有限沖激響應(yīng)濾波器的設(shè)計

有限沖激響應(yīng)濾波器的設(shè)計第1頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月有限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的特點:有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）可以做成具有嚴格的線性相位，同時又可以具有任意的幅度特性。FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，因而FIR濾波器一定是穩(wěn)定的。只要經(jīng)過一定的延時，任何非因果有限長序列都能變成因果的有限長序列，總能用因果系統(tǒng)來實現(xiàn)。FIR濾波器由于單位沖激響應(yīng)是有限長的，因而可以用快速傅里葉變換（FFT）算法來實現(xiàn)過濾信號，從而可大大提高運算效率。但是，要取得很好的衰減特性，F(xiàn)IR濾波器H(z)的階次比IIR濾波器的要高。本章主要討論線性相位濾波器的設(shè)計。第2頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1線性相位FIR濾波器的特點7.1.1線性相位條件如果一個線性移不變系統(tǒng)的頻率響有如下形式：

（7.1）則其具有線性相位。這里是一個實數(shù)。因而，線性相位系統(tǒng)有一個恒定的群延時

（7.2）τ＝－dθ(ω)/dω第3頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月在實際應(yīng)用中，有兩類準確的線性相位，分別要求滿足

（7.3）（7.4）

FIR濾波器具有式（7.3）的線性相位的充分必要條件是：單位抽樣響應(yīng)關(guān)于群延時偶對稱，即滿足：（7.5）(7.6)

βωθ(ω)θ(ω)ω第4頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月滿足式（7.5）和式（7.6）的偶對稱條件的FIR濾波器分別稱為:I型線性相位濾波器(N為奇數(shù))Ⅱ型線性相位濾波器(N為偶數(shù))

第5頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月FIR濾波器具有式（7.4）的線性相位的充分必要條件是：單位抽樣響應(yīng)關(guān)于群延時奇對稱，即滿足

（7.7）（7.8）（7.9）第6頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月把滿足式（7.7）、（7.8）和式（7.9）的奇對稱條件的FIR濾波器分別稱為:Ⅲ型線性相位濾波器(N為奇數(shù))Ⅳ型線性相位濾波器

(N為偶數(shù))

第7頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月1．I型線性相位濾波器(偶對稱，N為奇數(shù))

幅度函數(shù)和相位函數(shù)的特點：幅度函數(shù)對偶對稱，同時對也呈偶對稱；相位函數(shù)為準確的線性相位。7.1.2線性相位濾波器頻率響應(yīng)的特點π2πωH(ω)0π2πω0θ(ω)-(N-1)π第8頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2．Ⅱ型線性相位濾波器(偶對稱，N為偶數(shù))Ⅱ型線性相位濾波器的幅度函數(shù)和相位函數(shù)的特點：幅度函數(shù)的特點：（1）當ω=π時，H(π)=0,也就是說H(z)在z=-1處必然有一個零點；（2）H(ω)對ω=π呈奇對稱，對ω=0,2π呈偶對稱。相位函數(shù)的特點：準確的線性相位π2πω0θ(ω)-(N-1)πωπ2π0H(ω)第9頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3．Ⅲ型線性相位濾波器(奇對稱，N為奇數(shù))Ⅲ型線性相位濾波器的幅度函數(shù)和相位函數(shù)的特點：幅度函數(shù)的特點：（1）當ω=0,π,2π時，H(ω)=0,也就是H(z)說在z=±1處都為零點；（2）H(ω)對ω=0,π,2π都呈奇對稱。相位函數(shù)的特點：既是準確的線性相位，又增加了π/2的相移，又稱90o移相器。π2πω0θ(ω)-(N-3/2)ππ/2ωπ2π0H(ω)第10頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月4．Ⅳ型線性相位濾波器(奇對稱，N為偶數(shù))Ⅳ型線性相位濾波器的幅度函數(shù)和相位函數(shù)的特點：幅度函數(shù)的特點：（1）當ω=0,2π時，H(ω)=0,也就是說H(z)在z＝1處為零點；（2）H(ω)在ω=0,2π處呈奇對稱，在ω＝π處呈偶對稱。相位函數(shù)的特點：既是準確的線性相位，又增加了π/2的相移，又稱90o移相器。π2πω0θ(ω)-(N-3/2)ππ/2ωπ2π0H(ω)第11頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2窗函數(shù)設(shè)計法7.2.1設(shè)計方法給出所要求的理想低濾波器頻率響應(yīng)設(shè)計一個FIR濾波器頻率響應(yīng)逼近

第12頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一、窗函數(shù)設(shè)計法的原理設(shè)計是在時域進行

