第20講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題（解析版）

第20講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.(2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測)定義在(1，^)上的函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且

(x-l)r(x)-/(x)>x2-2x對任意xG(1,+8)恒成立.若/(2)=3,則不等式/(x)>f-x+1的解集為

()

A.(1,2)B.(2,+oo)

C.(1,3)D.(3,+00)

【答案】B

【解析】由(X-1)/'(X)-/(X)>X2-2X,即(》-1)/'(工)-/(幻+1>(%-1)2,

即(.1)./丁；(小)-1)_1>0即j313/>0對xc亙成立，

(D11J

令g(x)=/"1-x,則g(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增，

x-1

V/(2)=3,Ag(2)=0,

由f(x)>x2-x+l,即0,即g(x)>g⑵,

x-\

因為g(x)在。,+oo)上單調(diào)遞增，.?.x>2

故選：B.

2.(2022?遼寧?鞍山一中模擬預(yù)測)已知a>0且a*l,若任意xNl,不等式笛-In%之±均恒成立，則

ex'x"

”的取值范圍為()

A.[e,+oo)B.[l,e]

C.[e,e2]D.

【答案】A

【解析】由題設(shè)，2av-e(lnax)2>e,令f=lna",則2尸-/-12:0恒成立,

令=—則/⑺=2(e~T),/⑺=2(產(chǎn),一1),

當(dāng)t<l時1r⑺<0,/'(，)遞減;當(dāng)，>1時/⑺>0，/⑴遞增;

所以廣⑺⑴=0,故/(，)遞增，

當(dāng)0<”1,即fe(0,lna］時,/(?)</(lna)=--(lna)2-l<0,不合題意;

e

當(dāng)〃>1,即時，要使/??)20恒成立,則/(lna)=2-(lna)2-120恒成立，

e

人/、2。八、2?「「I,/、JneIn。、、2(lna-l)

令g(a)=----(ln“)--l且。>1,則g(a)=2(---------),gf(fa/)=--------,

eeaa

當(dāng)Ivave時g〃(a)<0,g'(“)遞減；當(dāng)〃>e時g〃⑷>0,g'(a)遞增；

所以g'(a)Ng'(e)=0,故g(a)在。,+oo)上遞增，而g(e)=2-l-l=0,

此時〃>e時g(a)20,即/(Ina)20恒成立.

綜上，。的取值范圍為［e,+8).

故選:A

3.(2022?重慶八中模擬預(yù)測)已知函"x)=e'+Hnx—/一耳。>。)，(e為自然對數(shù)底數(shù)，

e=2.71828……),若〃x)20對Vxe(l,+8)成立，則實數(shù)a的最大值為()

A.-B.1C.eD.e1

e

【答案】C

【解析】解：因為xe(l,+oo),〃x)zo恒成立，即e*+41nx-x"-xNO，

所以,lnxa-xa>lnev-e'>

故令加(f)=lnr-f,t>\,叫-1=彳晨0在(l,+<?)上恒成立，

所以，〃?(。在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，

X

所以x"We',兩邊取對數(shù)得alnxWx,x>\,BPa<--,

Inx

1己9(x)=高(》>1),則/(x)=l；；

所以，當(dāng)x?l,e),^'(x)<0,3(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x?e,+oo)時,*'(x)>0,3(x)單調(diào)遞增,

所以,e(x)的最小值是*(e)=e,故a4e,

所以，實數(shù)。的最大值是e.

故選：C

4.(2022?遼寧沈陽?三模)已知函數(shù)g(x)=e、-Inx-%的圖象恒在f(x)=(e"-l)x的圖象的上方，則實數(shù)

，"的取值范圍是()

A.(—co,1)B.(-oo,e-1)C.(0,1)D.(0,e—1)

【答案】A

rar

【解析】由題意可得(e-l)x<e-lnx-/M,

故x-e"'+m+\nx<e+x，即em+tox+加+Inx<e'+x

令&)=e*+x,則。(x)=e'+x單調(diào)遞增，原不等式可化為。(m+lnx)<0(x),

所以zn+lnxvx,即〃2Vx—Inx,令/?(x)=x—In],

1x—1

則〃(x)=l--=——,當(dāng)o<xvl時,h'(x)<0,當(dāng)1<X時，/(x)>0,

XX

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)上遞減,在(1,物)上遞增,故心)mi⑴=1,

所以膽<1.

