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球面和共軸球面系統(tǒng)第1頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1光線經(jīng)過單個(gè)折射球面的折射2.1.1符號(hào)規(guī)則(重點(diǎn))2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面的光路計(jì)算公式2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式一個(gè)物體經(jīng)過特定光學(xué)系統(tǒng)的成像過程,實(shí)際是光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)各個(gè)折射面折射后的綜合效果。要知道具體的成像關(guān)系,需要逐個(gè)面進(jìn)行光路計(jì)算。因此本章我們首先討論單個(gè)折射球面的折射成像關(guān)系的計(jì)算,然后再過渡到整個(gè)系統(tǒng)的計(jì)算。本章主要討論共軸折射球面子午面內(nèi)的光路計(jì)算。第2頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.1符號(hào)規(guī)則圖中OE為n和n’的分界面;C為球心;OC為球面曲率半徑,大小為r;通過球心的直線是光軸,和球面的焦點(diǎn)為定點(diǎn)O。OA大小為L(zhǎng),稱為物方截距;角EAO,大小為U,稱為物方孔徑角;OA’大小為L(zhǎng)’,稱為像方截距;角EA’O,大小為U’,稱為像方孔徑角。圖2-1單個(gè)折射球面的有關(guān)參量第3頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.1符號(hào)規(guī)則實(shí)際計(jì)算中,僅僅了解這些參量的大小是不夠的,我們需要知道物(像)點(diǎn)在折射面的左右,折射面的凹凸,光線在光軸的上下。。。等等信息,所以必須人為再給出一些符號(hào)法則來完善這些信息。具體規(guī)則如下:一般規(guī)定光是自左向右傳播
1、對(duì)垂軸線段:以光軸為準(zhǔn),在光軸之上為“+”,光軸之下為“-”;2、對(duì)沿軸線段:以頂點(diǎn)O為原點(diǎn),頂點(diǎn)到光線與光軸交點(diǎn)的方向與光的傳播方向相同則為“+”,反之則為“-”;3、光線與光軸夾角(物方孔徑角為U,像方孔徑角為U‘):由光軸轉(zhuǎn)向光線,以銳角方向進(jìn)行度量,順時(shí)針為“+”,逆時(shí)針為“-”;4、法線與光軸的夾角(?):由光軸以銳角轉(zhuǎn)向法線,順時(shí)針為“+”,逆時(shí)針為“-”;5、光線與法線的夾角(入射角I、反射角I’、折射角I”):由光線以銳角轉(zhuǎn)向法線,順時(shí)針為“+”,逆時(shí)針為“-”;6、折射面之間的間隔(d):由前一折射面的頂點(diǎn)到后一折射面的頂點(diǎn)方向與光線的傳播方向一致為“+”,反之為“-”。凸球面曲率半徑為正,凹球面曲率半徑為負(fù)第4頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.1符號(hào)規(guī)則注意,符號(hào)規(guī)則是人為規(guī)定的,不同的書上可能有所不同,但是在使用時(shí)只能使用其中一種,不能混淆。另外,在同一次光路計(jì)算當(dāng)中,正方向(光線傳播方向)的規(guī)定也最好是唯一的,不建議更換方向。第5頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面
的光路計(jì)算公式物體位于有限遠(yuǎn)處第6頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面
的光路計(jì)算公式當(dāng)物在無限遠(yuǎn)時(shí),L=?∞,設(shè)一條光線平行于光軸入射,入射高度為,則有:物體位于無限遠(yuǎn)處第7頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面
