單自由度系統(tǒng)在一般激勵下的受迫振動

第6講單自由度系統(tǒng)在一般激勵下的受迫振動MechanicalandStructuralVibration6.1周期激勵作用下的受迫振動

6.2任意激勵作用下的受迫振動

6.3響應(yīng)譜

周期振動

展成傅氏級數(shù)一個周期T中的平均值n=1,2,3,……n=1,2,3,……基頻

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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一個周期振動可視為頻率順次為基頻及整倍數(shù)的若干或無數(shù)簡諧振動分量的合成振動過程。

在振動力學中將傅氏展開稱為諧波分析周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。周期函數(shù)的譜線是互相分開的，故稱為離散頻譜。周期振動的諧波分析

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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函數(shù)的頻譜，說明了組成該函數(shù)的簡諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。這種分析振動的方法稱為頻譜分析。由于自變量由時間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實際上是由時間域轉(zhuǎn)入頻率域。這是將周期振動展開為傅里葉級數(shù)的另一個物理意義。周期振動的諧波分析

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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周期振動的諧波分析以無窮級數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項近似表示周期振動。例已知一周期性矩形波如圖所示，試對其作諧波分析。解∶矩形波一個周期內(nèi)函數(shù)F(t)可表示為表示F(t)的波形關(guān)于t軸對稱，故其平均值為零。周期振動的諧波分析

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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n=1，2，3……于是，得F(t)的傅氏級數(shù)F(t)是奇函數(shù)，在它的傅氏級數(shù)中也只含正弦函數(shù)項。在實際的振動計算中，根據(jù)精度要求，級數(shù)均取有限項。F(t)的幅值頻譜如圖所示。周期振動的諧波分析

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜函數(shù)f(t)的傅氏積分公式f(t)的傅氏變換

的傅氏逆變換又稱非周期函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)的值一般是復(fù)數(shù)。連續(xù)頻譜f(t)稱為非周期函數(shù)

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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例試求圖示單個矩形脈沖的頻譜圖形?？汕蟮妙l譜函數(shù)f(t)的傅氏積分為解:f(t)可表示為非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜

6.1周期激勵作用下的受迫振動

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其振幅頻譜頻譜圖傅氏積分和變換，是研究瞬態(tài)振動與隨機振動的重要工具。實際應(yīng)用時，可使用計算機運算或應(yīng)用各種快速傅氏分析儀器(FFT)。非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜

6.1周期激勵作用下的受迫振動

MechanicalandStructuralVibration6.奮1周期望激勵襲作用唐下的解受迫菜振動先對歲周期狠激勵西作諧爹波分獨析，匠將它慶分解唱為一供系列冊不同煙頻率級的簡異諧激務(wù)勵。懲然后鈔，求殼出系膏統(tǒng)對贏各個茅頻率斬的簡服諧激謙勵的稀響應(yīng)久。再雞由線紛性系肚統(tǒng)的哨疊加扒原理曠，將乖每個厘響應(yīng)棄分別秒疊加受，即駱得到勒系統(tǒng)拴對周喇期激淋勵的退響應(yīng)盲。設(shè)粘渡性阻赴尼系乎統(tǒng)受哀到周防期激什振力諧波甘分析挽方法取，得垃到系統(tǒng)夸的運安動微洲分方娃程為周期基頻Me超ch樓an綠ic訪al狠a箏nd扭S爽tr鄰uc耐tu務(wù)ra融l帖Vi蚊br暮at暖io嚴n由疊顆加原者理，范并考浮慮欠絞阻尼習情況另，得尾到系淚統(tǒng)的炭穩(wěn)態(tài)君響應(yīng)6.配1周期也激勵災(zāi)作用南下的帽受迫經(jīng)振動Me注ch粥an境ic沸al希a賤nd然S住tr桶uc蕉tu劉ra五l互Vi趁br傾at州io賊n

例彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(其中)解：老周期英性矩搞形波熟的基賣頻為矩形患波一惱個周磚期內(nèi)掃函數(shù)將矩總形波般分解否為固有頻率

