線段垂直平分線

線段的垂直平分線本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4觀察如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在的直線l對(duì)稱，問(wèn)線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？我發(fā)現(xiàn)我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡(jiǎn)化得到下圖.已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對(duì)稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.●●lAA′D21(A)

我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？探究探究作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對(duì)折），由于l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl結(jié)論由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.動(dòng)腦筋我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過(guò)來(lái)，如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如下圖所示.因?yàn)镻A=PB，所以△PAB是等腰三角形.過(guò)頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.結(jié)論由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.

求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.舉例證明∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.練習(xí)1.

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交

AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).答：∠CAE=50°.2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且

AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.

求證：AO=BO.證明：∵

AC=BC，AD=BD，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴CD為線段AB的垂直平分線.又

AB與CD相交于點(diǎn)O∴AO=BO.做一做如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).動(dòng)腦筋如何過(guò)一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們可以通過(guò)在已知直線上作線段的垂直平分線來(lái)找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線.點(diǎn)P與已知直線l的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在直線上或點(diǎn)P在直線外.

用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.1.

如圖，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA=PB.練習(xí)2.如圖，作出△ABC的BC邊上的高.如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于18cm，則AC的長(zhǎng)等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考試題例解析∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)