù)ρ的最小值,當(dāng)sin(+)=1時(shí),取最小值即為所求.解法二:對(duì)極坐標(biāo)欠熟悉時(shí),可把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程x+y=1,應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式得原點(diǎn)到此直線的距離為.類題:1(2000年上海)在極坐標(biāo)系中,若過點(diǎn)(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線=4cos于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=______.(答案:2)2(2004上海)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(4,)到直線:的距離d=____(答案:)22.已知直線的極坐標(biāo)方程為，則點(diǎn)A到這條直線的距離為.26．極坐標(biāo)系下，直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是_______．七、判定曲線的對(duì)稱性例15(1999年全國)在極坐標(biāo)系中,曲線=4sin(-)關(guān)于(A)直線=軸對(duì)稱(B)直線=軸對(duì)稱(C)點(diǎn)(2,)中心對(duì)稱(D)極點(diǎn)中心對(duì)稱解:把圓=4sin繞極點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)便得到曲線=4sin(-)=,知其圓心坐標(biāo)為(2,),故圓的對(duì)稱軸為=,應(yīng)選B.評(píng)述:方程表示的曲線是圓,為弄清軸對(duì)稱或中心對(duì)稱的問題,關(guān)鍵是求出其圓心的坐標(biāo).２．若ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，則點(diǎn)M1(ρ1,θ1)與點(diǎn)M2(ρ2,θ2)()。AA．關(guān)于極軸對(duì)稱B．關(guān)于直線θ=對(duì)稱C．關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱D．重合

八、求三角形面積ABOx例16(2006上海)在極坐標(biāo)系中,O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A(4,)，B(5,)，則△OAB的面積是ABOx解:如圖所示,在△OAB中，評(píng)述:本題考查極坐標(biāo)及三角形面積公式.九、參數(shù)方程化一般方程：5.與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（）A.B.C.D.6.直線被圓所截得的弦長為（）A.B.C.D.1.曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為__________.5.設(shè)則圓的參數(shù)方程為_______________.１３．參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程是。x2+y2=1去掉點(diǎn)(-1,0)4、曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（）A、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線9.參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形是.兩條射線；11.畫出參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線______橢圓___________7．曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是DA、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線．【圓x2+y2-x-y=0．】

////////////簡單的1.參數(shù)方程表示什么曲線？2．已知在直角坐標(biāo)系x0y內(nèi)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.13C．已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程．（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系．13C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)解：（1）消去參數(shù)，得直線的普通方程為；--2分即，兩邊同乘以得，消去參數(shù)，得⊙的直角坐標(biāo)方程為：6分（2）圓心到直線的距離，所以直線和⊙相交．10分8．(2007海南、寧夏文、理)⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．3．已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過點(diǎn)的圓的切線的極坐標(biāo)方程．解：由題設(shè)知，圓心，，設(shè)是過點(diǎn)的圓的切線上的任一點(diǎn)，則在中，有，即為所求切線的極坐標(biāo)方程．11已知曲線C的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是求直線與曲線C相交所成弦的弦長．解：曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，即.直線的參數(shù)方程化為普通方程為.曲線C的圓心（2，0）到直線的距離為，所以直線與曲線C相交所成的弦的弦長為．15．求直線（）被曲線所截的弦長.【7/5】將方程,分別化為普通方程：，……………(5分)……(10分)10過點(diǎn)P（－3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點(diǎn)．求線段AB的長．【】10C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：直線的參數(shù)方程為，……………3分曲線可以化為．……………5分將直線的參數(shù)方程代入上式，得．設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，∴．…………8分AB＝．………………10分說明：掌握直線，圓，圓錐曲線的參數(shù)方程及簡單的應(yīng)用．6．直線（t為參數(shù)）與橢圓（為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，求A、B間的距離解：直線的普通方程為橢圓的普通方程為聯(lián)立方程組消元得，則所以18．已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左，右焦點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（1）求直線和曲線C的普通方程；（2）求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線的距離之和.【】18（23）．解:（Ⅰ）直線普通方程為；………………3分曲線的普通方程為．……………6分（Ⅱ）∵,，…7分∴點(diǎn)到直線的距離…8分點(diǎn)到直線的距離………………9分∴……………10分///////////////////求最值8.已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－)2＋y2=ρcosθ=1即x=1直線與圓相交。所求最大值為2，最小值為014．在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓上的點(diǎn)到直線的距離為,求的最大值.【4】14C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）解：將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程：………(2分)可化為…………(5分)在上任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)A到直線的距離為,它的最大值為4……(10分)16．設(shè)P(x，y)是曲線C：（θ為參數(shù)，0≤θ<2π）上任意一點(diǎn)，(1)將曲線化為普通方程;(2)求的取值范圍.16（23）．(1)(x+2)2+y2=1(5分)(2)設(shè)y=kx,則kx-y=01=(7分)∴k2=,k=(9分)∴(10分)1．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，【】（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【負(fù)根號(hào)2減一】2.點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離.17．點(diǎn)M（x,y）在橢圓上，則點(diǎn)M到直線的最大距離為________,此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是_____________.1C．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【2】1C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)解：因橢圓的參數(shù)方程為故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.因此所以，當(dāng)時(shí)，取最大值217已知曲線的極坐標(biāo)方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．（Ⅰ）將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.【】17（23）．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為：又.所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為：.（2）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得：令得即點(diǎn)的坐標(biāo)為又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則∴例6.在圓x2＋2x＋y2=0上求一點(diǎn)，使它到直線2x＋3y－5=0的距離