以一個截止頻率為ωC線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例。設(shè)低通特性的群延時為α，即ωC－ωC0ωHd(ω)1第13頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月hd(n)nN-10α=(N-1)/2h(n)=hd(n)RN(n)hd(n)是中心點在α的無限長序列，取矩形窗就可以得到有限長序列。nN-10RN(n)1第14頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月依照線性相位濾波器的約束，h(n)必須是偶對稱的，對稱中心就為長度的一半(N-1)/2.因此有第15頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月二、加窗處理對頻率響應(yīng)的影響按照復(fù)卷積公式，時域相乘，則在頻域上是周期性卷積關(guān)系，即矩形窗的頻率特性第16頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月WR(ejω)就是頻率內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù)WR(ω)在ω＝±2π/N之內(nèi)為一個主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，WR(ω)是周期函數(shù)。ω2π/N-2π/N0WR(ω)第17頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月理想低通濾波器的頻率響應(yīng)FIR濾波器的頻率響應(yīng)第18頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月ω＝ωCω＝ωC－2π/Nω＝ωC+2π/NωCωC-ωC2π/N-2π/N0.5第19頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月加窗處理對理想矩形頻率產(chǎn)生的幾點影響：1、使理想頻率特性在不連續(xù)點處形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗頻率響應(yīng)的主瓣寬度△ω＝4π/N；2、在截止頻率ω＝ωC±2π/N的地方，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，在肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的多少；3、當截取長度增加時，只會減小過渡帶的寬度4π/N,而不會改變肩峰的相對值，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。第20頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月取，即取矩形窗

例7.1設(shè)計一低通濾波器，所希望的頻率響應(yīng)截止頻率在之間為1，在之間為0，分別取N=11,21,41，觀察其頻譜響應(yīng)的特點。解：

第21頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月當N=11時，求得

顯然，滿足對稱關(guān)系。根據(jù)序列h(n)，分別求得N=11,21,41時的幅頻特性

第22頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖可以看出，當N取的過小時，通頻帶過窄，且阻帶內(nèi)波紋較大，過渡帶較寬，當N增大時，H(ejω)與Hd(ejω)的近似程度越來越好。但當N增大時，通帶內(nèi)出現(xiàn)了波紋，而且隨著N的繼續(xù)增大，這些波紋并不消失，只是最大的尖峰處越來越接近于間斷點，這種現(xiàn)象稱作吉布斯現(xiàn)象。

吉布斯現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于對突然截短的結(jié)果。

為了減少吉布斯現(xiàn)象，應(yīng)選取旁瓣較小的窗函數(shù)。

第23頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月希望窗函數(shù)滿足兩個要求：1、窗譜主瓣盡可能的窄，以獲得較陡的過渡帶；2、盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是使能量盡量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小，可增大阻帶的衰減。選用其它形狀的窗函數(shù)，在邊沿處(n=0和n=N-1附近)的變換比矩形窗要緩慢和平緩，這樣可以減小陡峭邊沿所引起的旁瓣分量，使阻帶衰減增大；但是窗譜的主瓣寬度就比矩形窗要寬，這會造成濾波器幅度函數(shù)過渡帶的加寬。7.2.2各種窗函數(shù)第24頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月1．矩形窗窗函數(shù)為

幅度函數(shù)為主瓣寬度，過渡帶寬。2．漢寧（Hanning）窗（又稱升余弦窗）窗函數(shù)為

幅度函數(shù)為主瓣寬度，過渡帶寬。第25頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3．海明（Hamming）窗（又稱改進的升余弦窗）窗函數(shù)為幅度函數(shù)為主瓣寬度，過渡帶寬。4.凱澤（Kaiser）窗窗函數(shù)為其中為第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個可自由選擇的參數(shù)，改變值就可對主瓣寬度與旁瓣衰減進行選擇，一般選擇。過渡帶寬。第26頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2.3窗函數(shù)的設(shè)計方法1、給定要求的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)；2、對Hd(ejω)求離散傅立葉反變換，得到hd(n);3、由過渡帶寬度及阻帶最小衰減的要求，選定窗的形狀和N的大??；4、求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n);5、對h(n)求傅立葉變換，得到H(ejω)，檢驗是否滿足要求，若不滿足，則需要重新設(shè)計。第30頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.2：設(shè)計一個線性相位的FIR濾波器，給定抽樣頻率為Ωc＝2π×1.5×104(rad/sec),通帶截止頻率為Ωp＝2π×1.5×103(rad/sec),阻帶起始頻率為Ωst＝2π×3×104(rad/sec),阻帶的衰減不小于－50dB.解：1、求對應(yīng)的數(shù)字頻率。通帶截止頻率：

