高中函數(shù)三函數(shù)的單調(diào)性(解析版)

專題三函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)外)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任

意兩個(gè)自變量的值為，X2

定義

當(dāng)時(shí)，都有?？?勺(X2)，那么就當(dāng)X1〈X2時(shí)，都有"|)次X2),那么就

說函數(shù)/(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)說函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

vt產(chǎn))

圖象\fixx)四2)

01%~x

描述opX

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)

y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則.單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或

不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用并集符號(hào)“U”連接，也不能用“或”連接，只能用“，”或“和”隔開.

2.常用結(jié)論

結(jié)論1：增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形

y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)=對(duì)垢1<》2,都有加1)磯V2)=(X1—X2)[/(X|)一/(X2)]>0O?L」^>0；

X\—X2

_y=/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)=對(duì)Vxi<、2,都有y(Xl)>/(X2)=(Xl—X2)[/(X|)—Xx2)]v0=^^~^^<0.

X\-X2

結(jié)論2：單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)

(1)函數(shù)夕=/(x)與函數(shù)y=/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)若我>0,則研x)與火x)單調(diào)性相同；若k<0,則相x)與寅x)單調(diào)性相反.

(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)沙=/(》)(/(》)>0)與)，=/"(x)和了=<而具有相同的單調(diào)性.

(4)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)夕=加)岫)翔)與夕=」;單調(diào)性相反.

小)

(5)若y(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則人x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù).

(6)若Xx),g(x)均為區(qū)間Z上的增(減)函數(shù)，且_/(x)>0,g(x)>0,則小>g(x)也是區(qū)間”上的增(減)函數(shù).

結(jié)論3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)夕=/[g(x)]的單調(diào)性與y=/(")和〃=g(x)的單調(diào)性有關(guān).若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)

為增函數(shù)；若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡記：“同增異減”.

結(jié)論4：奇函數(shù)與偶函數(shù)的單調(diào)性

奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

結(jié)論5：對(duì)勾函數(shù)與飄帶函數(shù)的單調(diào)性

1

對(duì)勾函數(shù)：J(x)=ax+-(ab>0)

X

(1)當(dāng)a>0,b>0時(shí)，/(x)在(―8,-J-］,,+8)上是增函數(shù)，在［一J"0),(0,上是減函數(shù);

(2)當(dāng)aVO,6<0時(shí)，/住)在(一8,一口］,［口，+8)上是減函數(shù)，在［一,0),(0,上是增函數(shù);

\a\aVaya

飄帶函數(shù)：f(x)—ax+~(ab<0)

x

a>9.b<Q(Ia<0,jb>0

⑴當(dāng)a>0,Z>VO時(shí)，人力在(一8,0),(0,+8)上都是增函數(shù);

(2)當(dāng)aVO,b>0時(shí)，./(x)在(一8,0),(0,+8)上都是減函數(shù);

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間

【方法總結(jié)】

確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法

(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間.

(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間.

(3)圖象法：如果兀0是以圖象形式給出的，或者人》)的圖象易作出，可由圖象的直觀性確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)

間.

【例題選講】

［例1|(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A.y=--xB.y=x1—xC.y=\nx-xD.y=ex-x

⑵下列函數(shù)中，滿足“Wq,X2e(0,+8)且閃急2,(沏-X2)?［/(X］)—火也)］<0”的是()

2

C._/(x)=1-x

A./)=2*B.Xx)=|x-l|D.Xx)=ln(x+1)

X

(3)函數(shù)/(x)=|x2—3x+2]的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.你+可B.W孤⑵+oo)C.(-00,1.8'I和[2,+oo)

（4）函數(shù)y=Ux2+x-6的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為

（5）函數(shù)y=logi（x2—3x+2）的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.給定函數(shù)①歹=12,②y=log](x+l),③y=|x-1|,@y=2x~].其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)

2

序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.下列四個(gè)函數(shù)中,在XC（O,+8）上為增函數(shù)的是（）