6.害1周期裂激勵參作用芬下的醫(yī)受迫桃振動Me說ch橋an扮ic李al型a辱nd搖S憶tr傾uc址tu梢ra彼l充Vi緞br愚at鐵io貞n可得階穩(wěn)態(tài)觀響應(yīng)將矩參形波低分解接為從頻證譜圖峽中看垂，系信統(tǒng)只余對激夸勵所僻包含店的諧煮波分疲量有且響應(yīng)避。對仁于頻率煉靠近池系統(tǒng)蹦固有患頻率倆的那耍些諧礙波分摔量，建系統(tǒng)亭響應(yīng)神的振牧幅放征大因子境比較錦大，啊在整劈燕個穩(wěn)很態(tài)響餃應(yīng)中店占主捉要成嬌分。畫出響系統(tǒng)饅的響作應(yīng)頻跪譜圖奇數(shù)6.檢1周期角激勵謀作用媽下的乞受迫優(yōu)振動Me皇ch義an位ic池al棚a咐nd查S滿tr沃uc械tu防ra豎l溜Vi傭br腰at何io撇n6.皂2任意澡激勵休作用爬下的炕受迫耕振動物塊數(shù)受到羅沖量繭的作設(shè)用時訪，物凱塊的棟位移遍可忽宇略不古計。盡但物惱塊的速度情卻變咱化明牲顯。灑根據(jù)僻力學江中的片碰撞必理論倡，可佩得物形塊受刑沖量作用驚獲得熊的速陶度設(shè)沖量的大小為作用在單自由度系統(tǒng)中，求響應(yīng)。對作形用時徐間短吸、變字化急鑒劇的伐力常揮用它限的沖衛(wèi)量進惜行描桿述。1.用沖倒量描錢述瞬盞態(tài)作拋用Me梢ch食an遼ic有al鄙a職nd要S容tr侮uc偶tu鈴ra弦l鎮(zhèn)Vi筐br喊at是io汁n

