遼寧省大連市第一零二中學2021-2022學年高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析

遼寧省大連市第一零二中學2021-2022學年高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列四個結(jié)論：①設為向量，若，則恒成立；②命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”；③“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的充分不必要條件；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個參考答案：A【考點】復合命題的真假．【分析】由向量的運算性質(zhì)判斷出夾角是90°即可判斷①正確；由命題的逆否命題，先將條件、結(jié)論調(diào)換，再分別對它們否定，即可判斷②；由命題p∨q為真，則p，q中至少有一個為真，不能推出p∧q為真，即可判斷③．【解答】解：對于①設為向量，若cos＜，＞，從而cos＜，＞=1，即和的夾角是90°，則恒成立，則①對；對于②，命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”而不是逆命題，則②錯；對于③，命題p∨q為真，則p，q中至少有一個為真，不能推出p∧q為真，反之成立，則應為必要不充分條件，則③錯；故選：A．【點評】本題考查了向量問題，考查復合命題的真假和真值表的運用，考查充分必要條件的判斷和命題的否定，屬于基礎題和易錯題．2.已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象A.關于點對稱 B.關于直線對稱C.關于點對稱 D.關于直線對稱參考答案：B3.的三個內(nèi)角所對的邊分別為，給出下列三個敘述：①②③以上三個敘述中能作為“是等邊三角形”的充分必要條件的個數(shù)為（

）A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：C略4.已知，滿足約束條件且，當取得最大值時，直線被圓截得的弦長為（

）A．10 B． C． D．參考答案：B試題分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖知，當目標函數(shù)經(jīng)過點時取得最大值，即，所以．因為圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長，所以當時，取得最大值，故選B．考點：1、簡單的線性規(guī)劃問題；2、直線與圓的位置關系．5.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣aex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．（0，e） C． D．（﹣∞，e）參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為y=a和g（x）=在（0，+∞）2個交點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的范圍，從而求出a的范圍即可．【解答】解：f′（x）=lnx﹣aex+1，若函數(shù)f（x）=xlnx﹣aex有兩個極值點，則y=a和g（x）=在（0，+∞）有2個交點，g′（x）=，（x＞0），令h（x）=﹣lnx﹣1，則h′（x）=﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）遞減，而h（1）=0，故x∈（0，1）時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）遞增，x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）遞減，故g（x）max=g（1）=，而x→0時，g（x）→﹣∞，x→+∞時，g（x）→0，若y=a和g（x）在（0，+∞）有2個交點，只需0＜a＜，故選：A．6.已知函數(shù)①，②，則下列結(jié)論正確的是（

）（A）兩個函數(shù)的圖象均關于點成中心對稱（B）兩個函數(shù)的圖象均關于直線成軸對稱（C）兩個函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)（D）兩個函數(shù)的最小正周期相同

參考答案：C略7.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2013=2S2014+6，3a2014=2S2015+6，則數(shù)列{an}的公比q等于（） A． B． ﹣或1 C． 或1 D． 2參考答案：考點： 等比數(shù)列的前n項和．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 已知兩式相減結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和求和公式可得q的方程，解方程可得．解答： 解：由題意可知a2013=2S2014+6，①，3a2014=2S2015+6，②②﹣①可得3a2014﹣a2013=2S2015﹣2S2014=2a2015，∴3a2013q﹣a2013=2a2013q2，∴2q2﹣3q+1=0，解得q=1或q=故選：C點評： 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及通項公式和一元二次方程，屬基礎題．8.若是奇函數(shù)，且是函數(shù)的一個零點，則一定是下列哪個函數(shù)的零點(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.9．節(jié)日家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.函數(shù)是A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足約束條件，則的最大值是_____．參考答案：11【分析】畫出可行域，平移直線得最大值即可【詳解】畫出不等式所表示的可行域，如圖陰影所示：當直線平移過A時，z最大，聯(lián)立得A（1,5）故z的最大值為1+2×5=11故答案為11【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，準確計算是關鍵，是基礎題12.現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，﹣3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是．參考答案：【考點】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)；CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】先由題意寫出成等比數(shù)列的10個數(shù)為，然后找出小于8的項的個數(shù)，代入古典概論的計算公式即可求解【解答】解：由題意成等比數(shù)列的10個數(shù)為：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的項有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6個數(shù)這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是P=故答案為：13.如果函數(shù)的導函數(shù)的圖像如下，給出下列判斷：（1）函數(shù)在區(qū)間（-4，-1）內(nèi)單調(diào)遞增；

y（2）函數(shù)在區(qū)間（-1，3）內(nèi)單調(diào)遞減；（3）函數(shù)在區(qū)間（4，5）內(nèi)單調(diào)遞增；

-4

-1

2

3

4

5

x（4）當時，函數(shù)有極小值。其中正確的判斷是

（把正確判斷的序號都寫上）.

