湖南省常德市官垱中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖南省常德市官垱中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣與垂直，則||=（）A． B． C．2 D．4參考答案：C【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算先求出，然后根據(jù)向量垂直的條件列式求出x的值，最后運用求模公式求||．【解答】解∵，，∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=，∴或，∴||=，或||=．故選C．2.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9．抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷．則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為

（

）

A．7

B．9

C．10

D．15參考答案：C3.設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A考點：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)因為=，

=，

所以，，=

故答案為：A4.設(shè)m、n是兩條不同的直線，、β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A．若m∥n，m∥，則n∥

B．若⊥β，m∥，則m⊥βC．若m⊥n，m⊥，n⊥β，則⊥β

D．若⊥β，m⊥β，則m∥參考答案：C略5.已知圓,在圓C中任取一點P,則點P的橫坐標(biāo)小于1的概率為（

）A. B. C. D.以上都不對參考答案：C分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內(nèi)橫坐標(biāo)小于的面積，除以圓的面積。詳解：由圖可知，點的橫坐標(biāo)小于的概率為，故選C點睛：幾何概型計算面積比值。

6.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，則（

）A

335

B

338

C

1678

D

2012參考答案：B略7.如圖，AB是圓O的一條直徑，C、D是半圓弧的兩個三等分點，則A.

B.

C.

D.參考答案：D8.已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B所以,故選B.【考點定位】指對數(shù)函數(shù)方程單調(diào)性9.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則為

A

B

1

C

2

D

3參考答案：答案:D10.設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間(0,+∞)上的唯一零點為2，并且當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（

）A．(－2,2)

B．(－∞,－2)∪(2,+∞)

C．(－1,1)

D．(－2,0)∪(0,2)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為實數(shù)，且，則

。參考答案：答案：4解析：，而

所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。12.已知α∈（，π），且sin+cos=，則cosα的值．參考答案：﹣【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．【分析】采用“平方”將sin+cos=化簡可得sinα的值，即可求解cosα的值．【解答】解：∵sin+cos=，∴（sin+cos）2=1+sinα=，即sinα=．又∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案為﹣13.如圖，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則拋物線的方程是

。參考答案：略14.設(shè)，則

.參考答案：256.15.已知命題p：，sinx<1，則：

.參考答案：16.已知△ABC中，∠C=90°，，分別為邊上的點，且，，則__________．參考答案：略17.在正方體中，下列敘述正確的是①過點僅能作一條直線與平面和平面都平行；②過點僅能作兩條直線與平面和平面均成；③過點能做四條直線與直線所成角都相等；④過點能作一條直線與直線都相交；⑤過點、的平面截正方體所得截面的最大值與正方形的面積比為。參考答案：①②③⑤略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列的前項和為，且，其中是不為零的常數(shù)．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）當(dāng)時，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．參考答案：（Ⅰ）證明：因為,則， 所以當(dāng)時，，整理得．-----------------4分 由，令，得，解得． 所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．

-----------------6分（Ⅱ）當(dāng)時，由（Ⅰ）知，則， 由，得，

-----------------8分當(dāng)時，可得＝，

-----------------10分 當(dāng)時，上式也成立．

∴數(shù)列的通項公式為．

-----------------12分

【解析】略19.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE．（1）證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【分析】解法1）（1）直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角．（2）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量的數(shù)量積判斷即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一個法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個法向量．根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案．【解答】解法1）（1）因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如圖1，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ACBD的交線．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，則tan=tan∠DPF===，解得．所以==故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，=．（解法2）（1）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=DC=1，BC=λ，則D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），點E是PC的中點，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，則DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一個法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個法向量．若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，則運用向量的數(shù)量積求解得出cos==，解得．所以所以==故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，=．20.（本小題滿分12分）某高校自主招生選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某同學(xué)能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、,且各輪問題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該同學(xué)被淘汰的概率；（Ⅱ）該同學(xué)在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）記“該同學(xué)能正確回答第輪的問題”的事件為，則，，，………………3分∴該同學(xué)被淘汰的概率．……６分（Ⅱ）的可能值為1,2,3，，，．………………8分∴的分布列為123P……１０分∴……１２分21.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中B,C為函數(shù)的最大值和最小值的對應(yīng)點，過點B與直線AB:垂直的直線BC被圓所截得