故選：A

5.(2022?江蘇揚州?模擬預(yù)測)已知。為正整數(shù)，若對任意工?0,物)，不等式alar4x+l成立，則。的最

大值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因為alnx-x-l40對Vxe(0,+o))恒成立，/(x)=fllnx-x-l,/,(x)=--1,

當(dāng)"0時，f(x)在(0,+8)匕單調(diào)遞減，xf0時，”力-2,不滿足題意；

當(dāng)。=0時，f(x)=-x-l<0恒成立；

當(dāng)a>0時，f'(x)=0=>x=a,所以,f(x)在(0,a)上遞增，在卜/,的)上遞減，

/(初啊=.f(4)=Hna-a-140,設(shè)g(x)=xlnx-x-1,g,(x)=lnx,所以g(x)在(0,1)上遞減，在

上遞增，8(彳)2”=g(l)=-2,,而。=2,21112-340成立，“=3,31n3-4<0成立，a=4,41n4-5,

,?"mux=3.

故選：B.

6.(2022?江蘇?模擬預(yù)測)已知。>。>0且a<b+ln：成立，則()

b

A.a<\B.a>\C.O<Z?<1D.a>b>\

【答案】C

【解I斤】彳衣題意，a>b>0,a<b+\n-,a-b<}na-\nb,a-]na<b-\nb,

b

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xTnx(x>0)J(x)=l」=^~,

所以/(%)在區(qū)間(0,1),/(力<0,〃力遞減;在區(qū)間(l,+8)J'(x)>0,〃x)遞增.

若則〃a-\na>b-]nb,不符合題意.

若lNa>b>0,則/(a)v/(b),a-lna<b-lnb,符合題意,

若a>l>b>0,此時對任意〃￡(。,1),〃力=/(力)有兩個不同的實數(shù)根4%,

則存在/>a>l>b>0,使且a</?+lnq”成立.

b

對任意。?1+8),/(x)=/(a)有兩個不同的實數(shù)根〃,王，

則存在0<匕<*<1<〃，使“?！等?gt;0且。+成立.

h

綜上所述，Ovbvl.

故選：C

7.(2022?遼寧?建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=e=/(O)x,若存在實數(shù)與使不等式

V2

2。一1一半2/(修)成立，則〃的取值范圍為()

A.[1,-Ko)B.(-oo,3]C.(-00,2]D.[0,

【答案】A

【解析】令x=0得40)=1,???/a)=e-x,

22

將2a-1-梟/(%)化簡得會,

2

令g(x)=e*-x+',則g[x)=e*-1+x,令〃(x)=g'(x)=e*-l+x,

???”(x)=e，+1>0,g'(x)為增函數(shù),

當(dāng)x>0時，g'(x)>g'(O)=O,g(尤)為增函數(shù),g(x)>g(O)=l；

當(dāng)x<0時，g，(x)<g，(O)=O,g(x)為減函數(shù),g(x)>g(O)=l：

因此g(x)最小值為1,從而24-121,BPa>l.

故選：A.

8.(2022?浙江紹興?高三期末)已知關(guān)于x的不等式ae、+xlnaN2xlnx恒成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù),

aeR+,則()

A.”既有最小值，也有最大值B.〃有最小值，沒有最大值

C.。有最大值，沒有最小值D.。既沒有最小值，也沒有最大值

【答案】B

【解析】ae'+xlna22xlnx變形為：e"+lnH+x(x+ln?)>eln/+xlnx2,令g(f)=e'+k(x>0)則上式可

化為：^(x+lna)>^(lnx2),其中g(shù)'(r)=e'+x>0,所以g(f)=e'+*(x>0)單調(diào)遞增，故

x+lna>21nx.即InaN21nx—x,令=21nx-x(x>0),則〃'(x)=—1=---?,當(dāng)0<x<2時，

//(x)>0,當(dāng)x>2時，//(x)<0,所以〃(x)在x=2處取得極大值，也是最大值，故

〃(x)a="2)=21n2—2,所以Ina221n2-2，解得：?>e2ln2-2,綜上：°有最小值，無最大值?

