數(shù)學(xué)人教八年級上冊（2013年新編）13-1-3 線段垂直平分線的有關(guān)作圖（當(dāng)堂達(dá)標(biāo)）

13.1.3線段垂直平分線的有關(guān)作圖夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線。則對應(yīng)作法錯誤的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【知識點(diǎn)】作圖-垂線；作圖-角；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：作一條線段垂直平分線的方法：1.分別以線段的兩個端點(diǎn)為圓心,以大于線段的二分之一長度為半徑畫弧線,得到兩個交點(diǎn)(兩交點(diǎn)交于線段的兩側(cè)).2.連接這兩個交點(diǎn)即可.

故答案為：C

【分析】利用尺規(guī)作圖法，由作一個角等于已知角，作角的角平分線，線段的垂直平分線，過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線的方法即可一一判斷得出答案.2．下列選項(xiàng)中的尺規(guī)作圖，能推出PA=PC的是（）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：A.由此作圖可知CA=CP，不符合題意；B.由此作圖可知BA=BP，不符合題意；C.由此作圖可知∠ABP=∠CBP，不符合題意；D.由此作圖可知PA=PC，符合題意.故答案為：D?！痉治觥扛鶕?jù)尺規(guī)作圖及角平分線、線段的中垂線的性質(zhì)即可一一判斷得出答案。3．已知點(diǎn)P在ABC的邊BC上，且滿足PA＝PC，則下列確定點(diǎn)P位置的尺規(guī)作圖，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：滿足PA＝PC，則點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上A、由作圖痕跡可得，P在線段BC的垂直平分線上，不符合題意；B、由作圖痕跡可得，P在線段AC的垂直平分線上，符合題意；C、由作圖痕跡可得，P在∠BAC的角平分線上，不符合題意；D、由作圖痕跡可得，AP⊥BC，不在線段AC的垂直平分線上，不符合題意.故答案為：B.【分析】要使PA=PC，則點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，觀察各選項(xiàng)中的作圖，可得答案.4．如圖，已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P，使PA＋PC＝BC．則下列四種不同方法的作圖中正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：D選項(xiàng)中作的是AB的中垂線，

∴PA=PB，

∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC．

故答案為：D．【分析】根據(jù)題中已知條件，可知應(yīng)該作線段AB的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)，可證得結(jié)論。5．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，作直線EF交BC于點(diǎn)D，連接AD，若AB＝3，BC＝5，則△ABD的周長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：EF是AC的垂直平分線，∴CD=AD，∴△ABD的周長為：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.故答案為：D.【分析】根據(jù)作圖可知EF是AC的垂直平分線，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等可得CD=AD，由于△ABD的周長為：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，據(jù)此即得結(jié)論.6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D；再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線CE交AB于點(diǎn)F，則AF的長為()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，連接CD，BE，DE，由題意可得BC=CD，∴△BCD是等邊三角形，又∵BE=DE，∴CE是線段BD的垂直平分線，∴BF=DF，CE⊥AB，在Rt△BCF中，∠ABC=60°，∴BF=，∴AF=AB-BF=8-2=6故答案為B.【分析】理解題中的作圖方式是解題的關(guān)鍵：由“以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D”可得CB=CD；由“再分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線CE交AB于點(diǎn)F”可得BE=DE，則可得CE是線段BD的垂直平分線，則有AF=AB-BF=AB-.7．在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A，B為圓心，大于?AB的長為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD．若CD=BC，∠A=35°，則∠C=（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：∵根據(jù)作圖過程和痕跡發(fā)現(xiàn)MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∴∠C=40°，故選A．【分析】首先根據(jù)作圖過程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂線的性質(zhì)得到∠A=∠ABD，然后利用三角形外角的性質(zhì)求得∠CDB的度數(shù)，從而可以求得∠C的度數(shù)．二、填空題：8．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數(shù)為．【答案】105°【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：由題中作圖方法知道MN為線段BC的垂直平分線，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案為：105°．【分析】首先根據(jù)題目中的作圖方法確定MN是線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質(zhì)解題即可．9．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=3，連接AC，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交CD于點(diǎn)E，連接AE，則△AED的周長是．【答案】10【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=7，BC=3，∴AD=BC=3，CD=AB=7，∵由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，∴△ADE的周長=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，故答案為：10．【分析】由基本作圖可知直線MN垂直平分AC，從而利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EC，再結(jié)合平行四邊形對邊線段即可解答。10．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：若CD=AC，∠A=50°，則∠ACB的度數(shù)為°．①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．【答案】105【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：直線MN如圖所示：∵M(jìn)N垂直平分BC，∴CD=BD，∴∠DBC=∠DCB∵CD=AC，∠A=50°，∴∠CDA=∠A=50°，∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，∴∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°﹣∠CDA﹣∠A=80°，∴∠ACB=∠CDB+∠ACD=25°+80°=105°．故答案為105．【分析】根據(jù)要求先畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即可．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧交于M，N兩點(diǎn)，連結(jié)MN分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，若AD=8，則AB的長為.【答案】【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：由作圖可得：BD=AD=8，

