球面和共軸球面系統(tǒng)

球面和共軸球面系統(tǒng)第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1光線經(jīng)過單個(gè)折射球面的折射2.1.1符號規(guī)則（重點(diǎn)）2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面的光路計(jì)算公式2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式一個(gè)物體經(jīng)過特定光學(xué)系統(tǒng)的成像過程，實(shí)際是光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)各個(gè)折射面折射后的綜合效果。要知道具體的成像關(guān)系，需要逐個(gè)面進(jìn)行光路計(jì)算。因此本章我們首先討論單個(gè)折射球面的折射成像關(guān)系的計(jì)算，然后再過渡到整個(gè)系統(tǒng)的計(jì)算。本章主要討論共軸折射球面子午面內(nèi)的光路計(jì)算。第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1符號規(guī)則圖中OE為n和n’的分界面；C為球心；OC為球面曲率半徑，大小為r；通過球心的直線是光軸，和球面的焦點(diǎn)為定點(diǎn)O。OA大小為L，稱為物方截距；角EAO，大小為U，稱為物方孔徑角；OA’大小為L’，稱為像方截距；角EA’O，大小為U’，稱為像方孔徑角。圖2-1單個(gè)折射球面的有關(guān)參量第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1符號規(guī)則實(shí)際計(jì)算中，僅僅了解這些參量的大小是不夠的，我們需要知道物（像）點(diǎn)在折射面的左右，折射面的凹凸，光線在光軸的上下。。。等等信息，所以必須人為再給出一些符號法則來完善這些信息。具體規(guī)則如下：一般規(guī)定光是自左向右傳播

1、對垂軸線段：以光軸為準(zhǔn)，在光軸之上為“＋”，光軸之下為“－”；2、對沿軸線段：以頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)到光線與光軸交點(diǎn)的方向與光的傳播方向相同則為“＋”，反之則為“－”；3、光線與光軸夾角（物方孔徑角為U，像方孔徑角為U‘）：由光軸轉(zhuǎn)向光線，以銳角方向進(jìn)行度量，順時(shí)針為“＋”，逆時(shí)針為“－”；4、法線與光軸的夾角（?）：由光軸以銳角轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針為“＋”，逆時(shí)針為“－”；5、光線與法線的夾角（入射角I、反射角I’、折射角I”）：由光線以銳角轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針為“＋”，逆時(shí)針為“－”；6、折射面之間的間隔（d）：由前一折射面的頂點(diǎn)到后一折射面的頂點(diǎn)方向與光線的傳播方向一致為“＋”，反之為“－”。凸球面曲率半徑為正，凹球面曲率半徑為負(fù)第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1符號規(guī)則注意，符號規(guī)則是人為規(guī)定的，不同的書上可能有所不同，但是在使用時(shí)只能使用其中一種，不能混淆。另外，在同一次光路計(jì)算當(dāng)中，正方向（光線傳播方向）的規(guī)定也最好是唯一的，不建議更換方向。第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面

的光路計(jì)算公式物體位于有限遠(yuǎn)處第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面

的光路計(jì)算公式當(dāng)物在無限遠(yuǎn)時(shí)，L=?∞，設(shè)一條光線平行于光軸入射，入射高度為，則有：物體位于無限遠(yuǎn)處第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.2實(shí)際光線經(jīng)過單個(gè)折射球面

的光路計(jì)算公式由上面提供的公式，我們可以由已知的L和U求出L’和U’。由以上公式可知，當(dāng)L一定的時(shí)候，L’是U的函數(shù)，所以A點(diǎn)發(fā)出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射時(shí)，已經(jīng)不再是同心光束了，同光軸有多個(gè)不同交點(diǎn)，說明成像已經(jīng)不完善了，這就是所謂“球差”?？梢?，球差是折射球面的原理性誤差。第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式我們假設(shè)A點(diǎn)發(fā)出的光線與光軸夾角U很小，則相應(yīng)的角度I、I’和U’都很小，那么這些角度的正弦值就可以用弧度值來替代了，用小寫字母i、i’、u和u’來表示。我們定義可以做這樣近似的區(qū)域?yàn)椤敖S區(qū)”或“傍軸區(qū)”。以上近似得到了一個(gè)非常大的好處：現(xiàn)在對于已知的l和u值，無論u為何值，l’為定值。表明軸上點(diǎn)在近軸區(qū)成像時(shí)，其像可認(rèn)為是完善的，稱為高斯像點(diǎn)，過高斯像點(diǎn)垂直于光軸的面稱為高斯像面，構(gòu)成物像關(guān)系的一對點(diǎn)稱為共軛點(diǎn)。第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式根據(jù)近軸光路的計(jì)算公式有：lu=l’u’=h

以上三式是我們計(jì)算單折射球面物像之間關(guān)系的基本公式第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3近軸光的光路計(jì)算公式該公式表示為不變量的形式，Q稱為阿貝不變量，對于一個(gè)折射球面，物空間和像空間的Q值是相同的。不同的共軛關(guān)系點(diǎn)會對應(yīng)不同的Q值，在日后的像差理論學(xué)習(xí)中有重要意義。該公式表示近軸光折射前后的孔徑角u和u’之間的關(guān)系。該公式表示折射球面的物像位置l和l’之間的關(guān)系，是求高斯像面位置的公式。第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2單個(gè)折射球面的成像倍率、拉赫不變量2.2.1垂軸倍率β2.2.2軸向倍率α2.2.3角倍率γ2.2.4三個(gè)倍率之間的關(guān)系2.2.5拉格朗日-赫姆霍茲不變量