1

A.J(x)=3-xB.f(x)—x2—3xC.0)=D.^x)=-|x|

x+\

3.若函數(shù)大乃滿足“對(duì)任意XI,X2d（0,+oo),當(dāng)X1〈X2時(shí),都有以|）如2）”,則y（x）的解析式可以是（）

A./(x)=(x-l)2B.J(x)=eC.D../(x)=ln(x+l)

X

4.函數(shù)/（x）=|x—2|x的單調(diào)減區(qū)間是（)

A.[1，2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+oo)

1,x>0,

5.設(shè)函數(shù)/(x)=.O,x=0,gW=xyCx-l),則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

-1,x<0,

A.(-8,0]B.[0,1)C.[1,+oo)D.[-1,0]

函數(shù)y=(g)

6.的單調(diào)遞增區(qū)間為（)

f-oo,3c.e+q3,+A

A.(1,+oo)B.I4jD._4J

2

7.已知函數(shù)｛x）=\lx-2x-3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（)

A.(—00,1]B.[3,+co)C.(-00,-1]D.[1,+oo)

8.（2017?全國II）函數(shù)兀^）=1口（爐一2%—8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（)

A.(-8,~2)B.(—oo,1)C.(1,+oo)D.(4,+oo)

3

考點(diǎn)二比較函數(shù)值或自變量的大小

【方法總結(jié)】

比較函數(shù)值大小的思路：比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到

同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

【例題選講】

［例2|(1)設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)镽,當(dāng)xC［O,+00)時(shí)，兀0是增函數(shù)，則人一2),火兀)，八-3)的大小關(guān)系是()

A.角t)M-3)M—2)B.小)刁(一2)次-3)C.ATC)<A-3)</(-2)D.人兀)勺(一2)守(-3)

(2)(2017?天津)己知奇函數(shù)段)在R上是增函數(shù).若。=一/［唾23。=人2吟，則。，b,。的大小關(guān)

系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

(3)已知函數(shù)J(x)=k)g2xH■――9若R￡(1,2),X2^(2,+00),則()

1—x

A.?！?<0,y(X2)<0B.Xxi)<0,Xx2)>0C.；(xi)>0,/X2)<OD.-0,^x2)>0

(4)已知函數(shù)y=/(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)xi，工2仁(0,+oo),工曲2時(shí)，都有(打一/(工2)卜0.設(shè)。=hrkb=(ln

71

7T)2,c=ln?,則()

A.刎>肚)>3B.火6)次。)次c)C.{c)次。)況b)D.

(5)若2葉5%2〉+5一。則有()

A.x+yNOB.x+y<0C.x-y<QD.x-y>0

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

9.已知函數(shù)段)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于》軸對(duì)稱，當(dāng)X2>X1>1時(shí)，［/(X2)—/(X1)］，(X2—?)<0恒成立，

設(shè)。=［一力，人=/(2),c=/(3),則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

10.已知函數(shù)<x)在R上單調(diào)遞減，且。=3*,6=曰，c=ln；,則/(a),火6),人c)的大小關(guān)系為()

A.Aa)>J［b}>Ac)B.Ab)>Ac)>Aa)C.負(fù)b)D.Ac)>Ab)>Aa)

考點(diǎn)三解函數(shù)不等式

【方法總結(jié)】

含了不等式的解法：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為/(g(x))>/S(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“尸，轉(zhuǎn)

4

化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與/7(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).

【例題選講】

[例3](1)已知函數(shù)人外是定義在區(qū)間[0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足y(2x—l)V/日的x的取值

范圍是()

P斗口，2]化2]「工，斗

A.U3jB.L33jC.匕3jD.J.3j

(2)已知函數(shù)Xx)是R上的增函數(shù)，J(0,-3),8(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式一3S/(x+l)<l的解集的補(bǔ)

集是(全集為R)()

A.(-1,2)B.(1,4)C.(-oo,-1)U[4,+oo)D.(一8,-|]U[2,+oo)

(3)定義在[-2,2]上的函數(shù)人%)滿足(X|—X2)[/(X1)—/(X2)]>o,X1,X2,且4)況2"-2),則實(shí)數(shù)”的取值范圍為

