高中數(shù)學-3.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式教學設計學情分析教材分析課后反思

PAGE3PAGE3.1.2兩角和與差的正弦、正切公式教材分析：本節(jié)是人教A版必修4第三章第一節(jié)的第3.1.2節(jié)，是繼兩角和與差的余弦公式之后的另外四個三角恒等變換公式的學習，又是即將要學習的二倍角公式的基礎，是三角恒等變換的基石，起著重要的承前啟后的作用。在高考中，由于三角函數(shù)所占分值比重較重，而且三角恒等變換為?？碱}型，因此作為三角恒等變換的基礎，兩角和與差的正弦、正切公式又顯得尤為重要。3.1節(jié)（兩角和與差的正弦、余弦、正切公式）共分4課時，兩角和與差的余弦、正切公式為第2課時。教學目標：1、知識目標：①、通過利用兩角和與差的余弦公式對正弦、正切公式的探究，加強對和差角公式的認識。②、熟悉推導兩角和與差的余弦、正切公式的過程，體會三角變換的規(guī)律與技巧及代換法的作用。③、學會公式的簡單應用：正用與逆用。2、能力目標：①、通過對兩角和與差的正弦、正切公式的探究和推導，提高學生的邏輯推理能力。②、通過公式的靈活應用，培養(yǎng)學生的方程思想和變換能力。③、培養(yǎng)學生思維的有序性和表述的條理性。教學重、難點：教學重點：①兩角和與差的正弦、正切公式的推導過程與公式的運用。②培養(yǎng)學生用已有知識構建新知的能力，并且能掌握新知及應用新知的能力。教學難點：公式的探索，包括過程的組織和引導。教法學法：1、教師進行啟發(fā)引導式教學，指導學生主動參與公式的發(fā)現(xiàn)、推導和應用，對學生探究的結果、及公式應用的成果展示做合理的評價。2、學生采取自主探究、小組討論、合作交流的學習方式，并展示自己的學習成果。教學手段：教師利用多媒體平臺，展示教學內容與教學過程，學生用小黑板展示小組的探究成果。教學流程：溫故知新，創(chuàng)設情境明確探索目標及途徑組織學生自主探索通過例題、練習加強對公式的理解課堂小結作業(yè)布置教學過程：【溫故知新，復習引入】1、======2、C(α-β)=C(α+β)=由C(α-β)推導出C(α+β)的詳細過程：3、求值：==設計意圖：在復習、鞏固原有知識的同時，也為本節(jié)課做好知識儲備工作?！拘轮骄?】提問：正余弦之間如何轉化，可否利用cos(α+β)公式來推導sin(α+β)的公式？利用誘導公式可以實現(xiàn)正弦轉化為余弦，然后再用cos(α+β)公式來推導。在整個推導過程中，利用提問激發(fā)學生的思維，引導學生的思考方向，且讓學生意識到新舊知識之間緊密的關聯(lián)性。此推導過程師生共同完成，為接下來其它公式的探究做好示范。探究過程：，簡記為S(α+β)【新知探究2】提問：sin(α-β)公式如何推導？你能用幾種方法來推導？教師先給出提示：可以類比sin(α+β)公式的推導方法，即通過誘導公式轉化為由cos(α-β)公式來推導。也可以直接利用sin(α+β)來推導，即使用代換法。此探究過程由學生獨立完成，再組內交流，然后課堂展示。目的是培養(yǎng)學生獨立分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生用類比思想去解決問題的意識，培養(yǎng)學生使用剛獲取的知識來解決問題的意識，讓學生體會代換法的作用。教師根據學生的探究成果，總結以下公式：，簡記為S(α-β)【新知探究3】提問：tan(α+β)如何由tanα和tanβ表示出來？使用切化弦能否解決此問題？給出指令明確的提問，能正確地指引學生的思維方向，同時讓學生意識到在三角變換中切化弦是一種常用的方法。在探究過程中需提醒學生注意正切函數(shù)對角度范圍的要求，及分子分母同時除以時的運算。此探究過程師生一起合作完成。探究過程：，再分子分母同時除以，所以有：上式【新知探究4】思考1、請類比tan(α+β)公式的探究過程，推導出tan(α-β)公式。思考2、請用代換法推導出tan(α+β)公式。此探究過程由學生獨立完成，再組內交流，然后課堂展示，提醒學生注意角度范圍的限定。