故選：B

9.(多選)(2022?廣東?模擬預(yù)測)已知/。)=(，"1戶1-9\若不等式/1rLl在(1,3)上

恒成立，則。的值可以為()

A.-72B.-1C.ID.y[2

【答案】AD

【解析】設(shè)y=x-l-lnMx>D,則y'=l」>0,

X

所以>=不一1-山工在(1,+00)上單調(diào)遞增，所以x-l-lnx>0,

所以lnx<x-l,x￡(l,+oo),/.0<lnx<x-l,

又/在(1'收)上恒成立，

所以fM在(1,行)上單調(diào)遞增，

所以f'(X)=(/-1)e--X20對Vx€(1,"0)恒成立,即“2一晚W恒成立.

令g(x)=$，g'(x)=T，當(dāng)X>1時，g'(x)<0,故g(x)<g⑴=1，

ee

??a2-\>\y解得a>V2或a《-41，

所以a的值可以為-0,五，

故選：AD.

10.(多選)(2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測)若存在正實數(shù)x,y,使得等式4x+a(y-3e2x)(lny-Inx)=0

成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則。的取值可能是()

A.—B.—C.fD.2

eee"

【答案】ACD

【解析】解：由題意，。不等于0,由4x+Q(y-3e2x)(l”-lnx)=0,得4+ag-3e2)ln2=0,

XX

令f=)(，>0),則-3=/lnf-Be?In/,

xa

Q2

設(shè)g(t)=fInf-Be?Int,則g(r)=l+lnr-—，

因為函數(shù)g'。)在Q”)上單詞遞增，旦g'(e2)=0,

所以當(dāng)0<r<e2時，g'⑺<0,當(dāng)f>e2時，g'⑺>0,

則g⑺在(0,)上單調(diào)遞減，在?,+co)上單調(diào)遞增，

從而gQ)min=g(e?)=-4e2,

即——>-4e2,解得4或a<0.

ae-

故ae(-oo,0)u

故選：ACD.

11.(2022?湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式2ln(x+1)-a(x+3)-2x+a(e'+2)>0在xe(0,+8)

上恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】［2,+8)

【解析】不等式2111*+1)—〃(穴+3)—2犬+〃(?'+2)>0可化為：6/e'-2x>iz(x+l)-21n(x+l),即

6/e'-21neA>6t(x+l)-21n(x+l).

id/(x)=e'-l-x,(x>0).

因為r(x)=e*-l,所以當(dāng)x>0時，Z(x)>0,所以/(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x>0時,

/(x)>/(O)=O,即e、>l+x.

記尸(力=以一21nx,(x>l),則尸(e，)>F(x+l).

因為e*>l+x,所以只需廠(x)=ox-21nx在(l,+oo)上遞增，

2

所以F，(x)=a號0,

2

只需。上恒成立.

因為y=4在單調(diào)遞減，所以當(dāng)X71+時，yf2最大,

所以“22.

即實數(shù)。的取值范圍為［2,住).

故答案為：［2,一8).

12.(2022?江蘇?南京師大附中模擬預(yù)測)己知/(力:/5.設(shè)實數(shù)相>o,若對任意的正實數(shù)x,不等式

/卜所”當(dāng)卜亙成立，則機的最小值為.