第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1垂軸倍率β定義：像的大小與物的大小比值。其數(shù)學(xué)表示形式為：β=y'/y近軸區(qū)有限大小的物體經(jīng)過單個(gè)折射球面的成像從圖中可見，根據(jù)三角形ABC與A’B’C相似有：第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1垂軸倍率β又根據(jù)阿貝不變量有：最常使用的公式要牢記！第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1垂軸倍率β由之前的公式，可以計(jì)算出β的具體數(shù)值，β的大小和符號有著十分重要的意義，我們用其來判斷成像的狀況！重要結(jié)論牢記！第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2軸向倍率α軸向放大率：表示光軸上一對共軛點(diǎn)沿軸向移動量之間的關(guān)系。它又分為二種情形來加以討論：一為物體作微小移動；一為物體移動有限距離。1）物體作微小移動：根據(jù)軸向放大率的定義，利用高斯公式有：求導(dǎo)數(shù)上式就是沿軸向放大倍率的表示形式，顯然其形式與垂軸放大率很相似，從而我們可以將此式再進(jìn)行一下變換，得到β,α之間的關(guān)系：第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2軸向倍率α2）物體移動有限距離高斯公式β1為第一位置處的垂軸放大率；β2為第二位置處的垂軸放大率。第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.3角倍率γ角放大率γ

：近軸區(qū)內(nèi)，一對共軛光線的像方孔徑角u與物方孔徑角u’之比，即：第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.4三個(gè)倍率之間的關(guān)系即軸向放大率與角放大率之積與垂軸放大率相等。第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.5拉格朗日-赫姆霍茲不變量J稱為拉赫不變量，說明在一對共軛空間內(nèi)，y、u和n的乘積為常數(shù)。J用于描述物高、像高（反映的是視場的大?。?；物方孔徑角、像方孔徑角（反映進(jìn)入系統(tǒng)的能量多少）之間關(guān)系的物理量。第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2.1（課后習(xí)題第一題）平凸透鏡r1=100mm，r2=，d=300mm，n=1.5，當(dāng)物體在-∞時(shí)候1）求高斯像面的位置；2）在平面上刻十字，問其共軛像在什么位置；3）當(dāng)入射高度為h=10mm，問光線的像方截距是多少？和高斯像面相比相差多少？說明什么問題？第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3共軸球面系統(tǒng)2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式2.3.2共軸球面系統(tǒng)的拉赫不變量2.3.3共軸球面系統(tǒng)的倍率計(jì)算單個(gè)折射球面不能作為一個(gè)基本成像元件（反射鏡例外，可以單面成像），基本成像元件是至少兩個(gè)球面或非球面所構(gòu)成的透鏡。大部分透鏡都由球面構(gòu)成，加工方便，成本降低。第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式復(fù)雜的系統(tǒng)由多個(gè)折射面構(gòu)成，必須解決折射面與折射面之間的過渡問題。1、過渡公式：

假設(shè)系統(tǒng)由多個(gè)折射面k構(gòu)成，各折射面的參量如下所示，分別為：分別為各折射面的曲率半徑；折射面之間的間隔；介質(zhì)折射率。第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式那么對于近軸光來說，有：第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.1共軸球面系統(tǒng)的轉(zhuǎn)面（或過渡）公式對于實(shí)際光線，公式同上，只不過，符號大寫：設(shè)h為光線在折面上入射高度，則有：故有：第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.2共軸球面系統(tǒng)的拉赫不變量前面說了單個(gè)折射面的J，實(shí)際不僅對單個(gè)折射面J是個(gè)定值，對于整個(gè)系統(tǒng)而言，它也是個(gè)不變的量。系統(tǒng)的J：以上結(jié)論可以用于在光路計(jì)算過程中，驗(yàn)證每個(gè)成像空間的計(jì)算是否正確！第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.3共軸球面系統(tǒng)的倍率計(jì)算對于共軸球面系統(tǒng)，利用轉(zhuǎn)面公式很容易證明三種倍率等于各個(gè)折射面相應(yīng)倍率的乘積。三者的關(guān)系：證明過程在課本P26，請課后自行復(fù)習(xí)！第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2.2一個(gè)玻璃棒（n=1.5）長500mm，兩端為半球面，半徑分別是50mm和100mm，物體高1mm，垂直于左端球面頂點(diǎn)之前200mm處的軸線上，試求：1）物體經(jīng)過整個(gè)玻璃棒后成像的位置；2）整個(gè)玻璃棒的垂軸放大率是多少？第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4球面反射鏡前面指出，反射定律可認(rèn)為是折射定律在n’=-n時(shí)的特例，因此，將之前的折射球面的計(jì)算公式代以n’=-n，可以得到相應(yīng)的反射球面計(jì)算公式。2.4.1球面反射鏡的物像位置公式2.4.2球面反射鏡的成像倍率2.4.3球面反射鏡的拉赫不變量第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.1球面反射鏡的物像位置公式球面反射鏡有二種：一為凸面鏡；一為凹面鏡。1、物像位置關(guān)系式：我們已知道折射面的物像位置關(guān)系式：由于反射是折射的特例，是n'=?n時(shí)的情況，代入上式就可得到：此公式需牢記！第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.2球面反射鏡的成像倍率同樣將n’=-n代入折射球面倍率計(jì)算公式，有：由以上公式：1、因?yàn)檠剌S倍率恒為負(fù)，物體與像運(yùn)動的方向相反；2、特殊位置：當(dāng)物體位于反射面球心時(shí)，像也在球心，此時(shí)反射球面為二者的等光程面。第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.3球面反射鏡的拉赫不變量同樣代入n’=-n，有：第32頁，課件共35頁，創(chuàng)作于20