初中數(shù)學(xué)中考知識(shí)點(diǎn)梳理

第一部分教材知識(shí)梳理?系統(tǒng)復(fù)習(xí)

第一單元數(shù)與式

第1講實(shí)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

(1)按定義分(2)按正、負(fù)性(1)2既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù).

分(2)無(wú)理數(shù)的幾種常見(jiàn)形式判斷：①含”的

r正有理弭式子；②構(gòu)造型:如3.010010001...(每?jī)?/p>

’有理數(shù)，有限小數(shù)或(正實(shí)數(shù)

個(gè)1之間多個(gè)0)就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小

負(fù)有理數(shù)J無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)J0

1.實(shí)數(shù)數(shù)；③開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)：如，；④三角函數(shù)

實(shí)數(shù)《'

型：如sin60°,tan25°.

”正無(wú)理數(shù)］負(fù)實(shí)數(shù)

1(3)失分點(diǎn)警示：開(kāi)得盡方的含根號(hào)的數(shù)屬

、無(wú)理數(shù)《卜無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

于有理數(shù)，如=2,=-3,它們都屬于有理數(shù).

〔負(fù)無(wú)理數(shù)J

知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

(1)三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度例：

2.數(shù)軸(2)特征：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；數(shù)軸右邊的點(diǎn)表示數(shù)軸上-2.5表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大25.

(1)概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)a的相反數(shù)為-a,特別的0的絕對(duì)值是

(2)代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)0a+b=O0.

3.相反數(shù)

(3)幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距

離相等例：3的相反數(shù)是-1的相反數(shù)是1.

(1)幾何意義：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(1)若|x|=a(a)0),則x=±a.

(2)運(yùn)算性質(zhì)：|a|=fa(a^O)；|a-b|=fa?b(a2b)(2)對(duì)絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)

4,絕對(duì)值Lza(a<0).1b-a(a<b)數(shù).

(3)非負(fù)性：|a|20,若|a|+b2=0,則a=b=Q.例：5的絕對(duì)值是￡；|-2|=2；絕對(duì)值等

于3的是±3:11-1=1

(1)概念：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為購(gòu)(aWO)例：

5.倒數(shù)(2)代數(shù)意義：ab=10a,b互為倒數(shù)-2的倒數(shù)是立2；倒數(shù)等于它本身的數(shù)

有±1.

知識(shí)點(diǎn)三：；科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)

(1)形式：aXIOn,其中iw|a|<10,n為整數(shù)例：

(2)確定n的方法：對(duì)于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)21000用科學(xué)記數(shù)法表示為2JA

6.科學(xué)記

為減去?。粚?duì)于小數(shù)，寫(xiě)成aX107iW|a|<10,n等于原數(shù)中104:

數(shù)法左起至第一個(gè)非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)(含小數(shù)點(diǎn)前面的一19萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為1.9X105；

個(gè))0.0007用科學(xué)記數(shù)法表示為7X10〃

(1)定義：一個(gè)與實(shí)際數(shù)值很接近的數(shù).例：

7.近似數(shù)(2)精確度：由四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪3.14159精確到百分位是工精確

一位.到0.001是3.142.

知識(shí)點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的大小比較

(1)數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.例：

(2)性質(zhì)比較法：正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)把1,-2,0,-2.3按從大到小的順序

&實(shí)數(shù)的

值大的反而小.排列結(jié)果為1>0>-2>-2.3.

大小比較(3)作差比較法：a-b>O?a>b；a-b=O<?a=b；a-b<O<=>a<b.

(4)平方法：a>b>00a2>b2.

知識(shí)點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的1運(yùn)算

乘方幾個(gè)相同因數(shù)的積；負(fù)數(shù)的偶(奇)次方為正(負(fù))例：

9.

零次基a0=1(a7￡0)(1)計(jì)算：1-2-6=-7:(-2)2=4;

常p

負(fù)指數(shù)基a"=lZa￡(aWO,p為整數(shù))3」=1/3:n°=_1_;

見(jiàn)平方根、

若x2=a(a20),則x=±J?「其中《'是算術(shù)平方根.⑵64的平方根是±8.算術(shù)平方根

運(yùn)算術(shù)平方根

是_8」立方根是4.