阻帶起始頻率：

阻帶衰減相當于10.5-50dB0ΩpΩcΩstΩ|H(jΩ)|第31頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2、設(shè)理想線性相位濾波器Hd(ejω)為求理想低通濾波器的截止頻率第32頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3、確定窗形狀及N的大小由阻帶衰減50dB查表，可選海明窗，其阻帶最小衰減－53dB符合要求。要求的數(shù)字頻域的過渡帶寬度△ω＝0.2π而海明窗過渡帶帶寬滿足△ω＝6.6π/N因此N=6.6π/△ω=6.6π/0.2π=33

τ=(N-1)/2=16第33頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月4、由海明窗表達式確定FIR濾波器的h(n)5、由h(n)確定H(ejω)，再檢驗指標是否符合要求，如果不滿足，則改變N或窗函數(shù)的形狀來重新計算。第34頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3頻率抽樣設(shè)計法

頻率抽樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)加以等間隔抽樣，即

令（7.42）由DFT定義，得（7.43）第36頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月可求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（7.44）該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為（7.45）第37頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)過推導(dǎo)，有（7.46）由式（7.46）可知，是由內(nèi)插函數(shù)（7.47）的插值所決定的，即

第38頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由內(nèi)插公式（7.47）可知，在各頻率抽樣點上，濾波器的實際頻率響應(yīng)嚴格地和理想頻率響應(yīng)值相等。但是在抽樣點之間的頻率響應(yīng)則是由N個離散值作為權(quán)重和插值函數(shù)線性組合的結(jié)果。顯然抽樣點N取得越大，近似程度越好，N的選取要視在通帶和阻帶內(nèi)的技術(shù)要求而定。（7.47）第39頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月的指定原則（3）由求出的應(yīng)具有線性相位。（1）在通帶內(nèi)可令||=1，阻帶內(nèi)||=0，且在通帶內(nèi)賦給一相位函數(shù)；（2）指定的應(yīng)保證由式（7.43）求出的是實序列；第40頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月的指定

由式（7.46）知，若保證

則就具有線性相位，。

并考慮||=1，等效地指定（7.48）根據(jù)DFT的性質(zhì)可知，為保證是實序列，應(yīng)滿足下列對稱關(guān)系（7.49）第41頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由于

（7.50）當N為偶數(shù)時，；當N為奇數(shù)時，。這樣當N為偶數(shù)時，若按式（7.48）對賦值，就不能滿足式（7.49）的對應(yīng)關(guān)系。由此，按如下原則對賦值。

N為偶數(shù)時

N為奇數(shù)時

（7.51）（7.52）第42頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月用頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟：

（1）根據(jù)所設(shè)計的濾波器的通帶與阻帶的要求，根據(jù)N為偶數(shù)還是奇數(shù)，按式（7.51）、（7.52）指定，在阻帶內(nèi)，=0；

（2）由指定的構(gòu)成所設(shè)計的濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，也可由式（7.44）求得頻率響應(yīng)。

第43頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.3用頻率抽樣法設(shè)計一個低通濾波器，其截止頻率是抽樣頻率的1/10，取N=20。

解：

此處N為偶數(shù)，且在通帶內(nèi)對抽樣時，僅得兩個點，由式（7.51），有

在其它點處，

第44頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月將代入式（7.43），得序列如下

第45頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4應(yīng)用MATLAB設(shè)計FIR數(shù)字濾波器1．窗函數(shù)

（1）bartlett.m（三角窗）（2）blackman.m（布萊克曼窗）（3）boxcar.m（矩形窗）（4）hamming.m（海明窗）（5）hanning.m（漢寧窗）（6）triang.m（三角窗）（7）chebwin.m（切比雪夫窗）（8）kaiser.m（凱澤窗）7.4.1與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件第46頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）fir1.m本文件采用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器，其調(diào)用格式是1）b=fir1（N,Wn）2）b=fir1（N,Wn,’high’）3）b=fir1（N,Wn,’stop’）

2．FIR數(shù)字濾波器的文件

式中N為濾波器的階次，因此濾波器的長度為N+1；Wn是通帶截止頻率，其值在0~1之間，1對應(yīng)抽樣頻率的一半；b是設(shè)計好的濾波器系數(shù)。

對于格式（1），若Wn是一標量，則可用來設(shè)計低通濾波器；若Wn是的向量，則用來設(shè)計帶通濾波器；若Wn是的向量，則可用來設(shè)計帶濾波器，此時，格式將變?yōu)椋篵=fir1（N,Wn,’DC-1’）或b=fir1（N,Wn,’DC-0’）