教師根據學生的探究成果，總結以下公式：簡記為T(α-β)【新知鞏固】提問：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式共6個，它們之間的有怎樣的規(guī)律及聯(lián)系？學生作答（1）6個公式中，和角公式與差角公式各為3個。（2）和角（或差角）公式之間可以互推。（3）同名公式之間通過代換法可以互推。（4）畫出6個公式之間的邏輯聯(lián)系框圖。CC(α+β)C(α-β)S(α+β)S(α-β)T(α+β)T(α-β)【新知鞏固】例題1、已知，是第四象限角，求，，的值。此例題注意事項：1、加強對公式的理解與應用。通過例題，訓練學生思維的有序性和表述的條理性。2、講解中提醒學生注意α的角度范圍。3、求解過程師生一起合作完成。思考1、將例中的條件“α是第四象限角”的條件去掉，即僅已知，則又該如何求解？(請給出求解思路)思考2、在此題中，若α為任意角，該等式是否成立？通過思考題，培養(yǎng)學生的解題習慣和分類討論思想，強化公式的應用，培養(yǎng)學生多角度思考問題的習慣。例題2、利用和(差)角公式計算下列各式的值強調公式的逆用，培養(yǎng)學生的逆向思維，第3、4小題需進行一個小的變形才能直接套用公式。課堂練習：1、求下列各式的值(1)cos75o(2)sin15o(3)tan15o(4)sin72ocos18o+cos72osin18o(5)sin34osin26o-cos34ocos26o2、已知，求的值。3、已知，是第三象限角，求的值。4、已知，求的值。通過課堂練習的訓練，加強學生對公式的理解與應用，培養(yǎng)學生在三角變換方面的答題習慣。此過程學生獨立完成，組內交流，再全班展示，教師對學生的答題作出點評?！菊n堂小結】提問1、兩角和與差的6個三角公式之間的有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？提問2、公式的逆用中需要注意什么？求兩角和（或差）的三角函數(shù)值時需要注意哪些問題？【板書設計】多媒體課件展示區(qū)多媒體課件展示區(qū)學生成果展示區(qū)學生成果展示區(qū)結論與公式板書區(qū)【課后作業(yè)】1、教材137頁第6、7、8、9、10題。2、選做題：教材132頁第6題。教學反思：本節(jié)課實現(xiàn)了教學目標的要求。該部分內容的教學主要是借助老師的引導，讓學生自己去探究公式，重在探究的過程，而不是僅僅告知學生一個數(shù)學公式。學生在探究的過程中，數(shù)學思維得到了訓練，感受到了新舊知識之間緊密的關聯(lián)性，體會到了代換法的快捷。公式的應用上應以基礎題為主，從而達到熟悉公式的目的，同時學生的逆向思維也得到了訓練。學情分析一．學生數(shù)學學習的現(xiàn)狀現(xiàn)我擔任高一（3）、（4）兩個班學生數(shù)學課，這兩個班都為文科普通班，共有學生80人，學生學習基礎普遍較差，而且在教學實踐中，我們發(fā)現(xiàn)很多學生在數(shù)學學習中非常地被動，而且一連幾次考試成績都不理想，一般的同學學習目的明確，都想考大學，將來進一步深造報效祖國，但學習態(tài)度時好時歹不能堅持，尤其是學習過程中不良的學習習慣、方法嚴重阻礙了學生學習效率的提高，也不利于學生學習品質的改善，制約了學生全面素質的提高。這些不良學習習慣主要表現(xiàn)在以下幾點：1、課前沒有做好預習2、上課聽課效率差，注意力不能集中人在教室心不在教室現(xiàn)象比較嚴重3、數(shù)學筆記習慣照搬抄老師板書不動腦筋，甚至以記代“聽”，以記代“思”4、作業(yè)是邊翻書(或翻筆記)邊做的，作業(yè)抄襲學生較多5、考試沒有信心，怯場，不注意審題，時常出現(xiàn)看錯，看漏現(xiàn)象。解題速度慢，不能科學合理地解題6、學生基礎普遍不扎實，對知識的融會貫通能力較差等。二．對策分析1．發(fā)揮引導作用，抓住學法指導的首要環(huán)節(jié)①加強課前預習的指導②加強聽課方法的指導③加強記數(shù)學筆記方法的指導④加強做作業(yè)方法的指導⑤加強應考能力的指導2．發(fā)揮主導作用，抓住學法指的主要環(huán)節(jié)學生的學與教師的教密切相關，教師“善教”，學生才能“善學”、“樂學”、“會學”，進而“主動學”、“創(chuàng)造性學”，從而達到“持續(xù)發(fā)展地學”。