【答案】-

e

【解析】因為/'(X)=2023/32之0僅在X=0時取等號,

故/(了卜％2023為R上的單調(diào)遞增函數(shù),

故由設(shè)實數(shù)m>0,對任意的正實數(shù)x,不等式f(e"")2f(等)恒成立,

可得小>0,*2則,口>0)恒成立，

fne,,K>lnx,即tnxe^>xliu=e,nv-Inx恒成立,

ntt

當(dāng)Ovxvl時，m>Q1/nre2穴山二鎮(zhèn)”?lrir恒成立,

當(dāng)時,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xe、,g'(x)=e*+xe*=(x+l)e、>0恒成立,

...當(dāng)N時,g(x)遞增，則不等式e"“2則恒成立等價于g(e)>g(lnx)恒成立,

m

即妙Nlnx恒成立，故需加>（一）2，

x

設(shè)G（x）=則，.?.G,（x）=4,

XV

???G（x）在[1,e）上遞增，在[e,+e）遞減,

???G（x）3=G（e）=L故加的最小值為1,

ee

故答案為：-

e

13.（2022?湖北?大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式e"i+a>aln（or-勿）（。>0）恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍為.

【答案】（。，金）

【解析】易知。>0,將原不等式變形：e'>a]n（ax-2a）-a（a>0）,

e*2>g[ln（ar-2a）-/〃e],可得（x—2）e"2~—ln^^—,

即（x-2）eA2>ln（^^）e'n用，其中x>2.

設(shè)力⑺=/，則”（x）=Q+l）e',原不等式等價于〃（x-2）>/?（ln（矢網(wǎng)，

當(dāng)In（竺三）<0時，原不等式顯然成立；

當(dāng)In（竺7》0時，因為人⑺在[0,竹））上遞增，

_.（ax-2aye'T一八一

/.x-2>ln---------=>〃<--^恒成“，

VeJx-2

設(shè)3（x）=M，則夕'（%）="亓產(chǎn)，所以程（力在（2,3）遞減,（3,內(nèi)）遞增，

所以9（力的最小值為9（3）=e2,故o<a<e2.

故答案為：（0,建）

14.（2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=e*+alnx-x"-x（a>。），（e為自然對

數(shù)的底數(shù)，e=2.71828..當(dāng)a=2時，函數(shù)〃x）在點尸（1J⑴）處的切線方程為；若

/(x)20對Vxe(l,+8))成立，則實數(shù)。的最大值為.

【答案】y=(e-l)x-le

7

v2x

【解析】由題意當(dāng)4=2時，/(x)=e+21nx-x-x,f(x)=e+--2x-lf

則f(l)=e-2,r(l)=e-l,

所以函數(shù)/(%)在點P(l"。))處的切線方程為V—(e-2)=(e-l)(x—1),即

y=(e-l)x-l.

因為X￡(l,+oo),/(x)之。，即e，+〃lnx-x“一xNO,則Inx"—x"2Ine"—e',

令47?)=ln，-/,/>1,加(，)=；-1=vO在(l,+oo)上恒成立，

故m(f)在上單調(diào)遞減，故x"Ke"得alnx<x,即。K,

記O(x)="(x>l),則吠(力="1)，

mxIn'xI

當(dāng)xe(l,e)時，夕,(x)<0,s(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(e,+oo)時，9'(x)>0,夕⑺單調(diào)遞增，故°(x)的最小

值是9(e)=e,故a4e,即實數(shù)。的最大值是e.

故答案為：y=(e-l)x-1；e.

15.(2022?遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=x-alnx,(aeR)

⑴請討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性

(2)當(dāng)xe，,+8)時，若e'2((ln(lnx+x+l)+l)恒成立，求實數(shù)2的取值范圍

【解】(1)/。)=1-3=二。>0)

XX

當(dāng)“V0時，f(x)>0,/*)在(0,田)上遞增

當(dāng)a>0時，在(0,4)上f(幻<0,單調(diào)遞減

在(a,+oo)上f(x)>o,f(x)單調(diào)遞增

(2)原式等價于xe*=6""*2〃ln(lnx+x+l)+l)