∠BDC=∠A+∠ABD=60°，

∴BC=BDsin∠BDC=4，

∴AB=2BC=.

故答案為：.

【分析】由作圖可知MN為AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出BD長和∠BDC=60°，然后利用三角函數(shù)求出BC，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求AB長即可.12．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，則∠ACB的度數(shù)為．【答案】105°【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：由題中作圖方法知道MN為線段BC的垂直平分線，∴CD=BD．∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°．∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°．故答案為：105°【分析】由基本作圖可知直線MN垂直平分線段BC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=BD，結(jié)合等腰三角形等邊對等角，利用三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和即可解答。13．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．若△ADC的周長為10，AB=7，則△ABC的周長為【答案】17【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．∴MN是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∵△ADC的周長為10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，∴△ABC的周長為：AC+BC+AB=10+7=17．故答案為17．【分析】首先根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，再根據(jù)△ADC的周長為10可得AC+BC=10，又由條件AB=7可得△ABC的周長．三、解答題：14．已知點(diǎn)M在直線l上，A、B是直線l外的兩點(diǎn)，按照下面要求完成作圖：①過點(diǎn)M作直線l的垂線；②在已作出的垂線上確定一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離相等．（注意：要求用尺規(guī)作圖，畫圖必須用鉛筆，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡并給出結(jié)論）?【答案】解：如圖所示?【知識點(diǎn)】作圖-垂線；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】（1）以M為圓心，任意長為半徑畫弧，再以兩弧與直線交點(diǎn)分別畫弧，作出垂線即可；（2）再作出AB的垂直平分線，兩線交點(diǎn)即是P點(diǎn)【分析】此題考查了尺規(guī)作圖，通過圓的一些性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)進(jìn)行作圖。15．已知∠AOB，點(diǎn)M、N，在∠AOB的內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，且PM=PN（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】解：如圖所示：P點(diǎn)即為所求．【知識點(diǎn)】作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【分析】使P到點(diǎn)M、N的距離相等，即畫MN的垂直平分線，且到∠AOB的兩邊的距離相等，即畫它的角平分線，兩線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置．16．如圖，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D為BC上一點(diǎn)，且到A，B兩點(diǎn)的距離相等．（1）用直尺和圓規(guī)，作出點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連結(jié)AD，若∠B=33°，則∠CAD=°．【答案】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所求；（2）24【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：（2）∵AD=BD，∠B=33°，∴∠BAD=∠B=33°．∵∠C=90°，∴∠CAB=90°﹣33°=57°，∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57°﹣33°=24°．故答案為：24．【分析】（1）點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，故作線段AB的垂直平分線，其與BC的交點(diǎn)即為D；（2）根據(jù)等邊對等角可知∠BAD，又在直角三角形中求得∠CAB，即可求得∠CAD.17．作圖題：要求保留作圖痕跡，不寫作法（1）作線段AC的垂直平分線，分別交AC、BC于E、F.在直線EF上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到射線AB，AC的距離相等.（2）若AB＝6，BC＝8，連接AF，求△ABF的周長.【答案】（1）解：作圖如下，根據(jù)作的角平分線與的交點(diǎn)為點(diǎn)P，（2）解：連接，如下圖：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：，，，.【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知點(diǎn)P應(yīng)該是∠BAC的角平分線與EF的垂直平分線的交點(diǎn)，據(jù)此即可做出圖形；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=CF，則BC=BF+AF=8，據(jù)此不難求出△ABF的周長.能力提升篇一、單選題：1．下面三個基本作圖的作圖痕跡．關(guān)于三條?、?，②，③，有以下三種說法，⑴?、偈且渣c(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑所作的?。虎苹、谑且渣c(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑所作的?。虎腔、凼且渣c(diǎn)O為圓心，以大于DE的長為半徑所作的?。渲姓_說法的個數(shù)為（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【知識點(diǎn)】作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：（1）?、偈且渣c(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑所作的弧，符合題意．（2）②是以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑所作的弧，不符合題意，應(yīng)該是②是以點(diǎn)A為圓心，大于AB長為半徑所作的?。?）?、凼且渣c(diǎn)O為圓心，以大于DE的長為半徑所作的弧，不符合題意，應(yīng)該是弧③是以點(diǎn)E為圓心，以大于DE的長為半徑所作的弧，故答案為：C．【分析】根據(jù)所作的圖判斷求解即可。2．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的長為A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：利用作圖可知，DM垂直平分BC，