(4)外)是定義在(0,+s)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足兀沙)=/(x)+火y),火3)=1,當(dāng)火刈+加一8)/2時(shí)，x的取值范圍是

()

A.(8,+oo)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

(5)(2015?全國11)設(shè)函數(shù)/)=111(1+困)一一J則使得兀V)力(左一1)成立的x的取值范圍是()

1+xz

p,iir-oo,i],[-1X]f-oo,-i]ri,+力

A.UJB.I3ju(l,+oo)C.I33jD.I3juUJ

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且￡)=0,則滿足/log/>0的x的集合為.

11.

9

12.已知函數(shù)./(x)=lnx+x,若人次一0次0+3),則正數(shù)。的取值范圍是.

'2xx<2

13.''若加+1)次2〃-1),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(B)

{x2,x>2.

A.(—oo,1]B.(-oo,2]C.[2,6]D.[2,+oo)

2~x,x<0,

14.(2018?全國I)設(shè)函數(shù)/(%)=則滿足/(x+l)V/(2x)的x的取值范圍是()

J,x>0,

A.(—oo,—1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(—co,0)

x2—4x+3,x<0,

15.已知人工)=,不等式Hx+a)>/(2a—x)在[a,a+1]上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

—x2—2x+3,x>0,

是

5

考點(diǎn)四求參數(shù)的取值范圍

【方法總結(jié)】

求參數(shù)的值或取值范圍的思路：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，

再結(jié)合圖象求解.求參數(shù)時(shí)需注意若函數(shù)在區(qū)間［凡6］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的.

【例題選講】

［例4|(1)如果二次函數(shù)/(x)=3x2+2(a—l)x+6在區(qū)間(-8,1)上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是.

(2)已知函數(shù)Hx)=x-f+：在(1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是

(3)若函數(shù)/(x)=06—x|+2的單調(diào)遞增區(qū)間是［0,+8),則實(shí)數(shù)a,6的取值范圍分別為

ax2-x—,x<l>

(4)已知函數(shù)/(x)=4是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

JogaX-1,X>1

1r0,11]

B._4‘2_C.D.12'J

(5)已知函數(shù)外)=108式/-ax+3a)在［1,+s)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

16.如果函數(shù)")=依2+2》-3在區(qū)間(一8,4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

fi,'i「1工］r1nir1J

I---,+ool---,+ool---,01---,0

A.I4JB._4JC_4JD._4」

17.若加)=世”1在區(qū)間(-2,+oo)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

x+2

18.若/(x)=—F+4s與g(x)=§-在區(qū)間［2,4］上都是減函數(shù)，則”的取值范圍是(D)

x+1

A.(-oo,0)U(0,1］B.(-1,0)U(0,1］C.(0,+oo)D.(0,1］

19.已知7^)=‘2-""+1'、"’滿足對(duì)任意為外2,都砂D-/(X2)>O成立,那么”的取值范圍是

―X>1,Xl—X2

2

f—x—ax—5fx<\9

20.已知函數(shù)4Y)=&x>]

是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[—3,0)B.(—oo,—2]C.［—3,~2］D.(—co,0)

—x2+4x,x<4,

21.設(shè)函數(shù)")="若函數(shù)v=/a)在區(qū)間s，〃+i)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

logzr,x>4.

6

A.(-00,1]B.[1,4]C.[4,+oo)D.(-oo,1]U[4,+oo)

22.已知/(x)=”x(?#?).

x-a

(1)若。=—2,試證/(x)在(一8,—2)內(nèi)單調(diào)遞增：

(2)若。＞0且/(x)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

23.已知定義在R上的函數(shù)Xx)滿足：①Ax+y)=/(x)+y(y)+l,②當(dāng)x＞0時(shí)，人》)＞一1.

(1)求/(0)的值，并證明/(x)在R上是單調(diào)增函數(shù).

(2)若人1)=1,解關(guān)于x的不等式火r+2/+＜1-刈＞4.

