微積分基本定理及其生活應(yīng)用

微積分基本定理及其生活應(yīng)用第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、教材分析⒈地位、作用：歐洲數(shù)學(xué)家們沖出了古希臘人“嚴(yán)格證明”的圣殿，以直觀推斷的思維方式，創(chuàng)立了被恩格斯譽(yù)為“人類精神的最高勝利”的微積分學(xué)，微積分基本定理正是它的核心！第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：重點(diǎn)：通過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的雛形，進(jìn)而把結(jié)論一般化,是這節(jié)課的重點(diǎn).難點(diǎn)：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定積分的基本思想來探究問題，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的意義作為橋梁來轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課的難點(diǎn)。第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒊教學(xué)目標(biāo)分析：知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，直觀了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理解導(dǎo)數(shù)與定積分的互逆關(guān)系；通過計(jì)算兩個(gè)簡(jiǎn)單的定積分，使學(xué)生體會(huì)微積分基本定理的優(yōu)越性，理解微積分在數(shù)學(xué)史上舉足輕重的地位。第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月能力目標(biāo)：

讓學(xué)生能夠體會(huì)微積分運(yùn)動(dòng)變化地思維方式和初等數(shù)學(xué)中靜態(tài)的思維方式的區(qū)別，并且培養(yǎng)學(xué)生在探索過程中善于變通的思想，敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神!第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月情感目標(biāo)：A揭示尋求計(jì)算定積分新方法的必要性,激發(fā)學(xué)生的求知欲。B體會(huì)“以直代曲”——臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)的思想。C感受用近似無限接近精確的方法。第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒋教學(xué)方法和手段：盡管已是高中學(xué)生，但抽象的概念依然令學(xué)生望而生畏，因此著眼于個(gè)別實(shí)例的研究，強(qiáng)調(diào)來龍去脈，淡化證明過程。學(xué)生既不用面對(duì)極限、無窮項(xiàng)求和、導(dǎo)數(shù)、積分綜合難題的證明，又不失為良好的推導(dǎo)微積分基本定理的過程。第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒉由于學(xué)生剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率,路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為速度二、學(xué)情分析：⒈根據(jù)函數(shù)曲線圖學(xué)生不難看出位移差第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、學(xué)情分析：⒊上一節(jié)中剛學(xué)習(xí)了“汽車行駛的路程”，學(xué)生明白路程的計(jì)算實(shí)際上是一個(gè)求定積分的過程，即對(duì)的定積分。⒋讓學(xué)生再一次感受小區(qū)間不斷細(xì)分對(duì)近似程度的影響，如何通過逐步逼近而求出定積分。第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)過程：⒈引題——追根溯源：公元3世紀(jì)誕生的劉徽著名的“割圓術(shù)”：

割之彌細(xì)，所失越少．則與圓周合體而無所失矣．割之又割，以至于不可割，第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)過程：⒉情景設(shè)置：①首先讓學(xué)生回顧計(jì)算的過程：（分割、近似代替、求和、取極限）=第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)過程：②接著動(dòng)手利用定義計(jì)算

=③重復(fù)以上步驟學(xué)生遇到了麻煩；引導(dǎo)學(xué)生分析原因：和式難求．

④當(dāng)被積函數(shù)是

如何求呢？第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月=⒊探究——問題模型：尋求新方法

如圖，一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻t的速度是。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的位移為S，你能分別用，表示Ｓ嗎？

第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察圖象得到物體的位移s，即

第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月分析:

下面我們討論如何用速度函數(shù)v(t)來表示位移s，因?yàn)樵谏弦还?jié)“汽車行駛的路程”中，學(xué)生知道了位移就是對(duì)速度函數(shù)v(t)的定積分，在此學(xué)生肯定會(huì)聯(lián)想到只要知道了v(t),不就解決了嗎？但是題目已知的只是路程函數(shù)s(t),因此接下來的關(guān)鍵在于建立v(t)與s(t)的關(guān)系。下面分8個(gè)步驟來討論：

第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月微積分基本定理就是勾股定理）以研究這小段山高為例：?jiǎn)栴}1能否把一小段的山高近似地看作一個(gè)直角三角形呢？

問題2假設(shè)是直角三角形，那么斜邊如何構(gòu)造呢？問題3在這個(gè)直角三角形種哪些量是已知或可求的？

通過討論發(fā)現(xiàn)山高那么把所有累加起來不正好就是山的高度嗎？

第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒈分割：等分成n個(gè)小區(qū)間

第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月=

可用線段ＡＤ來近似代替曲邊AB，得到直角三角形ACD，AD正是曲線在左端點(diǎn)A處的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：AD的斜率就是tan∠DAC，所以

另一方面曲線S在左端點(diǎn)A處的切線就是，引進(jìn)導(dǎo)數(shù)．⒉近似代替：當(dāng)很小時(shí)，我們可以認(rèn)為

第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒊求和：⒋取極限：物體的總位移的近似值

就越接近精確值S．即第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月=讓學(xué)生觀察，這不正是速度函數(shù)的定積分嗎？（引入定積分得到左邊雛形）

（建立導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系）

第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月歸納小結(jié)：③式表明，速度函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于位移函數(shù)

在區(qū)間[a，b]的右端點(diǎn)處的函數(shù)值s(b)與左端點(diǎn)處的函數(shù)值s

(a)之差．③式是否具有一般性呢？第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒋水到渠成：給出微積分基本定理的一般形式。

連續(xù)函數(shù)f(x),若，則即牛頓——萊布尼茲公式（Newton—LeibnizFormula）。

第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月（1646－1716）人類精神的卓越勝利（1642－1727）巨人的肩膀第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒍活學(xué)活用：利用微積分基本定理解決前面的問題

以學(xué)生練習(xí)、討論為主，讓學(xué)生與上一節(jié)例題比較，得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計(jì)算定積分簡(jiǎn)單，教師給出規(guī)范的書寫格式。初步展示利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性。第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒎知識(shí)的延伸：通過計(jì)算下列定積分得到定積分的幾何意義

通過計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月我們發(fā)現(xiàn)：（１）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是0；（2）當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時(shí)，定積分的值取正值；（3）當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；（4）當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方的面積等于位于x軸下方的面積時(shí)，定積分的值為0．得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的代數(shù)和。第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月⒏生活鏈接：假設(shè)一物體從飛機(jī)上扔下，t秒物體的下落速度近似為：（，）（1）寫出t秒后物體下落距離的表達(dá)式；

（2）如果是從高出地面5000m的高空處扔下，那么大約經(jīng)過多少秒后將觸到地面？第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月四、教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)：

整個(gè)是由特殊到一般，直觀到抽象，這樣一個(gè)合