,,「1、

設(shè)LZ=lnx+x,XG一,+8

由(1)當(dāng)a=-l時，/(x)=lnx+x為增函數(shù)，.-.ref--1,+oo),

e

??.等式等價于一2〃111。+1)+1),北，一1,+8)恒成立，

1I1e1

時’"‘>0成立’，叱T”時，花1^71

設(shè)g?)=

111(^4-1)4-1

S(ln(r+1)+1)-e(L)ln(r+1)+1-----

g(t)=------------------=e'---------------，

(ln(r+l)+l)2(ln(r+l)+l)2

設(shè)h(t)=In。+1)+1———,

r+1

檢)=」7+^^>0所以Mf)在d-L+oo)上為增函數(shù)，

t+1(t+1)e

又因為"(0)=0,所以在d-1,0)匕力⑺<0,..g?)<0,g⑺為減函數(shù),

在(0,+8)上,〃⑺>0,g(f)>o,g(f)為增函數(shù),

，gQ)min=g(0)=l>A<1.

16.(2022?山東臨沂?三模)已知函數(shù)/(刈="」，其圖象在X=e處的切線過點(2e,2e?).

Inx

⑴求。的值；

(2)討論〃x)的單調(diào)性；

(3)若彳>0,關(guān)于x的不等式九儀》)402b-1在區(qū)間[1,內(nèi))上恒成立，求人的取值范圍.

【解】⑴解：因為函數(shù)〃工)="二1

Inx

/、、2ctx\nx-(ax2-1]—

所以/(e)=ae--l,f(x\^________________LL.

0時

則r(e)=ae+：,

所以函在X=e處的切線方程為y-(ae2—l)=(ae+：J(x-e),

又因為切線過點(2e,2e)

所以2e2-(〃e2-1)=(ae+—)(2e-e),

BP2?e2=2e2,解得a=l;

x2_i、2x2lnx-x2+1

⑵由⑴知；“小大^則"枷力2，

令g(x)=2x2Inx—/+1,則g，(x)=4xlnx,

當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,當(dāng)x>l時，g'(x)>0,

所以g(x)>g⑴=0

即當(dāng)o<x<i時，r(x)>o,當(dāng)x>i時，r(x)>。，

所以〃X)在(0,1)上遞增，在(l,y)上遞增；

(3)因為X的不等式AV(x)<e2Zx-1在區(qū)間u,+o))上恒成立，

所以匚二12口在區(qū)間［1,行)上恒成立，

即/(的”“X)在區(qū)間口,+8)上恒成立，

因為“X)在(1,+=?)上遞增，

所以e"2x在區(qū)間U,也)上恒成立，

即2士也在區(qū)間口,物)上恒成立，

X

令/7(X)=(,則“5)=號它，

當(dāng)0<x<e時，〃'(x)>0,當(dāng)x>e時，〃(x)<0,

所以當(dāng)x=e時，人(力取得最大值/z(e)=g,

所以八L

e

17.(一題多解)(2022?海南中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=xe*-ax-alnx.

⑴若”,求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)〃，使了(力21對xe(O,+a>)恒成立，若存在，求出。的值或取值范圍；若不存在，請說

明理由.

【解】(1)因為f(x)=xe*-公-alnx,

所以r(x)=(x+l)e*_a_￡(x>0),

即r(x)=.(xe*-a).

當(dāng)a=e時，r(x)=W^(xe，-e),

令g(x)=xe*—e,貝i|g<x)=(x+l)e'>0,

所以g(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，因為g⑴=0,

所以，當(dāng)0cxe1時，g(x)<0,7,(x)<0；當(dāng)x>l時,g(x)>0,/(x)>0,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1,心).

(2)法一：設(shè)尸(x)=Ae"-a(x+lnx)—1,則6(%)=^^(代”一”)，

①當(dāng)〃=0時，尸(力=把'-1,嗚)=等-1<0,即/(撲1,

故a=0不符合題意.

②當(dāng)4<0時，

當(dāng)xw(0,l)時，F(xiàn)(x)=xeA-tz(x4-lnx)-l<e-tz-6dnx-l.?

令e-a-alnx-lKO,即lnx<---,

a

取司=6千e(o/)，則e_a_〃lnX|_l=O,即尸(不)<0,/(^)<1.

故〃<0不符合題意.