7

專題三函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)外)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任

意兩個(gè)自變量的值為，X2

定義

當(dāng)時(shí)，都有?？?勺(X2)，那么就當(dāng)X1〈X2時(shí)，都有"|)次X2),那么就

說函數(shù)/(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)說函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

I/w

圖象7修)1A必)

描述OpX

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)

y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則.單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或

不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用并集符號(hào)“U”連接，也不能用“或”連接，只能用“，”或“和”隔開.

2.常用結(jié)論

結(jié)論1：增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形

y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)<=>對(duì)Vxi<X2,都有力>1)勺(X2)=(X1—X2)[/(X|)一*”>0；

X\—X2

夕=兀0在區(qū)間D上是減函數(shù)=對(duì)也叫我2,都有人XI)次X2)=(Xl—也二細(xì)<0.

X\~X2

結(jié)論2：單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)

⑴函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)若Q0,則例x)與府)單調(diào)性相同；若k<0,則研x)與以)單調(diào)性相反.

(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y=/仁)(/(')>0)與》=/"(X)和y=/7荷具有相同的單調(diào)性.

(4)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)夕=/(x)(/(x)#))與夕=工單調(diào)性相反.

(5)若大外，g(x)均為區(qū)間/上的增(減)函數(shù)，則;U)+g(x)也是區(qū)間4上的增(減)函數(shù).

⑹若/(X),g(x)均為區(qū)間/上的增(減)函數(shù)，且/(x)>0,g(x)>0,則,/(x>g(x)也是區(qū)間N上的增(減)函數(shù).

結(jié)論3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的單調(diào)性與y=/(u)和〃=g(x)的單調(diào)性有關(guān).若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)

為增函數(shù)；若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡記：“同增異減

結(jié)論4：奇函數(shù)與偶函數(shù)的單調(diào)性

奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

結(jié)論5：對(duì)勾函數(shù)與飄帶函數(shù)的單調(diào)性

8

對(duì)勾函數(shù)：J(x)=ax+-(ab>0)

x

a<0.d<0

—也］，［P，+8)上是增函數(shù)，在［-也，0)，(0,、口］上是減函數(shù);

(1)當(dāng)40b>0時(shí)，/(x)在(一8,

NaNaVaVa

一出］，［E，+8)上是減函數(shù)，在［-P,0),(0,、口］上是增函數(shù):

(2)當(dāng)a<0,bV0時(shí)，/(x)在(一8,

V6/\aVava

飄帶函數(shù)：.危)=亦+々。6<0)

a>Q.A<0

⑴當(dāng)a>0,6V0時(shí)，人力在(一8,0),(0,+8)上都是增函數(shù);

(2)當(dāng)aVO,b>0時(shí)，./(x)在(一8,0),(0,+8)上都是減函數(shù);

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間

【方法總結(jié)】

確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法

(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間.

(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間.

(3)圖象法：如果兀0是以圖象形式給出的，或者人》)的圖象易作出，可由圖象的直觀性確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)

間.

【例題選講】

［例1|(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A.y=--xB.y—x^—xC.y=\nx-xD.y=ex~x

x

答案A解析對(duì)于選項(xiàng)A,在(0,+s)內(nèi)是減函數(shù)，)，2=x在(0,+s)內(nèi)是增函數(shù)，則y=1一x在(0,+oo)

XX

內(nèi)是減函數(shù)，故選A.

9

(2)下列函數(shù)中，滿足“Vx”x2e(0,+00)且X1#X2,Q-功的1)一於2)］<0"的是()

A.Hx)=2，B.{x)=|x-l|C.於)='-xD.>(x)=ln(x+l)

X

答案C解析由(XI—X2>［/(X|)-/(X2)］<O可知，兀0在(0,+8)上是減函數(shù)，A、D選項(xiàng)中，Hx)為增函數(shù)：B中，

Z(x)=|x—1|在(0,+oo)上不單調(diào)；對(duì)于/(x)=L—x,因?yàn)椤?1與y=-x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，因此火x)在(0,+<?)

XX

上是減函數(shù).

