不同函數(shù)增長差異課時

4.4

對數(shù)函數(shù)課時11

不同函數(shù)增長的差異高中快車道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期教學(xué)目標通過自主探究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象特征和增長速度,掌握由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法.歸納總結(jié)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的增長差異,體會“直線上升”“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”等不同類型函數(shù)增長特征的含義.能運用不同函數(shù)的增長差異,解決一些簡單的實際問題,感悟函數(shù)模型的用途與價值,提升分析問題、解決問題的能力.學(xué)習(xí)目標課程目標學(xué)科核心素養(yǎng)理解和掌握幾種常見函數(shù)的增長差異,掌握由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法通過自主探究函數(shù)的圖象特征和增長速度，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象邏輯推理素養(yǎng)體會“直線上升”“指數(shù)爆炸”

和“對數(shù)增長”等不同類型函數(shù)增長特征的含義借助圖象體會不同函數(shù)的增長速度發(fā)展直觀想象素養(yǎng)能夠利用不同函數(shù)增長的差異,通過構(gòu)建函數(shù)模型,運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題利用不同函數(shù)的增長差異解決相關(guān)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)在日常生活中，增長現(xiàn)象到處都是．比如我國GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)的增長，澳大利亞的兔子在短時間內(nèi)迅速繁殖，某地區(qū)房價的上漲，等等．事實上，在我們學(xué)過的函數(shù)中，也有很多是增長型的．你能列舉出以前學(xué)過的增長型函數(shù)嗎？它們的增長速度是否一樣？初探新知【活動1

】探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異【問題1】請用描點法畫出函數(shù)y＝2x和y＝2x的圖象，它們的圖象有什么特點？【問題2】上述兩個函數(shù)的增長速度分別是怎樣的？【問題3】如果取更大的x的值，這兩個函數(shù)圖象的增長速度如何？【問題4】指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)與一次函數(shù)y＝kx(k>0)的增長有何差異？【活動2

】探究對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異象有什么特點？【問題6】上述兩個函數(shù)的增長速度分別是怎樣的？【問題7】如果取更大的x的值，這兩個函數(shù)圖象的增長速度如何？【問題8】對數(shù)函數(shù)y＝

????????x(a>1)與一次函數(shù)y＝kx(k>0)的增長有何差異？????【問題5】請用描點法畫出函數(shù)y＝lgx和y＝

??

x的圖象，它們的圖典例精析【例1】(多選)當a>1時，下列結(jié)論中正確的是(AD

)指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a越大時，其函數(shù)值的增長速度越快指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a越小時，其函數(shù)值的增長速度越快對數(shù)函數(shù)y＝????????x，當a越大時，其函數(shù)值的增長速度越快對數(shù)函數(shù)y＝

????????x，當a越小時，其函數(shù)值的增長速度越快思路點撥：函數(shù)值增長的快慢取決于函數(shù)類型，不同函數(shù)的圖象是不一樣的，因而不同函數(shù)類型對應(yīng)的增長特點也是不一樣的．指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的增長趨勢取決于底數(shù)的大小．【方法規(guī)律】一次函數(shù)的增長速度是不變的，底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異是不同的．當a>1時，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，其函數(shù)值的增長速度越快；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，其函數(shù)值的增長速度越慢．【解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增長特點，可知底數(shù)越大，其函數(shù)值的增長速度越快，故正確A，B錯誤；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的增長特點，可知底數(shù)越小，其函數(shù)值的增長速度越快，故C錯誤，D正確．故選AD【變式訓(xùn)練1】(多選)[2021·江蘇省宿遷市高二期末改編題]下列四種說法中，正確的是(AD

)一次函數(shù)的增長速度保持不變對任意的x＞0，xn＞????????

x對任意的x＞0，ax＞????????

x不一定存在x0，當x＞x0時，總有ax＞xn＞????????

x【解】對于A,一次函數(shù)的增長速度保持不變,正確;對于BC,當0<a<1時,顯然不成立;對于D,當a>1,n>0時,一定存在x0,使得當x>x0時,總有ax>xn>logax,但若去掉限制條件“a>1,n>0”,則結(jié)論不成立.故選AD.例2投資3天以內(nèi)(含3天),采用方案一投資4天,不采用方案三投資6天,采用方案一投資12天,采用方案二思路點撥：利用函數(shù)的圖象，結(jié)合選項逐一計算判斷即可．【例2】

[教材改編題]假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供選擇,這三種方案每天的回報如圖,橫軸為投資時間,縱軸為每天的回報.根據(jù)以上信息,若使回報最多,下列說法中錯誤的是

(

)【解】由圖可知，投資3天(含3天)內(nèi)的，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得方案一的回報最多，所以A正確；投資4天，方案一的回報約為

40×4＝160(元)，方案二的回報約為10＋20＋30＋40＝100(元)，

結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一、方案二都比方案三高，所以B正確；投資6天，方案一的回報約為40×6＝240(元)，方案二的回

報約為10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一比方案二、方案三高，所以C正確；投資12天，根據(jù)