的光路計(jì)算公式由上面提供的公式,我們可以由已知的L和U求出L’和U’。由以上公式可知,當(dāng)L一定的時(shí)候,L’是U的函數(shù),所以A點(diǎn)發(fā)出的同心光束,以不同的U角射到折射面再出射時(shí),已經(jīng)不再是同心光束了,同光軸有多個(gè)不同交點(diǎn),說明成像已經(jīng)不完善了,這就是所謂“球差”??梢姡虿钍钦凵淝蛎娴脑硇哉`差。第8頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式我們假設(shè)A點(diǎn)發(fā)出的光線與光軸夾角U很小,則相應(yīng)的角度I、I’和U’都很小,那么這些角度的正弦值就可以用弧度值來替代了,用小寫字母i、i’、u和u’來表示。我們定義可以做這樣近似的區(qū)域?yàn)椤敖S區(qū)”或“傍軸區(qū)”。以上近似得到了一個(gè)非常大的好處:現(xiàn)在對(duì)于已知的l和u值,無論u為何值,l’為定值。表明軸上點(diǎn)在近軸區(qū)成像時(shí),其像可認(rèn)為是完善的,稱為高斯像點(diǎn),過高斯像點(diǎn)垂直于光軸的面稱為高斯像面,構(gòu)成物像關(guān)系的一對(duì)點(diǎn)稱為共軛點(diǎn)。第9頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式根據(jù)近軸光路的計(jì)算公式有:lu=l’u’=h
以上三式是我們計(jì)算單折射球面物像之間關(guān)系的基本公式第10頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式該公式表示為不變量的形式,Q稱為阿貝不變量,對(duì)于一個(gè)折射球面,物空間和像空間的Q值是相同的。不同的共軛關(guān)系點(diǎn)會(huì)對(duì)應(yīng)不同的Q值,在日后的像差理論學(xué)習(xí)中有重要意義。該公式表示近軸光折射前后的孔徑角u和u’之間的關(guān)系。該公式表示折射球面的物像位置l和l’之間的關(guān)系,是求高斯像面位置的公式。第11頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2單個(gè)折射球面的成像倍率、拉赫不變量2.2.1垂軸倍率β2.2.2軸向倍率α2.2.3角倍率γ2.2.4三個(gè)倍率之間的關(guān)系2.2.5拉格朗日-赫姆霍茲不變量
第12頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.1垂軸倍率β定義:像的大小與物的大小比值。其數(shù)學(xué)表示形式為:β=y'/y近軸區(qū)有限大小的物體經(jīng)過單個(gè)折射球面的成像從圖中可見,根據(jù)三角形ABC與A’B’C相似有:第13頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.1垂軸倍率β又根據(jù)阿貝不變量有:最常使用的公式要牢記!第14頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.1垂軸倍率β由之前的公式,可以計(jì)算出β的具體數(shù)值,β的大小和符號(hào)有著十分重要的意義,我們用其來判斷成像的狀況!重要結(jié)論牢記!第15頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.2軸向倍率α軸向放大率:表示光軸上一對(duì)共軛點(diǎn)沿軸向移動(dòng)量之間的關(guān)系。它又分為二種情形來加以討論:一為物體作微小移動(dòng);一為物體移動(dòng)有限距離。1)物體作微小移動(dòng):根據(jù)軸向放大率的定義,利用高斯公式有:求導(dǎo)數(shù)上式就是沿軸向放大倍率的表示形式,顯然其形式與垂軸放大率很相似,從而我們可以將此式再進(jìn)行一下變換,得到β,α之間的關(guān)系:第16頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.2軸向倍率α2)物體移動(dòng)有限距離高斯公式β1為第一位置處的垂軸放大率;β2為第二位置處的垂軸放大率。第17頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.3角倍率γ角放大率γ
:近軸區(qū)內(nèi),一對(duì)共軛光線的像方孔徑角u與物方孔徑角u’之比,即:第18頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.4三個(gè)倍率之間的關(guān)系即軸向放大率與角放大率之積與垂軸放大率相等。第19頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.2.5拉格朗日-赫姆霍茲不變量J稱為拉赫不變量,說明在一對(duì)共軛空間內(nèi),y、u和n的乘積為常數(shù)。J用于描述物高、像高(反映的是視場(chǎng)的大?。?;物方孔徑角、像方孔徑角(反映進(jìn)入系統(tǒng)的能量多少)之間關(guān)系的物理量。第20頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月例題2.1(課后習(xí)題第一題)平凸透鏡r1=100mm,r2=,d=300mm,n=1.5,當(dāng)物體在-∞時(shí)候1)求高斯像面的位置;2)在平面上刻十字,問其共軛像在什么位置;3)當(dāng)入射高度為h=10mm,問光線的像方截距是多少?