(3)函數(shù)?r)=|x2-3x+2］的單調(diào)遞增區(qū)間是()

+oolFl,艮21f-oo,1

A.\2JB.L2」和［2,+oo)C.(-00,1］和12」D.I2」和［2,+oo)

x?—3x+2x〈lx>2|—

答案B解析y=\^-3x+2\=-'-，如圖所示函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是L'2」和［2,+oo).

I一(x2-3x+2),l<x<2.

(4)函數(shù)y=炳二工的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

答案［2,+oo)(—00,—3］解析令"=x2+x—6,則五=“<：2+》-6可以看作是由與w=x2+x—6復(fù)合而

成的函數(shù).令t/=x2+x—6N0,得xg—3或一侖2.易知“=必+工-6在(一OO,-3］上是減函數(shù)，在［2,+oo)上是增函

數(shù)，而)，=①在［0,+8)上是增函數(shù)，,t=心2+、-6的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-3］,單調(diào)遞增區(qū)間為［2,4-00).

(5)函數(shù)y=logMx2—3x+2)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

2

答案(一8,1)(2,+oo)解析令〃=/一3X+2,則原函數(shù)是y=logj,〃與〃=工2—3X+2的復(fù)合函數(shù).令〃=/

2

-3x+2>0,則或x>2.所以函數(shù)yulogMr—Bx+Z)的定義域?yàn)?-8,1)U(2,+00).又〃=/一3工+2的對(duì)稱

2

軸為x=3,且開口向上，所以M=f—3x+2在(-8,1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,+s)上是單調(diào)增函數(shù)，而y=log_［〃

22

在(0,+oo)上是單調(diào)減函數(shù)，所以y=logM/—3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+oo),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1).

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1

1.給定函數(shù)①y=”，②y=log］(x+1),?y=|x-1|,@y=2x+1.其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)

2

序號(hào)是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

1.答案B解析①^二工”在(0,1)上遞增：②?.丁=x+l在(0,1)上遞增，且OvL］,故y=［og［。+

22

1)在(0,1)上遞減；③結(jié)合圖象可知y=|A-l|在(0,1)上遞減；④:ixx+l在(0,1)上遞增，且2>1,故)，=2內(nèi)在

10

(0,1)上遞增.故在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號(hào)是②③.

2.下列四個(gè)函數(shù)中,在xG(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A./(x)=3-xB.危)=%2—3%c"一出D./)=一慟

2.答案C解析當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3—x為減函數(shù)；當(dāng)。馬―，3G+q

時(shí)，/(》)=/一3》為增函數(shù)；當(dāng)x￡(0,+oo)時(shí)，/(x)—為增函數(shù)；當(dāng)x￡(0,+s)時(shí)，火工)=一為減函數(shù).

x+1

3.若函數(shù)外)滿足“對(duì)任意M,切6(0,+OO),當(dāng)XI<X2時(shí)，都有火XI)MX2)”,則兀r)的解析式可以是()

A.7(x)=(x-l)2B.4)=^c.D.y(x)=ln(x+l)

X

3.答案C解析根據(jù)條件知，段)在(0,+oo)上單調(diào)遞減.對(duì)于A,./(工)=(工一1)2在(1,+oo)上單調(diào)遞

增，排除A;對(duì)于B,/(x)=e■，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，排除B;對(duì)于C,火工)=1在(0,+s)上單調(diào)遞減，C正確;

X

對(duì)于D,/(x)=ln(x+l)在(0,+8)上單調(diào)遞增，排除D.

4.函數(shù)人》)=歸一2歸的單調(diào)減區(qū)間是()

A.[1，2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+oo)

2x,x>2,

4.答案A解析由于yw=ix—2,=結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是［1,2］.

—x2+2x,x<2,

fl,x>0,

5.設(shè)函數(shù)7U)=.o,x=0,g(x)=xRx—1),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

-1,x<0>

A.(-co,0]B.[0,1)C.[1,+oo)D.[-1,0]

5.答案B解析由題知，g(x)=.0,X=1,可得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,1).故選B.

