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文檔簡介
2021年湖南省永州市陽華中學高三數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知集合為A. B. C. D.參考答案:B略2.設(shè),,且,則 A. B. C. D.參考答案:C3.已知,則的最小值是(
)A.4
B.3
C.2
D.1參考答案:A4.已知直線和圓,點在直線上,為圓上兩點,在中,,過圓心,則點的橫坐標的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D設(shè),則圓心到直線的距離,由直線與圓相交,得.解得5.路燈距地平面為8m,一個身高為1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走,從路燈在地平面上射影點C,沿某直線離開路燈,則人影長度的變化速率為(
)A.
B.
C.
D.21
參考答案:B6.已知等比數(shù)列中,公比若則有(
)(A)最小值-4
(B)最大值-4
(C)最小值12
(D)最大值12參考答案:B當且僅當時取=號
7.四面體A-BCD中,,,,則四面體A-BCD外接球的表面積為(
)A.50π
B.100π
C.150π
D.200π參考答案:A由題意可采用割補法,考慮到四面體的四個面為全等的三角形,所以可在其每個面補上一個以為三邊的三角形作為底面,且分別以為長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐,從而可得到一個長、寬、高分別為的長方體,并且,設(shè)球半徑為,則有,∴,∴球的表面積為.故選A.8.一個棱錐的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖為邊長為1的正三角形,則四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面的面積是(
)A.
B.1
C.
D.參考答案:D9.圓和圓的位置關(guān)系是(
). A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.外切 D.外離參考答案:C∵圓的標準方程為:,表示以為圓心,半徑為的圓,∴兩圓圓心距為,正好等于半徑之和,∴兩圓相外切,選擇.10.設(shè)全集,集合,,則等于(
)A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}參考答案:B【分析】根據(jù)補集和并集的定義可計算出集合.【詳解】由題意可得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查補集和交集的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合,,則.參考答案:因為,所以。12.給定下列四個命題:①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行;②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中,為真命題的是
。參考答案:②④略13.的展開式中,常數(shù)項為20,則實數(shù)a的值為
.參考答案:1【考點】DB:二項式系數(shù)的性質(zhì).【分析】利用通項公式即可得出.【解答】解:的通項公式為:Tr+1==arx6﹣2r.令6﹣2r=0,或6﹣2r=﹣1,解得r=3,r=(舍去).∴a3=20,解得a=1.故答案為:1.14.若,則目標函數(shù)的取值范圍是
參考答案:答案:
15.已知雙曲線的右焦點為圓的圓心,且其漸近線與該圓相切,則雙曲線的標準方程是
.參考答案:圓
的圓心為
,半徑為
1
,即有,
即,
即
,雙曲線的漸近線方程為,由直線和圓相切的條件,可得:可得雙曲線的標準方程為.16.設(shè)集合,要使,則實數(shù)的取值范圍是
.參考答案:17.在實數(shù)集中,我們定義的大小關(guān)系“”為全體實數(shù)排了一個“序”.類似的,我們在平面向量集上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系,記為“”.定義如下:對于任意兩個向量,當且僅當“”或“”.按上述定義的關(guān)系“”,給出如下四個命題:①若,則;②若,則;③若,則對于任意,;④對于任意向量,,若,則.其中真命題的序號為
;參考答案:①
②
③(1)①顯然正確(2)設(shè)由,得“”或“”由,得“”或“”,則若“”且“”,則,所以若“”且“”,則,所以若“”且“”,則,所以綜上所述,若,則
所以②正確
(3)設(shè),則由,得“”或“”若,則,所以若,則,所以綜上所述,若,則對于任意,所以③正確(4)由得“”或“”由得“”或“”若“”且“”,則,所以
所以所以④不正確
綜上所述,①②③正確,選B三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處切線方程;(2)求函數(shù)的最大值和最小值.參考答案:(1);(2)最小值為,最大值為.【分析】(1)對函數(shù)求導,計算出切線的斜率,以及的值,再利用點斜式可寫出所求切線的方程;(2)對函數(shù)求導,求出該函數(shù)的極值點,列表分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,然后比較極值與端點函數(shù)值的大小關(guān)系,即可得出函數(shù)的最大值和最小值.【詳解】(1),斜率,切點.所以切線方程為,即;(2),令,得,當變化時,、的變化情況如下表:
↗極大值↘極小值↗
所以函數(shù)的最小值為,最大值為.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值,解題時要注意導數(shù)應(yīng)用的一些基本步驟,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.19.設(shè)是實數(shù),。(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求的值;(2)試證明:對于任意,在R上為單調(diào)函數(shù);(3)若函數(shù)為奇函數(shù),且不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍。參考答案:(1),且
(注:通過求也同樣給分)
(2)證明:設(shè),則
==
,
即
所以在R上為增函數(shù)。
(3)因為為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),
由得即對任意恒成立。令,問題等價于對任意恒成立。令,其對稱軸。當即時,,符合題意。當時,對任意恒成立,等價于解得:綜上所述,當時,不等式對任意恒成立。20.已知0<β<π,且sin(α+β)=,tan=.(1)求cosα的值;(2)求sinβ的值.參考答案:【考點】兩角和與差的正弦函數(shù).【專題】三角函數(shù)的求值.【分析】(1)由條件利用兩角和的正切公式求得tanα的值,再根據(jù)sin2α+cos2α=1,0<β<π,求得cosα的值.(2)由條件同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos(α+β),再利用兩角差的正弦公式求得sinβ=sin[(α+β)﹣α]的值.【解答】解:(1)把tan=代入tanα=,求得tanα==,再根據(jù)sin2α+cos2α=1,0<β<π,求得sinα=,cosα=.(2)由0<β<π,可得<α+β<,再根據(jù)sin(α+β)=,可得α+β∈(,π),∴cos(α+β)=﹣,∴sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=﹣(﹣)×=.【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的三角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當對于任意的,不等式恒成立,求正實數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1)當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時函數(shù)在,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減;(2)【分析】(1)求得后,分別在、、、的情況下討論的符號,從而可得函數(shù)的單調(diào)性;(2)將問題變?yōu)椋敃r,,從而構(gòu)造關(guān)于的不等式,解不等式可知不合題意;當時,,可知,構(gòu)造函數(shù),可求得,從而可得的范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為.①當時當或時,;當時,在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減②當時,,在上單調(diào)遞增③當時當或時,;當時,在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減④當時當時,;當時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增綜上所述:當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時函數(shù)在,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減(2)由題意知:由(1)知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則得,即:解得:或,不合題意當時,在上單調(diào)遞增;上單調(diào)遞減整理得:令,則當時,,則在上單調(diào)遞增,即時,恒成立綜上所述:【點睛】本題考查討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求解恒成立問題.解決恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較,從而可構(gòu)造出關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式可求得結(jié)果.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=(sinωx+cosωx)cosωx﹣(x∈R,ω>0).若f(x)的最小正周期為4π.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.參考答案:【考點】正弦定理;正弦函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)利用倍角公式、和差公式可得f(x),利用周期公式、單調(diào)性即可得出.(2)(2a﹣c)cosB=bcosC,利用正弦定理可得(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,再利用和差公式可得:B,可得A∈,即可得出.【解答】解:(1)f(x)=sin(2ωx)+cos(2ωx)=,∴4π=,解得ω=.∴f(x)=sin.由+2kπ≤+≤+2kπ,解得4kπ﹣≤x≤+4kπ,k
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