圖象的變化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D錯誤．故選D.【方法規(guī)律】解題時，需熟練掌握指數(shù)函數(shù)的增長特點，即指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)在［0，+∞）上單調(diào)遞增，圖象的增長速度越來越快．池塘中原有浮草的面積是0.5

m2第8個月浮草的面積超過60

m2浮草每月增加的面積都相等若浮草面積達到10

m2，20

m2，30

m2所經(jīng)過的時間分別為t1，t2，t3，則

2t2>t1＋t3【變式訓(xùn)練2】(多選)[2020·江西宜春模擬]某池塘中有一塊浮草，浮草蔓延后的面積y(m2)與時間t(月)之間的函數(shù)解析式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的圖象如圖所示．以下結(jié)論中正確的有(ABD

)【解】因為函數(shù)y=at-1的圖象經(jīng)過點（2，2）,所以2=a2-1,解得a=2,則y=2t-1.當t=0時,y=20-1=??,故A正確;當t=8時,y=28-1=27=128>60,故B正確;當t=1時,y=1,增加??0.5

m2,當t=2時,y=2,增加1

m2,所以每月增加的面積不相等,故C錯誤;由2t1-1=10,得t1=log210+1,同理t2=log220+1,t3=log230+1,所以

2t2=2log220+2=log2400+2>log2300+2=t1+t3,所以2t2>t1+t3,故D正確.故答案為

ABD.若選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來擬合h與t的關(guān)系，你認為哪個符合？并預(yù)測第8年的松樹高度．思路點撥 先根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)作出散點圖，然后根據(jù)圖象的增長速度，再結(jié)合松樹生長的實際情況綜合判斷應(yīng)該用哪種函數(shù)模型，之后用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型中的參數(shù)，進而就可以利用得到的函數(shù)模型進行預(yù)測．【例3】某人對東北一種松樹的生長進行了研究，收集了其高度h(m)與生長時間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表【方法規(guī)律】對數(shù)函數(shù)y＝

????????

x(a>1)、一次函數(shù)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上都是單調(diào)遞增的，因此從單調(diào)性上難以判斷，解題的關(guān)鍵是抓住對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長的差異，即前者圖象的增長速度越來越慢，后者圖象的增長速度保持不變，然后結(jié)合圖象特征即可判斷．【解】據(jù)題表中數(shù)據(jù)作出散點圖如圖：由圖象可以看出函數(shù)增長的速度越來越慢，用一次函數(shù)模型擬合不合適，則選用對數(shù)函數(shù)模型比較合理．不妨將(2，1)代入h＝????????(t＋1)中，得1＝????????

3，解得a＝3.故可用函數(shù)h＝

????????

(t＋1)來擬合這個實際問題．當t＝8時，求得h＝

????????(8＋1)＝2，故可預(yù)測第8年松樹的高度為2

m.【變式訓(xùn)練3】洪澤湖是中國大湖中唯一的活水湖，水質(zhì)優(yōu)良，有利于優(yōu)質(zhì)大閘蟹的生產(chǎn)．泗洪中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進行社會調(diào)查，了解到某大閘蟹生產(chǎn)銷售公司為了實現(xiàn)100萬元的利潤目標，準備制定如下銷售獎勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過總利潤的20%.同學(xué)們利用所學(xué)函數(shù)知識，設(shè)計了甲：y＝0.04x，乙：y＝log11(3x－10)兩種函數(shù)模型，其中符合公司要求的是

乙

．(填“甲”或“乙”，參考數(shù)據(jù)：1.015100≈4.432，lg

11≈1.041)【解】由題意得，符合公司要求的函數(shù)模型應(yīng)滿足：當6<x≤100時，①函數(shù)

為增函數(shù)；②

y≤3；③

y≤20%x.甲模型滿足條件①，但當x>75時，不滿足條件②；乙模型滿足條件①，當x＝100時，有????????＝??????????290<

??????????

113＝3，

滿足條件②，結(jié)合圖象(如圖)，y＝??????????(3x－10)≤20%x恒成立，滿足條件③，故符合公司要求的是乙．如果我們分別將2019、2020、2021、2022定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型:二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指數(shù)函數(shù)模型

g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪個模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?思路點撥根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)初步判斷圖象的增長速度,通過給定的函數(shù)模型進行綜合判斷,之后用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型中的參數(shù),進而就可以利用得到的函數(shù)模型進行預(yù)測.（備選例題）某汽車制造商在2022年初公告:公司計劃2022年的生產(chǎn)目標定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示:年份201920202021產(chǎn)量/萬輛81830【解】建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù),可知函數(shù)必過點(1,8),(2,18),(3,30).①構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),將點坐標代入,可得??

+

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???????+????+??=????,解得a=1,b=7,c=0,則f(x)=x2+7x,故f(4)

=44,與計劃誤????+

????+

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=

????差為1.②構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),將點坐標代入,可????

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+

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=

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??

??

??得???????

+??=????,解得a=??????,b=??,c=-42,則g(x)=??????×（??）x-42,故??

??g(4)=??????×（??）4-42=44.4,與計劃誤差為1.4.由①②可得,二次函數(shù)模型f(x)=x2+7x能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系.【方法規(guī)律】不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實世界中不同的變化規(guī)律:線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律;指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律;對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律;冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.課堂反思1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？2.你認為本節(jié)課的重點和難點是什么？隨堂演練1.

下列函數(shù)中，增長速度越來越快的是(

A

)A.

y＝4x

B. y＝????????

x

C. y＝

??D.

y＝3x2.

[2022·陜西省西安市第五十七中學(xué)高一期末]已知三個變量y1，y2，y3隨變量x的變化而變化的數(shù)據(jù)如下表：x12468…y1241664256…y214163664…y30122.5853…A.

y1＝x2，y