反之，學生會視學習為苦差，甚至產生消極、對立、厭學的情緒，因此，教師在課堂上真正發(fā)揮其主導作用是學法指導的主要環(huán)節(jié)。①創(chuàng)設問題情景，發(fā)展良好的非智力因素②暴露思維過程，啟示導學③引導學生歸納總結，促進導學教師應在平時教學中幫助、引導學生學會總結、歸納，形成比較完整有序的知識結構、學生往往會在“輕松學習”的實踐中發(fā)展意義識記能力。3.加強教師個人教學水平，提高教學有效性。不斷加強新課程理念的培訓和學習，學會用新教學理念進行教學，并向優(yōu)秀教師學習請教，提高個人業(yè)務素養(yǎng)。4.加強與學生的交流互動，了解學生的學習狀況，做好學生的思想教育工作，培養(yǎng)學生良好的學習態(tài)度，搞好師生關系，提高教學和諧度。5．成立學習興趣小組，讓學生自主學習，教師輔助輔導，提高學生的學習興趣。總之，還要更加努力，關心和幫助學生，為了學生的健康成長，不斷努力吧。效果分析1.能有效提高課堂效率通過對比研究，我們認為分層教學能激發(fā)學生的學習興趣，最大限度地滿足了不同層次學生的需要，充分體現(xiàn)了因材施教的教育原則。學生的學習方法更加靈活多樣，學生對掌握學習方法的興趣越來越濃，師生間、學生間的交流大幅度提高，創(chuàng)設了一個民主和諧的課堂氛圍，從而有效地提高了課堂教學效率。2.能有效地促進同步教學中的分層練習學生學習了新的內容后，要把獲得的新知識加以鞏固、加深，才能達到預期的教學目的。在小組討論這一環(huán)節(jié)中，教師根據學生之間的差異，從學生的知識掌握的程度，設計了當堂達標練習，由學生按照自己的學習基礎、學習興趣來選擇適合自己水平的練習，鞏固所學知識。3.能有效促進化學課堂逐層進化分層練習，避免了傳統(tǒng)的單一練習的問題，同時，在分層練習中，教師不是硬性規(guī)定某一層學生要做相應的一層練習，而是設置學習的“階梯”，為學生提供前進機會，鼓勵學生在掌握完成本層次目標的同時，選擇高一層目標，使學生在學習過程中看到自己的進步，從而促進其個體的發(fā)展，實現(xiàn)向高一層次目標靠攏的目的。4.有利于提高學生學習的積極性小組討論教學由于把差異不大的學生分在一組，增加了學生間的競爭意識，使學生在原來學習的基礎上更進一步掌握技巧和技能，提高學生學習的積極性，學生的學習由被動接受轉為主動學習，從而達到了化學課教學的目的，提高了課的質量。1．教材的地位和作用本節(jié)是人教A版必修4第三章第一節(jié)的第3.1.2節(jié)，是繼兩角和與差的余弦公式之后的另外四個三角恒等變換公式的學習，又是即將要學習的二倍角公式的基礎，是三角恒等變換的基石，起著重要的承前啟后的作用。在高考中，由于三角函數(shù)所占分值比重較重，而且三角恒等變換為?？碱}型，因此作為三角恒等變換的基礎，兩角和與差的正弦、正切公式又顯得尤為重要。3.1節(jié)（兩角和與差的正弦、余弦、正切公式）共分4課時，兩角和與差的余弦、正切公式為第2課時。2．教學目標：知識目標：①、通過利用兩角和與差的余弦公式對正弦、正切公式的探究，加強對和差角公式的認識。②、熟悉推導兩角和與差的余弦、正切公式的過程，體會三角變換的規(guī)律與技巧及代換法的作用。③、學會公式的簡單應用：正用與逆用。能力目標：①、通過對兩角和與差的正弦、正切公式的探究和推導，提高學生的邏輯推理能力。②、通過公式的靈活應用，培養(yǎng)學生的方程思想和變換能力。③、培養(yǎng)學生思維的有序性和表述的條理性。情感目標：通過公式的推導、論證過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的嚴謹、求實的科學態(tài)度。通過老師啟發(fā)引導、鼓勵學生大膽嘗試，培養(yǎng)學生勇于探索創(chuàng)新的精神。3．教學重點、難點：數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程，是數(shù)學學習的一種新的方式，它為學生提供自主學習的空間，有助于學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用。