湖南省衡陽市 縣漢中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

湖南省衡陽市縣漢中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，則M∪N=A. B.C. D.R參考答案：D【分析】先解出集合與，再利用集合的并集運(yùn)算得出.【詳解】，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，在計(jì)算無限數(shù)集時(shí)，可利用數(shù)軸來強(qiáng)化理解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2.已知函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]參考答案：C【考點(diǎn)】3G：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)；4P：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【分析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．【解答】解：若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C3.兩圓與的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．相離 D．內(nèi)含參考答案：B【考點(diǎn)】QK：圓的參數(shù)方程．【分析】把兩圓為直角坐標(biāo)方程，求出兩圓的圓心，半徑，圓心距，由此能判斷兩圓與的位置關(guān)系．【解答】解：圓的普通方程為（x+3）2+（y﹣4）2=4，圓心O1（﹣3，4），半徑r1=2，圓的普通方程為x2+y2=9，圓心O2（0，0），半徑r2=3，圓心距|O1O2|==5，∵|O1O2|=r1+r2=5，∴兩圓與的位置關(guān)系是外切．故選：B．4.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1,則AB1與C1B所成的角的大小是（

）A

600

B900

C300

D

450參考答案：B5.函數(shù)的一段圖象為

參考答案：B 略6.以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（

）參考答案：A略7.“”是“”的A．必要不充分條件

B．充分不必要條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略8.在中,已知向量,,則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C9.把正方形沿對(duì)角線折起,當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.在正四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不正確的是（

）A.BC//平面PDF

B.

DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABC

D.

平面PAE⊥平面ABC參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為__________．參考答案：由圖得，此圖形是由一個(gè)長(zhǎng)為，寬為，高為的長(zhǎng)方體和一個(gè)底面半徑，高為的圓錐組成，所以，．∴體積為．12.若k∈R，則“k>3”是“方程＝1表示雙曲線”的

條件.（填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”條件）參考答案：充分不必要條件13.設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上滿足,那么的面積是_______________.參考答案：1略14.求和：________.參考答案：15.過拋物線：焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則

．參考答案：拋物線C：焦點(diǎn)是（2,0），準(zhǔn)線方程為x=-2，設(shè)的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，，根據(jù)題意，，．16.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是

．【解析】72

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為2，做出面積相減，得到結(jié)果．【解答】解：考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為故小三角形的邊長(zhǎng)為2小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為﹣=18，∴幾何體中的四個(gè)面小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是4×18=72故答案為：72參考答案：72

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為2，做出面積相減，得到結(jié)果．【解答】解：考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為故小三角形的邊長(zhǎng)為2小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為﹣=18，∴幾何體中的四個(gè)面小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是4×18=72故答案為：72【答案】17.已知函數(shù)f（x）=+x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，由題意可得，判別式大于0，解不等式即可得到．【解答】解：函數(shù)f（x）=+x+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+2ax+1由于函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在五面體ABCDPN中，棱PA⊥底面ABCD，AB=AP=2PN.底面ABCD是菱形，∠BAD=.（Ⅰ）求證：PN∥AB；（Ⅱ）求二面角B-DN-C的余弦值.參考答案：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中點(diǎn)，則由題意知，∵，∴.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，，得，令，則，，即，同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，令，則，，即，∴，即二面角的余弦值為.19.如圖，在某海濱城市O附近的海面上正形成臺(tái)風(fēng)．據(jù)氣象部門檢測(cè)，目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O的南偏東15°方向200km的海面P處，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移動(dòng)．如果臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為100km，并以20km/h的速度不斷增大．幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲（精確到0.1h）？參考答案：【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】根據(jù)題意可設(shè)t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)A點(diǎn)，該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲，如圖△PAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°﹣15°=60°，利用余弦定理建立關(guān)系即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)A點(diǎn)，該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲，如圖△PAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°﹣15°=60°，由余弦定理得，2=100t2+40000﹣2×10t×200×cos60°，化簡(jiǎn)得t2+20t﹣100=0，解得．答：大約4.1小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AF⊥平面PCD；（Ⅱ）求直線PB與平面ABF所成角的正切值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明AF⊥平面PCD，利用線面垂直的判定定理，只需證明AF⊥PD，CD⊥AF即可；（Ⅱ）證明∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角，求出PF，BF的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：如圖右，因?yàn)椤鱌AD是正三角形，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，所以AF⊥PD，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以CD⊥AD又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且AD=面PAD∩面ABCD；所以CD⊥平面PAD，而AF?平面PAD，所以CD⊥AF，且CD∩PD=D，所以AF⊥平面PCD．…；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）證明可知，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD因?yàn)镻D?平面PAD，所以AB⊥PD，又由（Ⅰ）知AF⊥PD，且AF∩AB=A，所以PD⊥平面ABF，即∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角…∵AB=2，，∴Rt△BAF中，，所以，即求．…〖注〗若用等體積法，參照標(biāo)準(zhǔn)同樣分步計(jì)分．21.已知x，y之間的一組樣本數(shù)據(jù)如下表：x2y3040506070觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：這5組樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集中在二次曲線y=bx2+a附近．（1）求y與x的非線性回歸方程（2）求殘差平方和及相關(guān)指數(shù)R2．參考答案：【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程；BR：可線性化的回歸分析．【分析】（1）由題意，（，50），（，60）代入，可得，求出a，b，即可求y與x的非線性回歸方程（2）利用公式求殘差平方和及相關(guān)指數(shù)R2．【解答】解：（1）由題意，（，50），（，60）代入，可得，解得b=10，a=0，∴y與x的非線性回歸方程為y=10x2；（2）=（30+40+50+60+70）=50，∴總偏差平方和為（30﹣50）2+（40﹣50）2+（50﹣50）2+（60﹣50）2+（70﹣50）2=