算

立方根

若x3=a,則x=Va失分點(diǎn)警示：類(lèi)似“的算術(shù)平方根”

計(jì)算錯(cuò)誤.例：相互對(duì)比填一填：16

先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左

10.混合運(yùn)算向右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、的算術(shù)平方根是」_，的算術(shù)平方根

中括號(hào)、大括號(hào)一次進(jìn)行.計(jì)算時(shí)，可以結(jié)合運(yùn)算律，是_2_.

使問(wèn)題簡(jiǎn)單化

第2講整式與因式分解

一、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：代數(shù)式及相關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)把數(shù)或表示數(shù)的

，代數(shù)字母連接而成的式子,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.求代數(shù)式的值常運(yùn)用整體代入法計(jì)算.

(2)求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算得出的結(jié)果，叫例：a-b=3,貝ij3b—3a=q.

式

做求代數(shù)式的值.

(1)單項(xiàng)式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單

例：

2整式項(xiàng)式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式

(1)下列式子：?-2a2;@3a-5b：③x/2;④

的次數(shù).

(單2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x?y：⑦2017.其中屬

(2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和.多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高

項(xiàng)于單項(xiàng)式的是①③⑤⑦;多項(xiàng)式是②

的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù).

式、⑥；同類(lèi)項(xiàng)是①和⑤.

(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.

多項(xiàng)(2)多項(xiàng)式7m5n?11mn2+1是六次三項(xiàng)

(4)同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng).所有

式)式，常數(shù)項(xiàng)是1.

的常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)二：整式的運(yùn)算

⑴合并同類(lèi)項(xiàng)法則:同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的

3整式失分警示：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)外面是符

指數(shù)不變.

號(hào)，一定要變號(hào)，且與括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)相

的加(2)去括號(hào)法則：若括號(hào)外是“+”，則括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)外是

乘，不要有漏項(xiàng).

減運(yùn)“一”，則括號(hào)里的各項(xiàng)都查號(hào).

例：一2(3a—2b—1)=-6a+4b+2.

算(3)整式的加減運(yùn)算法則：先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng).

mnn,+n

(I)同底數(shù)塞的乘法：a-a=a：(1)計(jì)算時(shí)，注意觀察，善于運(yùn)用它們的

4.累運(yùn)(2)幕的乘方：5尸=型；其中m,n逆運(yùn)算解決問(wèn)題.例：已知2m+n=2,則

(3)積的乘方：(")”=史必都在整數(shù)3X2mX2F

算法

(4)同底數(shù)基的除法：m+?！?。川〃(。于0).(2)在解決慕的運(yùn)算時(shí)，有時(shí)需要先化

則

成同底數(shù).例：2m?4m=23m.

(1)單項(xiàng)式x單項(xiàng)式：①系數(shù)和同底數(shù)塞分別相乘；②只有一個(gè)字國(guó)的照抄.

(2)單項(xiàng)式x多項(xiàng)式：m(a+b)=ma+mb.失分警示：計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，注

(3)多項(xiàng)式義多項(xiàng)式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.意不能漏乘，不能丟項(xiàng)，不能出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò).

5整式

(4)單項(xiàng)式+單項(xiàng)式：將系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相除.例：(2a—1)(b+2)=2ab+4a—b—2.

的乘(5)多項(xiàng)式一單項(xiàng)式：①多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式；②商相加.

除運(yùn)

(6)平方差公式：(a+bYa-h^a2-^.注意乘法公式的逆向運(yùn)用及其變形公式的

算

乘法完全平方公式：S土卯=涼±2。式+批變形公式：運(yùn)用

公式a2+b2=(a±b)2+2ab,ab=[(a+b)2-(a2+b2)]/2

6.混合注意計(jì)算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減；若為化簡(jiǎn)求值，一般步驟為：化簡(jiǎn)、

彳列:(a-1)2-(a+3)(a-3)-10=-2a,

運(yùn)算代入替換、計(jì)算.

知識(shí)點(diǎn)五：因式分解

(1)定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式.

(1)因式分解要分解到最后結(jié)果不能再分

7.因式(2)常用方法：①提公因式法：ma+mb+me=Ma+/>+c).