-X2,X<1,

6.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為()

f-oo,3]3,+ooj

A.(1,+oo)B.I4」c.曲+TD.4

答案B解析令“=2x2—3x+l=2因?yàn)椤?21Q在卜3

X-----8,

6.4—上單調(diào)遞減，函數(shù)

8O

在R上單調(diào)遞減.所以)，=日82-3x+i在［—8'I上單調(diào)遞增，即該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

「。0L

7.已知函數(shù)/(刈=心2—2x—3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(—oo,1]B.[3,+oo)C.(-oo,-1]D.[1,+s)

11

7.答案B解析ilt=x2-2x-3,由侖0,即/-2X-3K),解得爛一1或淪3.所以函數(shù)的定義域?yàn)?一

00,—1]U[3,+oo).因?yàn)楹瘮?shù)f=x2—2x—3的圖象的對(duì)稱軸為x=1,所以函數(shù)/在(-00,—I]上單調(diào)遞減，在[3,

+8)上單調(diào)遞增.所以函數(shù);(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3,+oo).

8.(2017?全國U)函數(shù)/(x)=ln(x2—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—oo,—2)B.(—oo,1)C.(1,+co)D.(4,+oo)

8.答案D解析由丫2—公一8>0,得x>4或2.因此，函數(shù)/(x)=ln(x2—2x—8)的定義域是(-8,

—2)U(4,+oo).又函數(shù)y=N—2x—8在(4,+oo)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，,/(x)=ln(x2—2x—8)的單調(diào)

遞增區(qū)間是(4,+oo).

考點(diǎn)二比較函數(shù)值或自變量的大小

【方法總結(jié)】

比較函數(shù)值大小的思路：比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到

同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

【例題選講】

[例2](1)設(shè)偶函數(shù)0x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)xC[0,+oo)時(shí)，/)是增函數(shù),則人一2),加t),八-3)的大小關(guān)系是()

A../(n)>/(-3)>/(-2)B../(n)>/(-2)>/(-3)C./(兀)勺(一3)勺(一2)D../(n)</(-2)</(-3)

答案A解析因?yàn)樨)是偶函數(shù)，所以八-3)=人3),火-2)=H2).又因?yàn)楹瘮?shù)人x)在[(),+oo)上是增函數(shù).所以

寅兀)M3)次2),即_/(兀)次-3)>/(—2)?

?天津)已知奇函數(shù)兀在上是增函數(shù).若”=-/卜08則的大小關(guān)

(2)(20170R23，/,=^|Og24.1),c=A2),a,b,c

系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

答案C解析由/(x)是奇函數(shù)可得。=一/["gif=/(bg25).因?yàn)?。825>10824.1>10824=2>2。8,且函數(shù)/(x)是增函

數(shù)，所以c<b<a,

(3)已知函數(shù)/(x)=log2xd——,若加￡(1,2),刈￡(2,+oo),則()

1—x

A../(xi)<0,X%2)<0B./xi)<0,./(X2)>OC./(xi)>0,,/(x2)<0D./xi)>0,,/(x2)>0

答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)/)=唾加+」一在(1,+8)上為增函數(shù)，且/(2}=0,所以當(dāng)2)時(shí)，於|)勺(2)=0,

1—X

當(dāng)心￡(2,+8)時(shí)，心2)X2)=0,即火川)<0,.信2)>0.故選B.

(4)已知函數(shù)y=/a)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)XI，X2&(0,+8),用力2時(shí)，都有(陽一X2>[/(X1)一/(戈2)卜0.設(shè)Q=lnLb=(ln

71

7u)2,c=ln?,則()

A.火。)次步兆)B.加):>/3)?c)C.R)》(a)況b)D.?)次b)次a)

答案C解析由題意可知/(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，且/(〃)=/(同)，/s)=/(|b|),/(，=/(?),又|。|=歷71>1,\b\

=(ln兀)2>同，|c|=；ln兀，且0小”同，故依》同加>0,?\A|c|)次。|)次師，即加?)加/)>的).

