貴州省2021年高考理數(shù)考試真題與答案解析

貴州省2021年高考［理科數(shù)學(xué)］考試真題與答案解析

一、選擇題

1.設(shè)集合“={x|0<x<4},N={x|,貝［|MnN=

A.{x|0<x<i}B.{x|Jcx<4}C.{x|4<x<5}D.{x|0vx<5}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查

數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.已知(1一i)%=3+2，則2=

A"4C.4+iD.-^-i

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)

記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L=5+lgV。已知某同

學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)約為(*VIO?1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知F],F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且/F]PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,

則C的離心率為

A.】B.=C.V7D.VI3

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為EEG.該正方體截去三棱錐A-EFG后,

所得多面體的三視圖中，正試圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

正視圖

7.等比數(shù)列｛Qn｝的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)甲：q>0,乙：｛Sn｝是遞增數(shù)列，貝ij

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三

角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.右圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有以A,B,C

三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平而上的投影A',B',。滿(mǎn)足/AC'B=45。，乙4BC=60°.

由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,曲，B8與CC的差為100：由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°,

則A,C兩點(diǎn)到水平面4BC的高度差A(yù)A-CC約為（事x1.732）

A.346B.373C.446D.473

9?若Qw(0,,-),tan2a=-CO5l7,則tana=

A.—B.-C.-D.—

15533

10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為

A.-B.-C.-D.-

3535

11.已知ABC是半徑為1的求。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC1BC,AC=BC=1,則三棱錐

O-ABC的體積為

AWB.立CWD.立

121244

12.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+l)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)xe[L2]時(shí),f(x)=ax：+b.

若f(0)+f(3)=6,則fg)=

A.-B.-ZC.-D；

4242

二、填空題

本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為o

14.已知向量。=(3,1),b=(L0),c=a+kb,若ale,則k=。

15.已知Fl,F2為橢圓C:1+9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)堆成的兩點(diǎn)，

164

且|PQ|=|FF=|,則四邊形PF]QF2的面積為o

16.已知函數(shù)f(x)=2cos(3x+0)的部分圖像如圖所示，則滿(mǎn)足條件

(f(X)-f(-y))(/(X)-/(7))>0的最小正整數(shù)X為o

三、解答題

共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)

量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品~二級(jí)品。合計(jì),

甲機(jī)床。15025g200。

乙機(jī)床。120"80200。

合計(jì)。270。130。400。

⑴甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

⑵能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

'(a+b)(c+d>Ca+c>(b+d)

P(K:Nk)0.0500.0100.001

K3.8416.635a10.828

18.(12分)

已知數(shù)列9n｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條

件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列9n｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛離｝是等差數(shù)列；③。2=3。］

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(12分)

已知直三棱柱ABCAiBQ.中，側(cè)面AABB為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC,

的中點(diǎn),D為棱A曲上的點(diǎn),BFJ_A的.

(1)證明：BF1DE;

⑵當(dāng)為BQ何值時(shí)，面BBiCC與面DFE所成的二面角的正弦值最小？

/ire----------------------

20.(12分)

拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線L:x=1交C于P,Q兩點(diǎn)，且。P_L

OQ.已知點(diǎn)M(2,0)，且。M與L相切，

(1)求C,0M的方程；

(2)設(shè)AiAA，是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A［A2,A］A3均與。M相切，判斷A2A3與。M的

位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

21.(12分)

己知a>0且a*l,函數(shù)f(x)=5(x>0),

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

(~)選考題

共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐

標(biāo)方程為P=2v2cos6.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足點(diǎn)=師，寫(xiě)出P的軌跡C

的參數(shù)方程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

23」選修4—5:不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)畫(huà)出f(x)和y=g(x)的圖像；

(2)若f(x+a)>g(x)，求a的取值范圍.

答案解析

一、選擇題

1、B2、C3、B4、C5、A6、D7、B8、B9、A

10sCIlsA12、D

二、填空題

13:5x-y+2=014:-胃15:816:2

三、簡(jiǎn)答題

17:(1)由題意可知：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：150/200=3/4

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是：120/200=3/5

(2)由于=4。。“150.80-503'=122*10.256>6.635

270?130?200?20039

所以，有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。

18:情況一：選擇①③為條件，即數(shù)列冊(cè)為等差數(shù)列，且的=3%

證明：設(shè)等差數(shù)列冊(cè)的公差為d,由題意可知，％>0,d>0,fia2=3fll=ai+d

所以，d=2a1,所以?xún)?cè)=/+(n-i)d=(2或一I)4

所以又=*紐=(n*2na』/2=M/

所以離=n何，歷;=(n+l)何

/又+工-JSn=\@\為常數(shù)，所以數(shù)列\(zhòng)區(qū)為等差數(shù)列。

情況二：選擇①②為條件。

證明：設(shè)等差數(shù)列冊(cè)的公差為d,貝ijd>0

因?yàn)?5n為等差數(shù)列，所以2J5；：=+八?，即2J2al+d=丫瓦+西工可

等式兩邊平方得：4(2al+即=%+3%+3d+2向兩鉞

即：44+d=2j3(aJ+aM

等式兩邊平方：4aJ-4a屈+產(chǎn)=0

也就是：(2aj-d)2=0,EPd=2al,所以a2=al+d=3al

情況三：選擇②③為條件。

證明：因?yàn)獒t(yī)為等差數(shù)列，且冊(cè)>0,所以可設(shè)離=Kn+b(k>0)

其中k,b為常數(shù)，如+匕>0對(duì)任意13屬于山成立

:

所以：Sn=(Kn+b),a^S^K+b)-

=

N大于等于2時(shí)，an=Sn-Sn.!=(2n-l)k+2kb

又因?yàn)閍2=3al,所以3H+2kb=3(K+b尸，解得b=0或者4k+3b=0

當(dāng)b=o時(shí)，al=k-,n大于等于2時(shí)，an=(2n-l)k-,n=l時(shí)同

所以an=(2”-1)H,所以數(shù)列冊(cè)為等差數(shù)列。

當(dāng)4k+3b=0時(shí)，b=4/3k,后K+b=-l/3k<0,舍去。

綜合，數(shù)列冊(cè)為等差數(shù)列

19:

(1)直棱柱ABCA1B1C1,側(cè)面AA1B1B為正方形

所以A1B1=B1B=AB=BC=2

所以側(cè)面BB1C1C為正方形

取BC中點(diǎn)M,連接BlM和EM

因?yàn)镕為CC1重點(diǎn)，所以B1M1BF

由已知BF1A1B1

且AlBlnBlM=Bl

所以BF1平面A1B1M

由于E為AC中點(diǎn)，所以EM//A1B1

所以EMc平面A1B1M,所以BF1DE

(2)由⑴可知，A1BUBF,且A1B11B1B,所以AlBl1平面BlBCC1

以B為原點(diǎn)，BC,BY,BB1為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)C(2,0,0),A(0,-2,0),Bl(0,0,2)

Cl⑵0,2),Al(0,-2,2),E(1,-1,0),F⑵0,1),D(0,n,2)

則向量EF=(1,1,1),向量FD=(-2,n,1)

設(shè)向量ml平面BB1C1C,則向量m=(0,1,0)

向量nl平面DEF,則向量n=(x,y,z)

由:隹索;得:ux:。得它"f

得：八二(n-1,3,-n-2)

設(shè)平面BB1C1C與平面DEF所稱(chēng)角為Q

8SQ=ICOS<m,n>\=^=^=^=

設(shè)+n+7=(n+1/2尸+27/4

所以，當(dāng)n=-l/2時(shí)，cosQ最大為一

V

此時(shí)sinQ最小為||=y

所以，當(dāng)BlD=l/2時(shí)，sinQ最小為二

20:

(1)由題可得，c：y-=2px,p>0,點(diǎn)P(1,歷，，Q(1,-府)

因?yàn)镺P1OQ,所以l-2P=0,2P=1,所以拋物線C為：y==x

M(2,0),L:x=l且圓M與L相切，所以圓M的方程為:(x-2)'+y2=1

⑵設(shè)Al(yj,兒)，A2(y2=?/)，A3(y3=.%)

由拋物線及圓M對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)外＞0

①若A1A2,AlA3中有一條切線斜率不存在，不妨設(shè)為A1A2

則：A1(3,V3),A2(3,-V3),設(shè)A1A3:y-V3=k(x-3)

即kx-y-3k+、分=0

因?yàn)锳lA3與圓M相切，所以霽=1

解得：k=f

Bnir—為一?1一工,1—V3

B|JAAIA-^7T--

3為+63

所以當(dāng)=0,即A3(0,0)

此時(shí)，直線A2A3與AlA3關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以直線A2A3與圓M相切。

②若A1A2,AlA3斜率均存在，則且，h3

^A1A2-y2f

yz+yi

直線A1A2：丫“二木。-3，/),即X-(%+y)y+%%=0

>2+>lx

同設(shè)AlA3:x-(y?+yjy+y祖=0,直線A2A3:x-(y,+y2)y+y:y2=0

因?yàn)橹本€A1A2,A1A3均與圓M相切,

2

所以,依節(jié)?一，即:(2+為好=1+佻+y:)

(2+yyi)2=1+(yx+y)2

("(力+外/一33

所以"、g關(guān)于y的方程：(2+yyi):=1+bi+y>即(yj-D尸+2)%+3-yJ=0的兩個(gè)根

所以：％+心=-直，月),戶(hù)惡

設(shè)M到直線A2A3距離為d

則廢=山空工=]

1+S+力A

所以直線A2A3與圓M相切

21:

(1)f(x)定義域?yàn)?0,+8)

因?yàn)閍>0且a#l,所以f'岡=竺/產(chǎn)三且lna*0

所以「岡=空二上也

axax

當(dāng)a=2時(shí)，f'岡

所以f(x)增區(qū)間為(0,淙)，減區(qū)間為(*.+叼

⑵題目等價(jià)于f(x)=1在(0,+叼上有且只有兩個(gè)解

當(dāng)0<。<1時(shí)，A<0,又x>0,所以x-3>0

inaina

所以f'岡>0,所以f(x)=l至少有一個(gè)解，所以a>l

此時(shí)lna>0,此>0,將f(x)定義域改為[0,+oo)

ina

此時(shí)f(0)=0

f捻上等=(喏)A=ia

又y=%a(a>l)在(0,+8)上f,所以/Ina

得到(1-Ti-)lna>ln(lna),得到lna-1>ln(lna)(*)

incr

令g(x)=x-l-lnx,x€(0,+oo)

g'(x)=l-0-l/x=(x-l)/x

所以g(x)>g(l)=l-l-lnl=0

由。>1得到lna>0,得到：g(lna)>0

所以，f忠)>1

所以，a>l且a*e

令b=a-,又a>l,所以b>1

則f(x)=(右嚴(yán)忌尸

aa叩

由貝努力不等式得：bx=((6=)X):=((1+(&=-1))X):>(1+(/一l)x)-=(b￡I)一爐

當(dāng)x>max|F—時(shí)，>/>x>0

r(^)Ji)

所以，系(0,1),得到f岡€(0,1)

由f(x)單調(diào)性可知：