第三講分離變量法-課件

第三講分離變量法分離變量法是求解線性偏微分方程定解問(wèn)題的普遍方法之一，它適用于各種類(lèi)型的偏微分方程?；舅枷胧菍⒍嘣瘮?shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。具體做法是首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件的解通過(guò)變量分離,將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn)題.為此，我們首先復(fù)習(xí)二階線性常微分方程求解公式及傅里葉級(jí)數(shù)理論。2020/10/281

一、基礎(chǔ)知識(shí)2020/10/282精品資料2020/10/2832、傅立葉級(jí)數(shù)若函數(shù)f(t)的周期為T(mén)=2L，則傅里葉展開(kāi)式為2020/10/284狄利克雷收斂定理：若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則1、當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值；2、當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。2020/10/285

二.有界弦的自由振動(dòng)

例1.研究?jī)啥斯潭ň鶆虻淖杂烧駝?dòng).求解定解問(wèn)題特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.2020/10/286

設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得①

由不恒為零，有：取參數(shù)2020/10/287④

②

…..……..③④利用邊界條件2020/10/288則

⑤

特征值問(wèn)題

參數(shù)稱(chēng)為特征值，下面分三種情形討論特征值問(wèn)題的求解函數(shù)X(x)稱(chēng)為特征函數(shù)。2020/10/289由邊值條件(i)方程通解為(ii)時(shí)，通解由邊值條件得：C1=C

2=0

從而，無(wú)意義.

無(wú)意義2020/10/2810

由邊值條件：從而即：(iii）時(shí)，通解故而得2020/10/2811再求解T：其解為所以?xún)啥斯潭ㄏ冶镜恼髡駝?dòng)疊加…….⑤

2020/10/2812代入初始條件得：將展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得

定解問(wèn)題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在x＝0和x=l處的第一類(lèi)齊次邊界條件決定的。2020/10/2813則無(wú)窮級(jí)數(shù)解為如下混合問(wèn)題的解上，，且定理：若在區(qū)間2020/10/2814解：令,得化簡(jiǎn):引入?yún)?shù)得例2：研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng)問(wèn)題.第二類(lèi)邊界條件2020/10/2815得C1=C

2=0從而，無(wú)意義分離變量：

時(shí)，由邊值條件2020/10/2816(ii) 時(shí),,(iii)時(shí),則而由邊值條件由邊值條件從而2020/10/2817本征值本征函數(shù)T的方程其解為2020/10/2818所以故代入初始條件:將展開(kāi)為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得

解為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，由端點(diǎn)處的二類(lèi)齊次邊界條件決定.2020/10/2819

三.有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題

對(duì)于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題,其解題過(guò)程和波動(dòng)方程的過(guò)程類(lèi)似.所以下面的例題我們僅給出主要步驟.2020/10/2820其中為給定的函數(shù).

例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題

2020/10/2821令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)或時(shí),特征值問(wèn)題當(dāng)時(shí),由邊界條件

2020/10/2822從而特征函數(shù)為：

2020/10/2823T的方程

解得

所以2020/10/2824將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件代入上式，得所以系數(shù)2020/10/2825分離變量流程圖2020/10/2826例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題

長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周?chē)橘|(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。

解：定解問(wèn)題為

2020/10/2827設(shè)且

得本征值問(wèn)題

由及齊次邊界條件，有

2020/10/2828當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),

由得

由得故

即

令有函數(shù)方程2020/10/2829ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對(duì)的無(wú)窮多個(gè)實(shí)根故本征值為：

2020/10/2830對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)的方程：解為故可以證明函數(shù)系在上正交由初始條件得將展成以為基底的付氏級(jí)數(shù)，確定

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