12

⑸若2，+5>￡2-葉5、，則有()

A.x+y>0B.x+j<0C.x—y<0D.x-y>0

答案B解析設(shè)函數(shù)兀0=2'—5],易知/(x)為增函數(shù)，又人一切=2:「一5",由已知得而0勺(一回，二正一y,...x

+j<0.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

9.已知函數(shù)次X)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)X2>X1>1時(shí)，[/(X2)-/(XI)NX2-X|)<O恒成立，

設(shè)3b=a，c=43),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

9.答案D解析由于函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故函數(shù)y=/(x)的

圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以息當(dāng)X2>X1>1時(shí)，[/(X2)—/1)](工2—X1)〈O恒成立，等價(jià)于函數(shù)7(X)在(1,

+8)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.

10.已知函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，且。=33」，3=日"，c=ln5則/(a),/(b),/匕)的大小關(guān)系為()

A.B.氏b)>J(c)>AGC.{0>/3)>道6)D.J[c)>J{h}>J[a}

因?yàn)閍=33/>3°=1,0<6=0<0=1,

10.答案D解析6=In-<In1=0所以c<bVa,又因

3

為函數(shù)Hx)在R上單調(diào)遞減，所以_/(c)>y(6)>/(a),故選D.

考點(diǎn)三解函數(shù)不等式

【方法總結(jié)】

含'了‘不等式的解法：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為負(fù)g(x))次4(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉，尸，轉(zhuǎn)

化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意以X)與/7(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).

【例題選講】

[例3](1)已知函數(shù)7U)是定義在區(qū)間[0,+oo)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足人左—1)<7"日的X的取值

范圍是()

A.Gt]B.1I]C.GI)D.I]

答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)八x)是定義在區(qū)間[0,+8)上的增函數(shù)，滿足負(fù)2x-l)以I.所以0W2x-lV5解得]

<2.

3

(2)已知函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)，/(0,-3),8(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式一3</(x+l)Vl的解集的補(bǔ)

集是(全集為R)()

A.(-1,2)B.(1,4)C.(-oo,-1)U[4,+oo)D.(-8,-1]U[2,+oo)

13

答案D解析由函數(shù)人尤)是R上的增函數(shù)，A(0,-3),8(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，知不等式一3V/(x+l)<l

即為./(0)V/(x+l)</(3),所以0<x+l<3,所以一1cxV2,故不等式一3V/(x+l)〈l的解集的補(bǔ)集是(-8,-1]

U[2,+oo).

(3)定義在[-2,2]上的函數(shù)?x)滿足(X|—X2)[/(X1)—/(X2)]>O,X1#X2,且八層一“)決2a—2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

答案[0,1)解析因?yàn)楹瘮?shù)父X)滿足(為一功[/3)一外喇>0,x^x2,所以函數(shù)在[-2,2]上單調(diào)遞增，所以一202a

-2<a2~a<2,解得。土<1.

(4)/(x)是定義在(0,+s)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足/(9=/)+/8)，火3)=1，當(dāng)/㈤十仆一8)及時(shí)，x的取值范圍是

()

A.(8,+oo)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

答案B解析2=1+1=/(3)+/(3)=/(9),由/(x)+Hx—8H2,可得/[乂(》—8)]勺(9),因?yàn)?(x)是定義在(0,+oo)

x>0,

上的增函數(shù)，所以有，x—8>0,解得8<區(qū)9.

x(x-8)<9,

⑸(2015?全國H)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+|x|)——?jiǎng)t使得1)成立的x的取值范圍是()

1+xz

1

fi]Ifqf-irif-oo,-i]a,+J

A.bJB.I3JU(1,+oo)C.I33jD.I3juUJ

答案A解析VA-x)=ln(l+|-x|)一一-1~;=/(x),...函數(shù)人x)為偶函數(shù).?當(dāng)x20時(shí)，/(x)=ln(l+x)一—二,

1+(-x)2\+x2

在(0,+8)上y=ln(l+x)遞增，M=——二也遞增，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.綜上可知：

1+x