②公式法：a2—b2=(a-\-h)(g—b)：a2±2ab+Z>2=(a±b)2.解為止，相同因式寫(xiě)成事的形式；

分解(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式(2)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算.

法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.

第3講分式

二、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：分式的相關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

在判斷某個(gè)式子是否為分式時(shí)，應(yīng)注意：(1)

A

(1)分式：形如萬(wàn)(A,B是整式，且8中含式字母,瓊0)判斷化簡(jiǎn)之間的式子；(2)“是常數(shù)，不是字

1.分式的

母.例：下列分式：①;②；③;④與土2,其中

概念的式子.

(2)最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒(méi)有公因式的分式.是分式是②③④;最簡(jiǎn)分式③.

A

(1)無(wú)意義的條件：當(dāng)5=0時(shí),分式一無(wú)意義；

B失分點(diǎn)警示：在解決分式的值為0,求

A值的問(wèn)題時(shí)，一定要注意所求得的值滿

2分式的(2)有意義的條件：當(dāng)BW0時(shí),分式￡有意義；

B足分母不為0.

意義r2_1

A例：當(dāng)-~-的值為0時(shí)，則X=」.

(3)值為零的條件：當(dāng)/三0,8芒0時(shí)，分式萬(wàn)=0.X—1

,,..AA,CA-rC

(1)基本性質(zhì)：==(C/)).

BBCB+C

由分式的基本性質(zhì)可將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)：

基本性(2)由基本性質(zhì)可推理出變號(hào)法則為：

3.Y~—1Y一1

例：化簡(jiǎn)：2c

質(zhì)A_-A_/一-Zx+2x+1x+1

B~-B~B'B~B~-B

知識(shí)點(diǎn)三：分式的運(yùn)算

(1)約分(可化簡(jiǎn)分式)：把分式的分子和分母中的公因式約

分式通分的關(guān)鍵步驟是找出分式的最

去，

簡(jiǎn)公分母，然后根據(jù)分式的性質(zhì)通分.

即絲，；

4分式的

bmb例：分式一一和丁二的最簡(jiǎn)公分

約分和(2)通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的x+xx(x-l)

通分

分式化為同分母的分式，即竺，㈣

母為x(d—i).

babehe

(1)同分母：分母不變，分子相加減.即4=3;

CCC

例：——+=—1.

5分式的(2)異分母:先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.即祥=x-11-x—

112a

加減法-----1----=-----.

ad±beQ+1a-\a2-1

bd-

⑴乘法：甘=詈;(2)除法：.+,=

7_121

bdbdbdbe例：K----；—；------2y；

6.分式的12xxy

(3)乘方：U(〃為正整數(shù)).

乘除法丫=27

）衛(wèi)

(1)僅含有乘除運(yùn)算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要失分點(diǎn)警示：分式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要先將分式

Z分式的先分解后約分.化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)分式或整式的形式,再代入求值.代

(2)含有括號(hào)的運(yùn)算：注意運(yùn)算順序和運(yùn)算律的合理應(yīng)用.一般先算乘入數(shù)值時(shí)注意要使原分式有意義.有時(shí)也需運(yùn)用

混合運(yùn)算

方，再算乘除，最后算加減，若有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.到整體代入.

第4講二次根式

三、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：二次根式關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

(1)二次根式的概念：形如而(e0)的式子.失分點(diǎn)警示：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的

復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時(shí)，注意確保各部

(2)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于或等于0.

分都有意義，即分母不為0,被開(kāi)方數(shù)大于等

1.有關(guān)概念(3)最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

于0等.例：若代數(shù)式」」一有意義,則X

式(分母中不含根號(hào))；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方Vx-1

的因數(shù)或因式的取值范圍是x>L

(1)雙重非負(fù)性：利用二次根式的雙重非負(fù)性解題：

①被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即介0：(1)值非負(fù):當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，可得

②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即&K).各個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.如JH+Je

2二次根式

=0,則a=J.,b=l，

的性質(zhì)

注意：初中階段學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶幕、算式平(2)被開(kāi)方數(shù)非負(fù):當(dāng)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)同

時(shí)出現(xiàn)在二次根式的被開(kāi)方數(shù)下時(shí)，可得

方根、二次根式.