和高斯像面相比相差多少?說明什么問題?第21頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.3共軸球面系統(tǒng)2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面(或過渡)公式2.3.2共軸球面系統(tǒng)的拉赫不變量2.3.3共軸球面系統(tǒng)的倍率計(jì)算單個(gè)折射球面不能作為一個(gè)基本成像元件(反射鏡例外,可以單面成像),基本成像元件是至少兩個(gè)球面或非球面所構(gòu)成的透鏡。大部分透鏡都由球面構(gòu)成,加工方便,成本降低。第22頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面(或過渡)公式復(fù)雜的系統(tǒng)由多個(gè)折射面構(gòu)成,必須解決折射面與折射面之間的過渡問題。1、過渡公式:
假設(shè)系統(tǒng)由多個(gè)折射面k構(gòu)成,各折射面的參量如下所示,分別為:分別為各折射面的曲率半徑;折射面之間的間隔;介質(zhì)折射率。第23頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面(或過渡)公式那么對(duì)于近軸光來說,有:第24頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面(或過渡)公式對(duì)于實(shí)際光線,公式同上,只不過,符號(hào)大寫:設(shè)h為光線在折面上入射高度,則有:故有:第25頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.3.2共軸球面系統(tǒng)的拉赫不變量前面說了單個(gè)折射面的J,實(shí)際不僅對(duì)單個(gè)折射面J是個(gè)定值,對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言,它也是個(gè)不變的量。系統(tǒng)的J:以上結(jié)論可以用于在光路計(jì)算過程中,驗(yàn)證每個(gè)成像空間的計(jì)算是否正確!第26頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.3.3共軸球面系統(tǒng)的倍率計(jì)算對(duì)于共軸球面系統(tǒng),利用轉(zhuǎn)面公式很容易證明三種倍率等于各個(gè)折射面相應(yīng)倍率的乘積。三者的關(guān)系:證明過程在課本P26,請(qǐng)課后自行復(fù)習(xí)!第27頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月例題2.2一個(gè)玻璃棒(n=1.5)長(zhǎng)500mm,兩端為半球面,半徑分別是50mm和100mm,物體高1mm,垂直于左端球面頂點(diǎn)之前200mm處的軸線上,試求:1)物體經(jīng)過整個(gè)玻璃棒后成像的位置;2)整個(gè)玻璃棒的垂軸放大率是多少?第28頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.4球面反射鏡前面指出,反射定律可認(rèn)為是折射定律在n’=-n時(shí)的特例,因此,將之前的折射球面的計(jì)算公式代以n’=-n,可以得到相應(yīng)的反射球面計(jì)算公式。2.4.1球面反射鏡的物像位置公式2.4.2球面反射鏡的成像倍率2.4.3球面反射鏡的拉赫不變量第29頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.4.1球面反射鏡的物像位置公式球面反射鏡有二種:一為凸面鏡;一為凹面鏡。1、物像位置關(guān)系式:我們已知道折射面的物像位置關(guān)系式:由于反射是折射的特例,是n'=?n時(shí)的情況,代入上式就可得到:此公式需牢記!第30頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.4.2球面反射鏡的成像倍率同樣將n’=-n代入折射球面倍率計(jì)算公式,有:由以上公式:1、因?yàn)檠剌S倍率恒為負(fù),物體與像運(yùn)動(dòng)的方向相反;2、特殊位置:當(dāng)物體位于反射面球心時(shí),像也在球心,此時(shí)反射球面為二者的等光程面。第31頁,課件共35頁,創(chuàng)作于2023年2月2.4.3球面反射鏡的拉赫不變量同樣代入n’=-n,有:第32頁,課件共35頁,創(chuàng)作于20
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