如果取為沖量作用的瞬時等價于對初始條件的響應(yīng)初位跌移初速越度得到絹單自淹由度辯無阻擠尼振塊動系鄭統(tǒng)對介沖量牲的響計應(yīng)如果作用在的時刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的響應(yīng)為6.畜2任意使激勵鐵作用鐘下的撈受迫擠振動Me喇ch嶺an崗ic怨al趁a梁nd震S土tr閘uc揪tu年ra促l仙Vi予br爬at習io彈n同理坐，如靈果在t=飲0時，副沖量晌作用邪在有騾粘性襲阻尼償?shù)奈锩簤K上窄，對冰欠阻島尼的礦情形袖，得歐其響民應(yīng)如果作用在的時刻，則物塊的響應(yīng)為6.搭2任意以激勵維作用姥下的跨受迫斃振動Me筑ch蝴an挺ic境al斃a憲nd澡S阿tr敲uc伏tu不ra鐘l娘Vi淡br附at漠io槽n用(t)函數(shù)蕉表示磚作用席在極津短時辯間內(nèi)自沖擊怖力6.皆2任意再激勵灰作用簡下的無受迫蜻振動表明騾只在遺近旁謠極其顆短暫燭的時返間內(nèi)叮起作渠用，銜其數(shù)礦值為何無限差大。但它搭對時寨間積殼分是旦有限蓄數(shù)1。函數(shù)常的定泥義是從積俘分式束可見皇，如聚果時兔間以仆秒計痕，(t)函數(shù)走的單敬位是1/扒s。用單位吼脈沖(u可ni溉t指im其pu蔽ls獎e)函數(shù)(t)表示沖擊供力沖量表示施加沖量的瞬時Me臨ch霧an季ic蔑al業(yè)a測nd接S贏tr諷uc迫tu致ra水l算Vi憂br澆at歡io怨n如果騎在t=浮0的瞬柴時施寬加沖滲量，蚊則相椅應(yīng)的慎沖擊忙力當，即施加單位沖量時，沖擊力為F是沖察擊力,(t)函數(shù)償又稱率單位唱脈沖延函數(shù)冬，就投是由起此而茶得名詳。單位創(chuàng)脈沖才力作養(yǎng)用于愿單自槳由度緊系統(tǒng)梯時，冬其振兇動微韻分方晨程為6.貨2任意閣激勵仔作用館下的誓受迫抬振動Me竿ch嚼an辨ic撲al虜a既nd洋S帖tr若uc龜tu滾ra門l冰Vi票br盛at禾io斥n單位唱脈沖劑力作筍用于罩單自跟由度牙系統(tǒng)螞時，狹其振攜動微極分方逮程為單位脈沖力作用等價于沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對欠阻尼的情形，根據(jù)悼初始時條件刊可確束定A和。最惡后得厭其響腐應(yīng)6.粱2任意網(wǎng)激勵般作用紀下的呀受迫躬振動Me愿ch辰an魄ic我al瞧a案nd勁S車tr石uc薪tu棚ra福l邪Vi滑br右at凝io駁n為了蠻應(yīng)用汗方便父，單掙位脈叮沖函挺數(shù)的疼響應(yīng)郵用h(t)表示汁。得簡單自由豎度無坡阻尼戲系統(tǒng)葡對單濟位脈辨沖函旁數(shù)的錫響應(yīng)有粘脫性阻蓋尼系久統(tǒng)對筍單位它脈沖修函數(shù)鋒的響譽應(yīng)稱為膝單自繼由度備系統(tǒng)后的時先域響疏應(yīng)函唯數(shù)6.牢2任意畢激勵集作用視下的著受迫沸振動Me妥ch博an糠ic因al賭a兩nd再S王tr建uc破tu蹲ra懲l惰Vi填br憑at打io困nh(t)有以脅下特草性不難鉗發(fā)現(xiàn)h(t)的表贊達式乘包含掛系統(tǒng)放的所竊有的抄動特馬性參核數(shù)，鑰它實欠質(zhì)上朝是系訊統(tǒng)動肝特性餅在時石域的稈一種牙表現(xiàn)及形式邀。h(t)是單刑位脈星沖沖妹量的瘋響應(yīng)長，其君量綱薄為[位移/沖量]。系統(tǒng)響對單時位脈惜沖力閑的響甲應(yīng)6.蝴2任意克激勵拼作用捉下的劃受迫義振動Me灶ch鏡an腫ic師al斤a分nd圍S茄tr聾uc伶tu繳ra非l憑Vi施br角at對io盲n6.斃2任意卷激勵私作用鍬下的瞇受迫孤振動作用嘗有一濕任意泳激振絕力F(t)欠阻笨尼情優(yōu)形物驕塊的罩運動叉微分述方程將激悔振力躍看作把是一綠系列欲元沖安量的漢疊加元沖量為得到陷系統(tǒng)磁的響院應(yīng)Me茄ch簽an低ic歇al比a敗nd冒S煩tr尿uc南tu婦ra細l遠Vi恒br掏at拳io坡n由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)等于系統(tǒng)在時間區(qū)間內(nèi)各個元沖量的總和，即得到疫系統(tǒng)綠的響黃應(yīng)6.醋2任意既激勵苦作用綢下的預(yù)受迫銜振動Me湖ch味an皮ic糧al鉤a闊nd稱S排tr抽uc初tu請ra累l粒Vi綱br喜at赤io帖n上式非的積天分形宮式稱忘為卷疾積。死因此贈，線部性系閥統(tǒng)對炎任意補激振銹力的生響應(yīng)耕等于握激勵腳與單玻位脈外沖響株應(yīng)函國數(shù)的委卷積稠。這避個結(jié)飲論稱菜為博氏雷爾(B坐or翅el夏)定理老，也柱稱杜包哈梅(D茶uh睬am祝el動)積分閉。對無級阻尼賄的振爭動系淡統(tǒng)，灣得到字任意敬激振殃力的直響應(yīng)用單哄位脈錦沖函嗚數(shù)響噸應(yīng)表脹示，帳得到渡單自聚由度倒系統(tǒng)章對任嘆意激描振力崗響應(yīng)靜的統(tǒng)急一表趣達式6.偽2任意臟激勵極作用胞下的括受迫梨振動Me纏ch恩an膜ic樓al礦a宋nd者S襖tr慕uc李tu有ra盞l包Vi褲br帽at旗io悲n系統(tǒng)抄有初萌始位枝移和鳥初始脅速度遺，則雞系統(tǒng)惕對任松意激讀振力贈的響耕應(yīng)為對于帽無阻嘩尼振棄動系裁統(tǒng)的爭響應(yīng)毫為t＞t1即激婆振力室停止巨作用堪后，狠物塊俯的運撿動稱恨為剩乎余運璃動。以為初始條件的運動6.籃2任意蔽激勵哄作用樣下的火受迫倚振動Me價ch蠻an泄ic熊al阿a窮nd梯S冬tr臺uc舞tu喜ra機l固Vi宜br聽at俯io趕n例果無茅阻尼稼彈簧貞質(zhì)量域系統(tǒng)還受到蝴突加相常力F0的作土用，構(gòu)試求費其響目應(yīng)。積分般后得攏響應(yīng)蘿為代入在突獅加的剛常力英作用誼下，灣物塊淘的運孤動仍作是簡厘諧運沙動，貼只是欲其振對動中藏心沿腫力F0的方掘向移雕動一隔距離解：取開始加力的瞬時為t=0，受階躍函數(shù)載荷的圖形如圖所示。設(shè)物塊處于平衡位置，且。也是抬彈簧墊產(chǎn)生葉的靜泳變形傲。6.飾2任意叼激勵絡(luò)作用避下的后受迫陸振動Me第ch夏an恭ic淚al垃a嶼nd允S惡tr防uc稀tu敢ra蹦l獻Vi虛br勺at啞io快n若階漫躍力待從t=a開始鉆作用崇，則悲系統(tǒng)遵的響灰應(yīng)為t＜a6.令2任意喂激勵險作用坑下的飄受迫械振動Me布ch嗽an限ic飲al仍a夾nd病S濱tr吃uc初tu舉ra轉(zhuǎn)l絮Vi手br我at虧io予n解：在階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯然與上例的相同，即例2-錫10無阻招尼彈騾簧質(zhì)分量系懼統(tǒng)，概受到尺矩形剃脈沖作用駐，試稠求其潔響應(yīng)葛。當t＞t1時，F(xiàn)(t)綱=蜻0，得6.互2任意事激勵嶺作用今下的息受迫摟振動Me鋪ch避an櫻ic斜al員a含nd箭S熔tr撿uc戶tu尊ra厚l講Vi臺br天at卸io始n系統(tǒng)煎的響童應(yīng)為t＞t1實際上，在t＞t1階段，物塊是以t=t1的位移x1和速度為初始條件作自由振動。因此，其響應(yīng)也可用下面的方法求得。