高一學生雖然具有一定的抽象思維能力，但是從實際中抽象出數(shù)學模型對于學生來說還是比較困難的，需要老師的正確引導。由此制定出本節(jié)課的重難點如下：教學重點:①兩角和與差的正弦、正切公式的推導過程與公式的運用。②培養(yǎng)學生用已有知識構建新知的能力，并且能掌握新知及應用新知的能力。教學難點:探索過程的組織和適當引導。這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等。、兩角和差的正弦余弦正切公式練習題知識梳理1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．有關公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a)一、選擇題1．給出如下四個命題 ①對于任意的實數(shù)α和β，等式恒成立；②存在實數(shù)α，β，使等式能成立；③公式成立的條件是且；④不存在無窮多個α和β，使；其中假命題是 （） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④2．函數(shù)的最大值是 （）A． B． C． D．23．當時，函數(shù)的 （）A．最大值為1，最小值為－1 B．最大值為1，最小值為C．最大值為2，最小值為－2 D．最大值為2，最小值為－14．已知的值 （）A． B． C． D．5．已知 （）A． B．－ C． D．－6．的值等于 （）A． B． C． D．7．函數(shù)其中為相同函數(shù)的是 （）A． B． C． D．8．α、β、都是銳角，等于 （）A． B． C． D．9．設的兩個根，則p、q之間的關系是（）A．p+q+1=0 B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=010．已知的值是 （）A． B．－ C． D．11．在△ABC中，，則與1的關系為 （）A． B．C． D．不能確定12．的值是 （）A． B． C． D．二、填空題（每小題4分，共16分，將答案填在橫線上）13．已知，則的值為.14．在△ABC中，，則∠B=.15．若則=.16．若的取值范圍是.三、解答題（本大題共74分，17—21題每題12分，22題14分）17．化簡求值：．18．已知是方程的兩根，求的值.19．求證：．20．已知α，β∈（0，π）且，求的值.21．證明：.22．已知△ABC的三個內角滿足：A+C=2B，求的值.兩角和差的正弦余弦正切公式練習題參考答案一、1．C2．A3．D4．D5．B6．C7．C8．B9．B10．D11．B12．A二、13．m14．15．16．三、17．原式==．18．， ．19．證： 右．20．21．左=右．22．由題設B=60°，A+C=120°，設知A=60°+α，C=60°－α，故．課后反思本節(jié)課的實施從整體上說是比較順利的，教學目標基本達到。為遵循“以學生為主，教師為輔”的原則，在我的引導下，學生的思維活動展開的比較充分，在課堂上學生積極參與，積極探索，學習的熱情較高，在對公式的理解，思想方法分析能力,邏輯的體會，以及運算推理能力的提高等方面都有較大的進步。針對上課情況反映出來的問題，現(xiàn)在我談談在上完這節(jié)課之后的感想，作一小結和反思，以便更好的服務于課堂教學。一、教學要求分析知識與技能：①、通過利用兩角和與差的余弦公式對正弦、正切公式的探究，加強對和差角公式的認識。②、熟悉推導兩角和與差的余弦、正切公式的過程，體會三角變換的規(guī)律與技巧及代換法的作用。③、學會公式的簡單應用：正用與逆用。過程與方法：通過對兩角和與差的正弦、正切公式的探究和推導，提高學生的邏輯推理能力。情感、態(tài)度與價值觀：讓學生感受數(shù)學知識的相互聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理的思維能力，樹立創(chuàng)新意識和應用意識，提高數(shù)學素質。二、教學內容分析本節(jié)內容是人教A版必修4第三章《三角恒等變換》的第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》的第二小節(jié)。