③當(dāng)a>0時，令〃(x)=xe*-a,xe[0,+oo),則〃(x)=(x+l)e*>0,

故"x)在[0,y)單調(diào)遞增.

因為/?(0)=-a<0,/?(a)=aeu-a=a(efl-l)>0,

所以存在唯一的不?0,a)使得〃(與)=°，

所以，xw(0,3)時,A(x)<0,F,(x)<0；XG(為,+oo)時,/i(x)>0,F,(x)>0,

故f(x)在(0,%)單調(diào)遞減，在(%，一)單調(diào)遞增.

所以尸(x)的最小值為F(與)=玉e&-a&+ln與)-1,

因為/7(為)=0，即％e"=a,兩邊取對數(shù)得/+In/=Ina,

所以尸（玉，，二七片與-a^x^+\nx^）-\=a-a\x\a-\,

令G(x)=x-xlnx-1,則Gz(x)=-lnx,

所以G(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(I,”)單調(diào)遞減，

故G(x)WG(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立，

故當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時，/(x)NO在(0,+功恒成立，

綜上，存在4符合題意，a=\.

法二：F(x)=xer-<7(x+lnx)-l,貝ijF'(x)=>0),

設(shè)Mx)=xe”-〃(xN0),易知力(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，

①當(dāng)”=1時，因為6(；［=曰-l<0,/2(l)=e-l>0,

所以存在唯一玉>e(g』)，使得玉/-1=0,即/e&=l,x°+lnXo=O.

所以當(dāng)xe(O,x0),〃(x)<。，即尸'(“<0,尸(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(/,+oo),/i(x)>0,即k(x)>0,二(x)單調(diào)遞增.

故尸(x)2尸小)=0,B|J/(x)>l,符合題意.

②當(dāng)”>1時，/?(不))=入用"一a=l-a<0,〃(a)=ae"-a>0,

所以存在唯-XieGoM),使得〃(百)=。，

所以當(dāng)xw(%0),/z(x)<0,g［JF(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,

故尸(再)<尸伉)=0,即故。>1不符合題意.

③當(dāng)0<。<1時，/?($)=為e"1b—。=1—a>0,〃(0)=—。<0,

所以存在唯-wee，%),使得力(工2)=。，

所以當(dāng)X?孫飛),/z(x)>0,即尸(x)>0.

所以〃x)在(%,所)單調(diào)遞增,故網(wǎng)毛)〈尸(%)=0,即

故0<“<1不符合題意.

④當(dāng)4=0時，=不符合題意.

,<?_4一|、1

⑤當(dāng)。<0時，fe丁<e-a-a?=二=1,不符合題意.

I)a

綜上，存在。符合題意，a=l.

法三：①當(dāng)“V0時，尸(x)=?(xe'-a)>0,故〃x)在(0,+勿)上單調(diào)遞增.

因為f(x)=x+lnx在(0,+巧單調(diào)遞增，且=r(l)=l>0,

故存在唯一與,使得，(毛)=0,即/+lnXo=O,

即/e'。=1,故/(%)=七片"-a(%+lnx())=l,

所以任意xe(O,$),都有f(x)</>(%)=1.

故“V0不符合題意.

②當(dāng)“=1時，/(x)=xex-(x+lnx)=ev+lnx-(x+lnx),

對于函數(shù)/?(x)=e*-x-l,/f(x)=ev-l.

所以x<0時，廳(x)<0；x>0時，〃'(x)>0.

所以/?(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+巧單調(diào)遞增，

故人(x)N/j(O)=O,所以e*2x+l,

故/(x)2x+lnx+l-(x+lnx)=l,故a=l符合題意.

③當(dāng)a>0且awl時，對于函數(shù)9(力=%+111光一1114,

因為>(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，且e(a)=a>0,=

所以存在玉,使得再+lnX|=lna,gpx.e'1=a,

所以=與9—a(X1+lnxj_]=q_alna_1.

令G(r)=f-Hnr-1,則G'(f)=-lnf,

故G(r)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))單調(diào)遞減.

故G(r)WG(l)=O,當(dāng)且僅當(dāng)，=1時，“=”成立.