將初濕始條焦件6.賴2任意予激勵鏡作用儉下的仗受迫恐振動Me抱ch蛇an咳ic黃al底a畏nd代S瞇tr川uc短tu篩ra應(yīng)l吳Vi診br途at并io勤n6.紗2任意孩激勵號作用喪下的慕受迫把振動作為概研究咱線性疊振動杠系統(tǒng)娛的工咱具，拉普答拉斯艇變換方法質(zhì)有廣泛的克用途六。它飯是求丹解線世性微陸分方與程，捉特別烤是常喜系數(shù)伴的線降性微分方凡程的辟有效綢工具誦。用騙拉氏啄變換捆可簡進單地丙寫出貫激勵逼與響圣應(yīng)間的代狗數(shù)關(guān)咐系?，F(xiàn)在撿說明傾如何萍用拉濤氏變零換方稼法求然解單蠻自由爬度具予有粘椅性欠阻尼送系統(tǒng)宵對任繞意激也勵的它響應(yīng)箭。由蟻物塊帝的運郊動微普分方預(yù)程其中f(t)表示更任意秩激振敵力。餐并設(shè)t=倆0時，對式批兩端筍各項霞作拉匙氏變莊換Me疫ch載an據(jù)ic書al僅a紐奉nd龜S競tr戀uc慨tu播ra煙l望Vi法br琴at傲io嗓n如不丈計運處動的縣初始麻條件星，即好令耕，則跑寫成傳遞函數(shù)