∴BD=CD，

∵DC=AC-AD

∴BD=CD=6-2=4.

故答案為：C.

【分析】利用作圖可知，DM垂直平分BC，利用垂直平分線的性質(zhì)，可證得BD=CD；然后根據(jù)DC=AC-AD，代入計算可求出BD的長.3．如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α=（）A．68° B．56° C．28° D．34°【答案】B【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：如圖，取E、F點(diǎn)，

∵BC∥AD，

∴∠DAC=∠ACB=68°，

由作圖可知，AF平分∠CAD，EF是AC的垂直平分線，

∴∠EAF=∠DAC=34°，∠AEF=90°，

∴∠α=180°-∠AEF-∠EAF=180°-90°-34°=56°.

故答案為：B.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DAC的度數(shù)，然后由作圖過程可知AF平分∠CAD，EF是AC的垂直平分線，從而得出∠EAF和∠AEF的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果.二、填空題：4．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，按如下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交AC于點(diǎn)D，③連接BD，若AC=8，則BD的長為【答案】4【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：由題意可得：MN是線段BC的垂直平分線，則AB∥MN，∵M(jìn)N垂直平分線BC，∴D是AC的中點(diǎn)，∴BD是直角三角形ABC斜邊上的中線，故BD=AC=4．故答案為：4．【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及其作法得出MN是線段BC的垂直平分線，進(jìn)而得出D為AC中點(diǎn)，即可得出答案．5．如圖，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為．【答案】65°【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣55°﹣30°=95°．∵直線MN是線段AC的垂直平分線，∴∠C=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=95°﹣30°=65°．故答案為：65°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠C=∠CAD，進(jìn)而可得出結(jié)論．6．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和；②作直線交于點(diǎn)，連接.若，，則的長為.【答案】4【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】解：∵，，∴CD=AC-AD=6-2=4，由作圖知MN是BC垂直平分線，∴BD=CD=4.故答案為：4.【分析】利用CD=AC-AD先求出CD的長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD=CD，從而求出結(jié)論.7．如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.步驟1：以為圓心，為半徑畫弧①；步驟2：以為圓心，為半徑畫?、?；步驟3：連接，交延長線于點(diǎn)；下列結(jié)論：①垂直平分線段；②平分；③；④.其中一定正確的有（只填序號）【答案】①③④【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線【解析】【解答】連接CD，BD由作圖可知：CA=CD，BA=BD，∴直線BC垂直平分線段AD，∴AH=DH，∴S△ABC=?BC?AH，故①③④正確，故答案為：①③④.【分析】連接CD，BD,根據(jù)作圖可得直線BC垂直平分線段AD，可得AH=DH，利用三角形的面積公式可得S△ABC=?BC?AH，據(jù)此判斷即可.三、解答題：8．如圖：△ABC中，AC＞AB．（1）作AB邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，作AC邊的