所以當(dāng)ae(O,l)U(l,+?0時，a-a\na-\<0,即/(不)-1<0,/(不)<1,

故ae(O,l)U(l,~)不符合題意.

綜上，存在a符合題意，a=l.

法四：設(shè)〃(x)=x+lnx,易知/z(x)在(O,+R)單調(diào)遞增.又當(dāng)xe(O,l)時,x+lnx<l+lnx,所

以y=x+lnx(xe(O,l))的值域為(一oo,l)；

當(dāng)xe[1,+<?)時，y=x+Inx(xe[l,4w))的值域為[1,+co).

所以〃(x)=x+lnx的值域為R.

故對于R上任意一個值％,都有唯一的一個正數(shù)%,使得%=%+皿％.

因為xe*-ar-alnx-1>0>即et+ll,x-a(x+lnx)—1>0.

設(shè)尸(f)=e'—〃—1,reR,所以要使e*+M-a(x+lnx)—120,只需打人山20.

當(dāng)aVO時，因為F(T)=』+a-l<0,即/(一1)<1,所以“M0不符合題意.

e

當(dāng)a>0時，當(dāng)f?-oo,lna)時，F(xiàn),(r)=e/-tz<0,尸⑺在(9,Ina)單調(diào)遞減；

當(dāng)Z￡(Ina,4oo)時，產(chǎn)'(7)=e'-4>0,F(r)在(ina,+oo)單調(diào)遞增.

所以F(f)iiin=F(\nci)=a-a\na-\.

設(shè)m(Q)=a-alna-l,6fG(0,-BX)),

則加(〃)=—Ina,當(dāng)QE(O,1)時，加⑷>0,加(。)在(0,1)單調(diào)遞增；

當(dāng)ae(1,+oo)時,加(。)<0,m[a)在(1,+oo)單調(diào)遞減.

所以M<Lx=Ml)=。，所以優(yōu)(〃)40，尸(“而/°，當(dāng)且僅當(dāng)。=1時，等號成立.

又因為尸(，)之0,所以尸(我而=0,所以a=l.

綜上，存在。符合題意，々=1.

【素養(yǎng)提升】

1.(2022?廣東廣州?三模)對于任意x>0都有r-oxlnxNO,則a的取值范圍為()

rI「」一

A.[0,e]B.-ee,e

(

C.Y0,-eeu[e,+oo)D.(^?,e]

【答案】B

【解析】xx-axlnx>0=>exlnjr-arlnx>0,令，=/(x)=xlnx,

則/'(x)=lnx+l,所以/(x)在(0,口上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞減，

所以/(》)4/1)=」1/=_工，所以/=f(x)2：_L

所以Tv-adnx20轉(zhuǎn)化為：e'-m20，令g(/)=e'-ar,g'(r)=e'-a,

①當(dāng)“VO時，^(/)>0,所以g(/)在-1,+8)上單調(diào)遞增，所以

g(兒而=gFE卜三-。卜/0n心-el,所以_e'4<?<o-

②當(dāng)〃>0時，您g'(f)=O,所以r=lna,

⑴當(dāng)即a<e一時，

g'(f)>0,所以g(f)在-；,+8)上單調(diào)遞增，g(%M=g(-，j=ee_a(T?0=>aZ-e'e,所以

0<a<ec,

(ii)當(dāng)Ina*-，即az/時，

g⑺在-(lna)上單調(diào)遞減，在［Ina,物)上單調(diào)遞增，

lna

g(/)min=g(ln6f)=e-?(ln?)>0=>a-alntz>0=>l-lna>0,

所以a4e,所以

'i-l'

綜上，”的取值范圍為：-ee,e.

故選：B.