這一對(duì)相反數(shù)的數(shù)均為0.如己知b=

Ja-1+Jl-a，貝ija=l,b=0.

(2)兩個(gè)重要性質(zhì)：

例：計(jì)算：

廠…r-(a>0)

①(而尸=《(介0)；②亞=回=；AM=3.14：J(-2)2=2；

-a(a<0)

(3)積的算術(shù)平方根：4ab=4a.y/b(a>0,后0)；

@=.=2.、3半二

(4)商的算術(shù)平方根：(壯°，6>0).

知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的運(yùn)算

3二次根式的先將各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開(kāi)方數(shù)相同的二

例：計(jì)算：72-^+732=372.

次根式.

加減法

(1)乘法：Va.\fb=y[ab(6T>0,Z?>0);

注意：將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

4二次根式的

例：計(jì)算：圖|=L等序備

乘除法(2)除法：(”K),b>0).

運(yùn)算時(shí)，注意觀察，有時(shí)運(yùn)用乘法公式

5二次根式的運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的(或先去括號(hào)).

混合運(yùn)算例:計(jì)算：(3+1)(O-1)=1_.

第二單元方程(組)與不等式(組)

第5講一次方程(組)

四、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：方程及其相關(guān)概念關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

(1)性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果

仍是等式.即若。=6,則tz±c=b吐.失分點(diǎn)警示：在等式的兩邊同除以

(2)性質(zhì)2：等式兩邊同乘(或除)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能為0),一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)必須不為0.

1.等式的基

例：判斷正誤.

所得結(jié)果仍是等式.即若。=6,則ac=",-=-(c#0).

本性質(zhì)cc⑴若a=b,則a/c=b/c.(X)

(3)性質(zhì)3：(對(duì)稱(chēng)性)若a=b,則b=a.(2)若a/c=b/c,貝Ua=b.(J)

(4)性質(zhì)4：(傳遞性)若a=b,b=c,則a=c.

(1)一元一次方程：只含有二個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是

2.關(guān)于方程在運(yùn)用一元一次方程的定義解題

1,且等式兩邊都是整式的方程.

時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

的基本概念(2)二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次

數(shù)都是1的整式方程.

例：若(a-2)x""+a=0是關(guān)于x的

(3)二元一次方程組：含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的

一組方程.

一元一次方程，則a的值為。.

(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共

解.

知識(shí)點(diǎn)二：解一元一次方程和二元一次方程組

(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)

項(xiàng)；

失分點(diǎn)警示：方程去分母時(shí)，應(yīng)該

3.解一元一(2)去括號(hào)：括號(hào)外若為負(fù)號(hào)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào)；

將分子用括號(hào)括起來(lái)，然后再去括

(3)移項(xiàng)：移項(xiàng)要變號(hào)；

次方程的步驟號(hào)，防止出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤.

(4)合并同類(lèi)項(xiàng)：把方程化成ax=-b(a/O)；

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.

思路：消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.已知方程組，求相關(guān)代數(shù)式的值

方法：時(shí)，需注意觀察，有時(shí)不需解出方

4.二元一次(1)代入消元法:從一個(gè)方程中求出某一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式，再程組，利用整體思想解決解方程組.

把“它”代入另一個(gè)方程，進(jìn)行求解；例：已知px-y=9則x_y的值為

方程組的解法

(2)加減消元法：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減消去一個(gè)[x-2y=3

未知數(shù)的方法.x-y=4.

知識(shí)點(diǎn)三：一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用

(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；(1)設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般求什么設(shè)什么，

(2)設(shè)未知數(shù)；但有時(shí)為了方便，也可間接設(shè)未知數(shù).如題

5.列方程(組)

(3)列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程(組)；目中涉及到比值，可以設(shè)每一份為X.

解應(yīng)用題的(4)解方程(組)：(2)列方程(組)時(shí)，注意抓住題目中

一般步驟(5)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否正確或是否滿足符合題意；的關(guān)鍵詞語(yǔ)，如共是、等于、大(多)多

(6)作答：規(guī)范作答，注意單位名稱(chēng).少、小(少)多少、幾倍、幾分之幾等.

