福建省福州市長(zhǎng)樂江田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

福建省福州市長(zhǎng)樂江田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在一個(gè)不透明的袋子里，有三個(gè)大小相等小球（兩黃一紅），現(xiàn)在分別由3個(gè)同學(xué)無放回地抽取，如果已知第一名同學(xué)沒有抽到紅球，那么最后一名同學(xué)抽到紅球的概率為（）A． B． C． D．無法確定參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】本題是一個(gè)計(jì)算概率的問題，由題意知已經(jīng)知道，由于第一名同學(xué)沒有抽到紅球，問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)人抽取紅球的情況，根據(jù)無放回抽取的概率意義，可得到最后一名同學(xué)抽到紅球的概率．【解答】解：由題意，由于第一名同學(xué)沒有抽到紅球，問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)人抽取紅球的情況，由于無放回的抽樣是一個(gè)等可能抽樣，故此兩個(gè)同學(xué)抽到紅球的概率是一樣的都是．故選：C．2.已知函數(shù)

若，則（

）A．或

B．

C．

D．1或參考答案：A3.△ABC中，若邊a、b、c滿足，則（）（A）一定是銳角（B）一定是鈍角（C）一定是直角（D）以上情況都有可能參考答案：A4.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)空間幾何體的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則此球的體積與表面積之比為（

）

A．31

B．13

C．41

D．32參考答案：B由三視圖知幾何體是一個(gè)正四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形，高為，球心在高的延長(zhǎng)線上，球心到底面的距離為，所以，所以，故此幾何體外接球的半徑為1球的體積，表面積為，所以球的體積與表面積之比為，故選B．點(diǎn)睛：本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，由三視圖可以看出，幾何體是正四棱錐，求出高，設(shè)出球心，通過勾股定理求出球的半徑，再求球的體積、表面積，即可求出球的體積與表面積之比.

5.若為奇函數(shù)且在）上遞增，又，則的解集是（

） A．

B．

C． D．參考答案：D略6.從如圖所示的正方形OABC區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B略7.設(shè)全集,，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A．

B．C．D．

參考答案：C分析：根據(jù)所給的文恩圖，看出陰影部分所表達(dá)的是要求B集合的補(bǔ)集與A集合的交集，整理兩個(gè)集合，求出B的補(bǔ)集，再求出交集解答：解：由文恩圖知陰影部分表示的是A∩CUB

∵A={x|2x（x-2）＜1}={x|0＜x＜2}，

B={x|y=ln（1-x）}={x|x＜1}，

∴陰影部分對(duì)應(yīng)的集合是{x|1≤x＜2}

故選．略8.（01全國(guó)卷理）設(shè){an}增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（A）1

（B）2

（C）4 （D）6參考答案：答案：B9.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.A1【答案解析】B解析：解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函數(shù)y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），則A∩（CRB）=[1，2）．故選B【思路點(diǎn)撥】求出集合A中不等式的解集，確定出集合A，求出集合B中函數(shù)的定義域，確定出集合B，找出R中不屬于B的部分，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的公共部分即可10.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C（解1）由已知，，令，得或，當(dāng)時(shí)，；且，有小于零的零點(diǎn)，不符合題意。當(dāng)時(shí)，要使有唯一的零點(diǎn)且＞0，只需，即，．選C（解2）：由已知，=有唯一的正零點(diǎn)，等價(jià)于有唯一的正零根，令，則問題又等價(jià)于有唯一的正零根，即與有唯一的交點(diǎn)且交點(diǎn)在在y軸右側(cè)，記，由，，，，要使有唯一的正零根，只需，選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果點(diǎn)p在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線上，那么的最大值為

。參考答案：答案：

12.已知函數(shù)f（x）=則f（f（﹣2））的值

．參考答案：2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用分段函數(shù)在不同區(qū)間的解析式不同，分別代入即可得出．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）==9；∵9＞0，∴f（9）=log39=2．∴f（f（﹣2））=2．故答案為2．13.一艘輪船在勻速行駛過程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與它速度的平方成正比，除燃料費(fèi)外其它費(fèi)用為每小時(shí)元.當(dāng)速度為海里/小時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是元.若勻速行駛海里，當(dāng)這艘輪船的速度為___________海里/小時(shí)時(shí)，費(fèi)用總和最小.參考答案：略14.的展開式中x7的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）參考答案：－56試題分析：展開式通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】①求特定項(xiàng)系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所要求的項(xiàng)．②有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)．解此類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．15.已知向量a,b滿足（a+2b）（a-b）=-6，,=1，=2，則a與b的夾角為

參考答案：16.已知等差數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于

.參考答案：答案：9017.參考答案：322略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)橢圓E：，其中長(zhǎng)軸是短軸長(zhǎng)的倍，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.（I）求橢圓E的方程；（II）點(diǎn)P是橢圓E上動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)大于2，點(diǎn)B，C在y軸上，內(nèi)切于△PBC，試判斷點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為何值時(shí)△PBC的面積S最小。參考答案：（I）由已知，解得：，故所求橢圓方程為：…………3分（II）設(shè)，.不妨設(shè)，則直線的方程為，即，又圓心到直線的距離為，即，，化簡(jiǎn)得，…………5分同理，所以是方程的兩個(gè)根，所以，，則………7分因?yàn)槭菣E圓上的點(diǎn)，所以，，則，…………9分令，則，令化簡(jiǎn)，則，令，得，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)即即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的面積最小。…………12分19.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．（1）求證：{+}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an；（2）數(shù)列{bn}滿足bn=（3n﹣1）??an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明{+}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an；（2）利用錯(cuò)誤相減法即可求出數(shù)列的和．【解答】解（1）∵a1=1，an+1═，∴，即==3（+），則{+}為等比數(shù)列，公比q=3，首項(xiàng)為，則+=，即=﹣+=，即an=．（2）bn=（3n﹣1）??an=，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=①=+…+②，兩式相減得=1﹣=﹣=2﹣﹣=2﹣，則Tn=4﹣．20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，是線段

上的動(dòng)點(diǎn)，是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若是使恒成立的最小正整數(shù)，求的面積的最小值．參考答案：（1）由題意可知，圓C的直徑為AD，所以，圓C方程為：．設(shè)方程為：，則，解得，，當(dāng)時(shí)，直線與y軸無交點(diǎn)，不合，舍去．所以，此時(shí)直線的方程為．-------------6分

（2）設(shè)，由點(diǎn)M在線段AD上，得，即．由AM≤2ＢM，得．

依題意知，線段AD與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故，解得或．

因?yàn)閠是使AM≤2BM恒成立的最小正整數(shù)，所以，t=4．所以，圓C方程為：

---------------10分①當(dāng)直線：時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，；---------12分②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：（），則的方程為：，點(diǎn)．所以，．又圓心Ｃ到的距離為，．．因?yàn)樗?，?------------------------------------------------16分21.(本小題滿分10分)設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．參考答案：解：（1）記為排列abc的逆序數(shù)，對(duì)1，2，3的所有排列，有，所以．對(duì)1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此，．（2）對(duì)一般的n（n≥4）的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…n，所以．逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以．為計(jì)算，當(dāng)1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此，．當(dāng)n≥5時(shí)，，因此，n≥5時(shí)，．

22.（14分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=，求證：b1+b2+…+bn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），從而得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=5，公差為6的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．（3）由=（），由此能證明b1+b2+…+bn＜．【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn﹣