本節(jié)是人教A版必修4第三章第一節(jié)的第3.1.2節(jié)，是繼兩角和與差的余弦公式之后的另外四個三角恒等變換公式的學習，又是即將要學習的二倍角公式的基礎，是三角恒等變換的基石，起著重要的承前啟后的作用。在高考中，由于三角函數(shù)所占分值比重較重，而且三角恒等變換為?？碱}型，因此作為三角恒等變換的基礎，兩角和與差的正弦、正切公式又顯得尤為重要。3.1節(jié)（兩角和與差的正弦、余弦、正切公式）共分4課時，兩角和與差的余弦、正切公式為第2課時。然而為了更好的構建學生的知識體系，在學生學習完第一章后，能夠直接進入第三章的學習，就必須給出另外一種推導兩角和與差余弦公式的方法。因為該公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基礎，是本章公式推導的“源”。所以兩角和與差的余弦公式不僅起著承上啟下的核心作用，也是高考的重點考點。三、教學過程分析（一）情景導入自然課本中以一個實際問題作為引子，開門見山地在提出問題所以先讓學生有一個直觀的認識，這幾個等式是不一定成立的，從而引出二倍角公式的相關內容。（二）例子有效變式本節(jié)課共有兩個例子，兩個例子圍繞變換的目標，變換的內容，變換的方法，變換的結果，都在原例子的基礎上變了形，然后增加了變式，同時要求學生能舉一反三，通過對例子的講解，能對變式訓練進一步掌握，從而能夠對兩角差的余弦公式的靈活應用?。ㄈ┚毩晫哟畏置鳛槭箤W生熟悉公式，并做到對公式的深刻理解，我設計了三個梯度。梯度一：倍角的相對性；梯度二：熟練公式結構；梯度三：靈活應用公式。由簡到難，從簡到繁，層層推進，這樣遵循學生認知規(guī)律，明晰學生思維特點及能力，在學習中充分體現(xiàn)學生的主體性及獨立性，并且給予學生足夠的時間及空間去體驗學習過程。（四）師生互動良好學生是課堂的主人，所以要把課堂還給學生。我也朝這個方向努力，學生能自己解決的問題讓學生自己解決，所以本節(jié)課師生互動還可以。（五）多媒體使用恰當在上課之前，花了很多心思在做課件上，所以課件還算精美！特別在推導公式過程中，能夠直觀、形象地顯示出推導變換過程，學生容易明白其中原委。并且為了節(jié)約時間，上課時把學生的演算過程用投影儀多次投象，這樣，學生既可以看清楚同學的做題思路，又可以糾正錯誤的地方?。┣楦酗枬M語言豐富蘇霍姆林斯基曾說：“有激情的課堂教學，能夠使學生帶著一種高漲的激動的情緒從事學習和思考?！奔で橛兄S富的內涵，它能夠喚醒沉睡的潛能，打開封存的記憶，激活僵化的思維，放飛囚禁的心情，在課堂教學中老師要用自己的激情和智慧為學生創(chuàng)設一個民主的、開放的課堂。語言幽默風趣，肢體語言豐富，這著實給課堂帶來活躍的氣氛。（七）不足之處1、一堂課下來雖然比較順暢，但在把握一堂課里的重難點還需再斟酌。本節(jié)課主要解決什么問題？一定要弄清楚。2、在例子的選擇上還可以再推敲。不僅僅要具有代表性，更需要提供解題的思路與方法。3、在課堂中，基本上能調動學生的積極性，讓學生參與的教學中。但在如何更有效的提問還可以再商榷。4、課堂時間的安排能否更加合理。讓學生可以多動腦，多動手！老師霸占課堂的時間不要過多。把課堂真正的還給學生。四、今后努力方向在今后的教學工作中，需不斷總結、反思。作為數(shù)學教師，一方面要激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感覺到每解決一個數(shù)學問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業(yè)素養(yǎng)。在總結、反思中不斷提升自己的教學水平，以適應課程改革的教學需要。一、課標要求：本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換.三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結合點上.通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學生體會