格式（2）用來設(shè)計高通濾波器；格式（3）用來設(shè)計帶阻濾波器。

第47頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）fir2.m本文件采用窗函數(shù)法設(shè)計具有任意幅頻特性的FIR數(shù)字濾波器。其調(diào)用格式是b=fir2（N,F,M）其中F是頻率向量，其值在0~1之間，M是與F相對應(yīng)的所希望的幅頻響應(yīng)。不指定窗函數(shù)的類型，則自動選擇漢明窗。

第48頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）remez.m本文件用來設(shè)計采用切比雪夫最佳一致逼近FIR數(shù)字濾波器。同時，還可以用來設(shè)計希爾伯特變換器和差分器。其調(diào)用格式是1）b=remez（N,F,A）2）b=remez（N,F,A,W）3）b=remez（N,F,A,W,’hilbert’）4）b=remez（N,F,A,W,’differentiator’）其中，N是給定的濾波器的階次；b是設(shè)計的濾波器的系數(shù)，其長度為N+1；F是頻率向量，其值在0~1之間；A是對應(yīng)F的各頻段上的理想幅頻響應(yīng)；W是各頻段上的加權(quán)向量。

注意：若b的長度為偶數(shù)，設(shè)計高通和帶阻濾波器時有可能出現(xiàn)錯誤，因此最好保證b的長度為奇數(shù)，即N應(yīng)為偶數(shù)。

第49頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）remexord.m本文件采用切比雪夫一致逼近設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時所需要的濾波器階次。其調(diào)用格式是[N,Fo,Ao,W]=remexord（F,A,DEV,Fs）式中，F(xiàn)、A的含義同文件（3），是通帶和阻帶上的偏差；該文件輸出的是符合要求的濾波器階次N、頻率向量Fo、幅度向量Ao和加權(quán)向量W。若設(shè)計者事先不能確定自己要設(shè)計的濾波器的階次，那么，調(diào)用remexord后，就可利用這一族參數(shù)再調(diào)用remez，即b=remez（N,Fo,Ao,W），從而設(shè)計出所需要的濾波器。因此，通常remez和remexord結(jié)合使用。

說明：remexord給出的階次N有可能偏低，這時適當增加N即可；另外，若N為奇數(shù)，就可令其加1，使其變?yōu)榕紨?shù)，這樣b的長度為奇數(shù)。

第50頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）sgolay.m本文件用來設(shè)計Savitzky-Golay平滑濾波器。其調(diào)用格式是b=sgolay（k,f）式中k是多項式的階次，f是擬合的雙邊點數(shù)。要求k＜f，且f為奇數(shù)。

（6）firls.m本文件用最小平方法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器?？稍O(shè)計任意給定的理想幅頻特性。第51頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月（7）fircls.m用帶約束的最小平方法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器。可設(shè)計任意給定的理想幅頻特性。（8）fircls1.m用帶約束最小平方法設(shè)計線性相位FIR低通和高通濾波器?？稍O(shè)計任意給定的理想幅頻特性。（9）firrcos.m用來設(shè)計低通線性相位FIR數(shù)字濾波器，其過渡帶為余弦函數(shù)形狀。第52頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4.2應(yīng)用MATLAB設(shè)計FIR數(shù)字濾波器例7.3令N=10，分別用矩形窗和海明窗重復(fù)例7.1。

解：

根據(jù)要求編制MATLAB程序如下：clearall;N=10;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1));%用矩形窗作為沖激響應(yīng)的窗函數(shù)b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1));%用Hamming窗作為沖激響應(yīng)的窗函數(shù)%M=128;第53頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);%分別求兩個濾波器的頻率響應(yīng)；t=0:10;subplot(221)stem(t,b2,'.');holdon;plot(t,zeros(1,11));grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;fork=1:M1第54頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月hd(k)=1;hd(k+M1)=0;hd(k+2*M1)=0;hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222)plot(f,abs(h1),'b-',f,abs(h2),'g-',f,hd,'-');grid;運行結(jié)果如圖7.5所示。

第55頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月圖7.5運行結(jié)果

第56頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.4設(shè)計一多帶濾波器，要求理想幅頻響應(yīng)在歸一化頻率0.2~0.3，0.6~0.8之間為1，其余均為0。解：

程序如下：clearall;f=[00.190.20.30.310.590.60.80.811];%給定頻率軸分點；m=[0011001100];%給定在這些頻率分點上理想的幅頻響應(yīng)N1=30;N2=90;%取兩種不同的濾波器長度；b1=fir2(N1,f,m);b2=fir2(N2,f,m);第57頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月%得到兩個濾波器；

subplot(311);stem(b1,'.');gri