2.(2022?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知r>0,函數(shù)f(x)=(x+t)lnx-"2,當(dāng)時，/(x)+f<0恒成立,

則實數(shù)，的最小值為()

B.-C.；

A.@D.1

432

【答案】D

【解析】解：因為x>l時，.f(x)+f<0恒成立，

所以(x+f)lnx-/x2+/<0在x>l時，恒成立，

即xlnx<(x2-inx-l)r,在x>l時，恒成立，

令g(x)=(f-lnx-l)f-xlnx,

又g'⑴=1，

當(dāng)g'(l)<0時，BPO<r<l,

因為g⑴=0,肛g?)<g⑴=0,不成立；

當(dāng)g'⑴20時，即壯1,

則小)=(2+小42+*=昌)+&0

所以g'(x)在(1，+°°)上遞增,

貝爾(x)>g，(l)NO,

所以g(x)在口,內(nèi))上遞增，

所以g(x)>g⑴=1-120,

解得d1,

實數(shù)，的最小值為1,

故選：D

3.(2022?山東聊城?三模)已知函數(shù)〃x)="+x2-xina(〃>0且"1),若對任意的毛,々?、?，不

等式/(占)-/區(qū))4/-4+1恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】［e2,-H?)

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=a'+x2-;dna(a>0且"1),

所以r(x)=("-l)lna+2x,

當(dāng)xw［l,2］時，ax-1<0,ln?<0,

則〃尤)>0在&2］上成立，

所以在［1,2］上遞增，

所以〃x)2=〃2)=a2+4-21n“J(x"n=〃l)=a+17na，

所以卜=，"a+3Tna,

因為任意的巧，々€［1,2］，不等式/a)-〃馬)4叱-。+1恒成立,

所以〃一。+12a?-a+3-lna,1!!Jlna>2,

解得aNe?,

當(dāng)xw［l,2］時，?x-l>0,ln?>0,

則尸(6>0在［12］上成立，

所以f(x)在［1，2］上遞增，

所以“X)四=〃2)=a2+4_21naJ(xL=7?⑴=a+l—Ina,

所以［/(xj-f(x2)k=a2-a+3-\na,

因為任意的4,”[L2],不等式/(占)-/(々)4/_4+1恒成立，

所以/一〃+1之片一〃+3—Ina,B|Jlna>2,

解得心/,

綜上：實數(shù)”的取值范圍為人之,一)，

故答案為：[e2,+oo)

4.(2022?遼寧?二模)已知不等式alnV-'+eN”對任意xe(O/)恒成立，則實數(shù)。的最小值為

X

【答案】-5

【解析】由題意，不等式可變形為

X

得N/Tnx"對任意xe(O,l)恒成立?

設(shè)/(x)=x-lnx.

則/—+/(一)對任意x?O,l)恒成立，/”(力=1一：=號，

當(dāng)0<x<l時，r(x)<0,所以函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>i時,ra)>o,所以函數(shù)/(X)在。,內(nèi))上單調(diào)遞增.

當(dāng)xe(0,l)時，l>e，因為求實數(shù)。的最小值，

所以考慮a<0的情況,此時與>1，

因為函數(shù)f(x)在(L”)上單調(diào)遞增，

所以要使/(1>/(一),只需eNx?”，

兩邊取對數(shù)，得上，22alnx,

X

山]?xw(0,1)，所以2。之一--.

xinx

^/?(x)=xlnx(xe(0J)),則〃(x)=lnx+l,

令〃(%)=。，得x=L

易得力(X)在(0.)上單調(diào)遞減，在g，l)上單調(diào)遞增，

所以"(x)mM=6(￡|=-I所以(意)=Y，所以2a*-e,

所以實數(shù)。的最小值為-|.

故答案為：-

5.(2022?福建龍巖?模擬預(yù)測)若Jdnx—2/nr(x—l)+ei—1之0對DxNl恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是

【答案】［-00,1

【解析】解：因為xlnx-2TH￥(X-l)+e'M對DxNl恒成立，

I'PInx_2/??(x—1)H--------120對Vx21也成乂，

x-l

i己/(x)=lnx-2/W(X-l)4--------1,XG［1,4-09),

所以/>(x)=--2>?+e，

XX

令g(x)=一一2機+―4——

XX

令R(x)=e*T-x,xe［l,-hz>),貝!|"(x)=e*T—1,所以當(dāng)%>