參考答案：14.已知向量（3，1），（1，3），（，7），若∥，則

。參考答案：5由已知，（1，3），

因為∥，所以，解得。15.宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著《四元玉鑒》卷中“菱草形段”第一個問題“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，問底子（每層三角形邊菱草束數(shù)，等價于層數(shù)）幾何？”中探討了“垛積術”中的落一形垛（“落一形”即是指頂上1束，下一層3束，再下一層6束，……，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層菱草束數(shù)），則本問題中三角垛底層菱草總束數(shù)為

．參考答案：

16.對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”。某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心。若，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求解下列問題：（1）函數(shù)的對稱中心為

;（2）計算：

．參考答案：【知識點】函數(shù)的值；函數(shù)的零點；導數(shù)的運算．B1B9B11（1）

（2）2012

解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心為，（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心為，∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012．故答案為：，2012．【思路點撥】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)的對稱中心．（2）由的對稱中心為，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能夠求出．17.已知，若，則參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在底面是正方形的四棱錐面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點.（I）求證：；（II）確定點G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由；（III）當二面角的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值.參考答案：19.已知函數(shù).（1）求的解集M；（2）證明：當a，b∈M時，．參考答案：解：（1）當時，由得

解得；當時，；當時，由得

解得.所以的解集.（2）由（1）知，當時，，從而，可得，

所以.20.（12分）已知函數(shù)f（x）=x2ln|x|．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關于x的方程f（x）=kx﹣1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題： 導數(shù)的綜合應用．分析： （1）先看當x＞0時，根據(jù)導函數(shù)f'（x）大于0或小于0時的f（x）的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷求得其它的單調(diào)區(qū)間．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有實數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx﹣1有交點，先看當k＞0時，用導函數(shù)求出當直線y=kx﹣1與f（x）的圖象相切時k的值，再根據(jù)對稱性求出k＜0時直線y=kx﹣1與f（x）的圖象相切時k的值，進而求出f（x）=kx﹣1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}當x＞0時，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜，則f'（x）＜0，f（x）遞減；若x＞，則f'（x）＞0，f（x）遞增．遞增區(qū)間是（﹣，0）和（，+∞）；遞減區(qū)間是（﹣∞，﹣）和（0，）．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有實數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx﹣1有交點．函數(shù)f（x）的圖象如圖．先求當直線y=kx﹣1與f（x）的圖象相切時k的值．當k＞0時，f'（x）=x?（2lnx+1）設切點為P（a，f（a）），則切線方程為y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），將x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）即a2lna+a2﹣1=0（*）顯然，a=1滿足（*）而當0＜a＜1時，a2lna+a2﹣1＜0，當a＞1時，a2lna+a2﹣1＞0∴（*）有唯一解a=1此時k=f'（1）=1再由對稱性，k=﹣1時，y=kx﹣1也與f（x）的圖象相切，∴若方程f（x）=kx﹣1有實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．點評： 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用．在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時，常利用導函數(shù)的性質(zhì)．21.某廠生產(chǎn)當?shù)匾环N特產(chǎn)，并以適當?shù)呐l(fā)價賣給銷售商甲，甲再以自己確定的零售價出售，已知該特產(chǎn)的銷售（萬件）與甲所確定的零售價成一次函數(shù)關系’當零售價為80元/件時，銷售為7萬件；當零售價為50元/件時，銷售為10萬件，后來，廠家充分聽取了甲的意見，決定對批發(fā)價改革，將每件產(chǎn)品的批發(fā)價分成固定批發(fā)價和彈性批發(fā)價兩部分，其中固定批發(fā)價為30元/件，彈性批發(fā)價與該特產(chǎn)的銷售量成反比，當銷售為10萬件，彈性批發(fā)價為1元/件，假設不計其它成本，據(jù)此回答下列問題（1）當甲將每件產(chǎn)品的零售價確定為100元/件時，他獲得的總利潤為多少萬元？（2）當甲將每件產(chǎn)品的零售價確定為多少時，每件產(chǎn)品的利潤最大？參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【專題】應用題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）設該特產(chǎn)的銷售量y（萬件），零售價為x（元/件），且y=kx+b，由題意求得k，b，設彈性批發(fā)價t與該特產(chǎn)的銷售量y成反比，求得t，b的關系式，設總利潤為z（萬元），求得z的關系式，再令x=100，即可得到所求總利潤；（2）由（1）可得每件的利潤為m=x﹣30﹣（x＜150），運用基本不等式即可得到所求最大值及對應的x值．【解答】解：（1）設該特產(chǎn)的銷售量y（萬件），零售價為x（元/件），且y=kx+b，由題意可得7=80k+b，10=50k+b，解得k=﹣，b=15，可得y=15﹣x，設彈性批發(fā)價t與該特產(chǎn)的銷售量y成反比，當銷售為10萬件，彈性批發(fā)價為1元/件，即有t=，設總利潤為z（萬元），則z=（15﹣x）（x﹣30﹣）=（15﹣0.1x）（x﹣30﹣），令x=100時，則z=（15﹣10）×（100﹣30﹣）=340，即有他獲得的總利潤為340萬元；（2）由（1）可得每件的利潤為m=x﹣30﹣（x＜150）=x﹣﹣30=x﹣150++