在拉平氏域輔中，證系統(tǒng)幸的響驗應(yīng)是蠅系統(tǒng)跌的傳響遞函宜數(shù)和盈激勵芝的乘梅積。6.殺2任意疏激勵喘作用襪下的榮受迫枕振動Me恢ch滲an友ic森al授a壺nd脫S縣tr枕uc坊tu封ra眠l左Vi沙br筑at知io四n對式憑兩端續(xù)各項粗作拉陶氏變總換經(jīng)整圖理得是系彩統(tǒng)的奴響應(yīng)堡在拉置氏域戒中的鵝表達債式6.次2任意拐激勵閘作用龍下的傲受迫靠振動Me映ch押an住ic厘al嚷a趨nd胃S衰tr持uc壓tu億ra指l上Vi例br輛at鋼io芒n例告具綢有粘耗性欠菌阻尼晉的系哭統(tǒng)，證受到墻階躍湯力F(t)耽=F0的作律用，次且t=復(fù)0時，臥，試脹用拉要氏變熄換方杰法求吐系統(tǒng)悼的響該應(yīng)。解：凡系撞統(tǒng)的掀傳遞啦函數(shù)涂由式際求出階躍壘力的巾拉氏墻變換梅為響應(yīng)租的拉子氏變輸換為引入較記號上式欲寫成例框題6.閑2任意址激勵逗作用拜下的鐘受迫煎振動Me拉ch喪an檔ic桶al炮a梅nd攏S象tr蒸uc柜tu翠ra商l衣Vi潔br纏at些io永n其中罷系數(shù)派可由冤部分微分式唇方法引確定最后絡(luò)得到對上沾式作腿拉氏廟逆變諸換，綱即得京響應(yīng)例并題6.斑2任意污激勵現(xiàn)作用后下的姓受迫黎振動Me絹ch詠an售ic裳al鉛a耍nd剝S兵tr意uc血tu際ra岸l賞Vi勺br斃at菊io搞n例債題系統(tǒng)銅基礎(chǔ)撲有階盆躍加俱速度派，韻初始屬條件貫為秘，求謠質(zhì)量m的相用對位揭移。解：喘由牛副頓定中律，剛可得糟系統(tǒng)少的微射分方準程為系統(tǒng)申的激究振力石為可得稱響應(yīng)罵為其中6.貪2任意各激勵突作用晶下的嫁受迫邁振動Me過ch降an炕ic憐al估a被nd份S是tr舞uc恩tu離ra川l醒Vi蒜br盤at亮io癥n例愿題解：卷由上果題可短得系順統(tǒng)的要微分匙方程左為基礎(chǔ)有階躍位移系統(tǒng)的激振力為可得古響應(yīng)以為上題織中，咱若基遷礎(chǔ)有對階躍緞位移掀，求添零初息始條濃件下末的絕吳對位弓移。6.刊2任意丘激勵豪作用濁下的耀受迫葵振動Me遺ch荷an淘ic臟al如a莊nd隨S李tr她uc酒tu忽ra浙l鹽Vi孤br棄at咳io想n例言題求系裂統(tǒng)響勉應(yīng)。解：劉由圖冬得激們振力塵方程驕為當0<t<t1時，當t>t1時，零初哪始條舊件的哭無阻牌尼系廈統(tǒng)受陵圖的拼半正留弦脈始沖作恒用，謝若6.燙2任意張激勵點作用圣下的呆受迫尋振動Me球ch仇an溝ic娃al雄a任nd師S飾tr興uc澇tu離ra炕l徒Vi度br改at宣io巧n例風題無阻阻尼系董統(tǒng)的艘支承描運動屠加速序度如艇圖，往求零渠初始撐條件茫下系鹽統(tǒng)的史相對焰位移健。解：系統(tǒng)運動的微分方程為

支承運動加速度方程為當0<t<t1時，當t>t1時，6.哪2任意水激勵陳作用得下的欣受迫體振動Me已ch吩an制ic礦al秒a佩nd連S拒tr拐uc疲tu嘉ra激l恒Vi胞br容at粥io霞n響應(yīng)愉譜是偏系統(tǒng)割在給概定激痛勵下賣的最大蠟響應(yīng)丹值與竿系統(tǒng)夏或激朝勵的某掩一參還數(shù)之射間的疏關(guān)系懷曲線靠圖。最大預(yù)響應(yīng)康值可以庸是系色統(tǒng)的最決大位刑移、少最大鋸加速純度、斧最大短應(yīng)力舞或出鈴現(xiàn)最隊大值田的時刻等巡壽；參數(shù)可以糾選擇招為系句統(tǒng)的礎(chǔ)固有寶頻率?；蚣け妱畹墓肿饔煤饡r間等儲。響應(yīng)滑譜中潑有關(guān)嫁的量包都化幟為無抹量綱喚的參皮數(shù)表訓示。響應(yīng)進譜在櫻工程英實際稠中是薄很重瘋要的縣，它欲揭示孩出最遵大值轎