(1)利潤(rùn)問(wèn)題：售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣，銷(xiāo)售額=售價(jià)X銷(xiāo)量，利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)X

100%.

(2)利息問(wèn)題：利息=本金X利率X期數(shù)，本息和=本金+利息.

6常見(jiàn)題型

(3)工程問(wèn)題：工作量=工作效率X工作時(shí)間.

及關(guān)系式(4)行程問(wèn)題：路程=速度義時(shí)間.①相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及問(wèn)題：a.同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路

程+兩地間距離=追者走的路程.

第6講一元二次方程

五、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程及其解法關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.

1.一元二例：方程""+2=0是關(guān)于x的

(2)一般形式：ax2-\-bx-￥c—0(<#0).其中加、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、

一元二次方程，則方程的根為二L.

次方程的一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，6、c分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)

相關(guān)概念項(xiàng).

(1)直接開(kāi)平方法：形如(x+加)2=〃(〃20)的方程，可直接開(kāi)平方求解一元二次方程時(shí)，注意觀

2一元二

次方程解.察，先特殊后一般，即先考

的解法(2)因式分解法：可化為(辦+用)(反+〃尸0的方程，用因式分解法求解.慮能否用直接開(kāi)平方法和因

(3)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式為x=式分解法，不能用這兩種方

心blacgacNO),法解時(shí)，再用公式法.

2a例：把方程x2+6x+3=0變形

(4)配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，為(x+h)2=k的形式后，h=二

也可以考慮用配方法.3,k=6.

知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

例：方程V+2工-1=0的判別

⑴當(dāng)A=/一4?？?時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

式等于8,故該方程有兩個(gè)不相等

3根的判(2)當(dāng)/=/—4“c：0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

的實(shí)數(shù)根；方程/+2x+3=0

別式

(3)當(dāng)/=〃-4死人時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

的判別式等于二^故該方程沒(méi)直

實(shí)數(shù)根.

(1)基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+c=0(aW0)有兩個(gè)根與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的

分別為XI、M,則X1+X2=2地內(nèi)檢氣②注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條常見(jiàn)變形：

(X|+1)(X+1)=X|x+(x|+X)+1,X|2+X2

*4.根與系件是00.2222

=(X|+X)2-2X]X2,11再+X2等.

(2)解題策略：已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值2+=

數(shù)的關(guān)X[與X{x2

時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有XI+X2、X1X2的式子，再運(yùn)用根與系

系失分點(diǎn)警示

數(shù)的關(guān)系求解.在運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解題時(shí)，注意

前提條件時(shí)Z\=b2~4ac20.

知識(shí)點(diǎn)三：一元二次方程的應(yīng)用

(1)解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一

元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答.

(2)應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題等方面應(yīng)

用.

4.列一元①平均增長(zhǎng)率(降低率)問(wèn)題：公式：b=a(\±x)",a表示基數(shù)，X表運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際

示平均增長(zhǎng)率(降低率)，〃表示變化的次數(shù)，6表示變化〃次后的問(wèn)題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)

二次方

里；數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢

程解應(yīng)

②利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本XI()0%；驗(yàn)根是否有意義.

用題

③傳播、比賽問(wèn)題：

④面積問(wèn)題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形

通過(guò)割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.

第7講分式方程

六、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：分式方程及其解法關(guān)關(guān)鍵鍵點(diǎn)點(diǎn)撥撥及及對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)舉舉例例

例：在下列方程中，①X?+1=0；②

1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.x+y=-4；③」_=》，其中是分式方程的

X—1

是③.

方程兩邊同乘以

最簡(jiǎn)公分母

基本思路：分式方程A整式方程

約去分母12

例：將方程」_+，_=2轉(zhuǎn)化為整式方程

2.解分式方程X—11-X

解法步驟：

可得：1—2=2(x—1).

(1)去分母，將分式方程化為整式方程；

(2)解所得的整式方程；

(3)檢驗(yàn)：把所求得的x的值代入最簡(jiǎn)公分母中，若

最簡(jiǎn)公分母為0,則應(yīng)舍去.

例：若分式方程」-=0有增根，則增根為

3.增根使分式方程中的分母為0的根即為增根.