22地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-課件

第2章地理信息系統(tǒng)§2.2地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四空間尺度一地理空間參考解決地球的空間定位與數(shù)學(xué)描述問題。（一）地球形狀與地球橢球（二）坐標(biāo)系統(tǒng)（三）高程基準(zhǔn)一地理空間參考

（一）地球形狀與地球橢球自然地球表面自然地球表面是一個起伏不平，十分不規(guī)則的表面，最高點(diǎn)珠峰（8848.13米），最深處馬里亞那海溝（-11034米。這個高低不平的表面無法用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，也無法進(jìn)行計算。那么如何準(zhǔn)確表達(dá)地球上每一點(diǎn)的絕對位置呢？——找出一個規(guī)則的曲面來代替地球的自然表面。

假設(shè)，當(dāng)海水處于完全靜止的平衡狀態(tài)時，存在著一個從海平面延伸到所有大陸下部、而與地球重力方向處處正交的一個連續(xù)、閉合的水準(zhǔn)面，這就是大地水準(zhǔn)面。

大地水準(zhǔn)面以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)，可以用水準(zhǔn)儀完成地球自然表面上任一點(diǎn)高程的測量。地球橢球面——規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面ab基于大地水準(zhǔn)面建立地球橢球體模型：

旋轉(zhuǎn)橢球體是地球表面幾何模型中最簡單一類模型，為世界各國普遍采用作為測量工作的基準(zhǔn)。我國目前一般采用克拉索夫斯基橢球體作為地球表面幾何模型。主要參數(shù)：長軸、短軸、扁率國際主要的橢球參數(shù)

橢球名稱年代長半徑/m扁率附注

德蘭勃（Delambre）18006,375,6531：334.0法國

埃弗瑞斯(Everest)18306,337,2761:300.801英國

貝賽爾(Bessel)18416,377,3971:299.152德國

克拉克(Clarke)18806,378,2491:293.459英國

海福特(Hayford)19106,378,3881:297.01942年國際第一個推薦值

克拉索夫斯基19406,378,2451:298.3蘇聯(lián)

1967年大地坐標(biāo)系19676,378,1601:298.2471971年國際第二個推薦值

1975年大地坐標(biāo)系19756,378,1401:298.2571975年國際第三個推薦值

1980年大地坐標(biāo)系19796,378,1371:298.2571979年國際第四個推薦值地球表面橢球體海面大地水準(zhǔn)面從地球自然表面

大地水準(zhǔn)面

地球橢球面

大地基準(zhǔn)面：大地基準(zhǔn)面是利用特定橢球體對特定地區(qū)地球表面的逼近。因此每個國家或地區(qū)均有各自的大地基準(zhǔn)面。

橢球體與大地基準(zhǔn)面之間的關(guān)系是一對多的關(guān)系一地理空間參考

（二）坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)系統(tǒng)球面坐標(biāo)系統(tǒng)平面坐標(biāo)系統(tǒng)天文坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，它的基準(zhǔn)面是大地水準(zhǔn)面，它用天文經(jīng)度λ和天文緯度φ兩個參數(shù)來表示地面點(diǎn)在大地體上的位置。球面坐標(biāo)系統(tǒng)：天文坐標(biāo)系天文坐標(biāo)系K(λ,φ)大地測量中以參考橢球面為基準(zhǔn)面建立起來的坐標(biāo)系。地面點(diǎn)的位置用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高程來表示。球面坐標(biāo)系統(tǒng)：大地坐標(biāo)系P(L,B,H)LB大地坐標(biāo)系大地經(jīng)、緯度是根據(jù)起始大地點(diǎn)（大地原點(diǎn)，該點(diǎn)的大地經(jīng)緯度與天文經(jīng)緯度一致）的大地坐標(biāo)，按大地測量所得的數(shù)據(jù)推算而得的。由于天文坐標(biāo)和大地坐標(biāo)選用的基準(zhǔn)線和基準(zhǔn)面不同，所以同一點(diǎn)的天文坐標(biāo)與大地坐標(biāo)不一樣，不過這種差異很小，在普通測量工作中可以忽略。陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)石際寺村大地原點(diǎn)國家大地控制網(wǎng)大地坐標(biāo)系1954北京坐標(biāo)系——采用克拉索夫斯基橢球，實(shí)質(zhì)上是由原蘇聯(lián)普爾科沃為原點(diǎn)的1942年坐標(biāo)系的延伸。

1980西安坐標(biāo)系——采用1975國際橢球，以陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)大地原點(diǎn)為起算點(diǎn)。

參心空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于參考橢球的中心，Z軸指向參考橢球的北極，X軸指向起始子午面與赤道的交點(diǎn)，Y軸位于赤道面上切按右手系于X軸呈90度夾角。球面坐標(biāo)系統(tǒng)：空間直角坐標(biāo)系（參心、地心）地心空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球質(zhì)心。WGS-84坐標(biāo)系——“WorldGeodeticSystem”(世界大地坐標(biāo)系）是美國國防局為進(jìn)行GPS導(dǎo)航定位于1984年建立的地心坐標(biāo)系，1985年投入使用，采用WGS-84橢球。平面坐標(biāo)系統(tǒng)=球面坐標(biāo)系統(tǒng)+投影規(guī)則一地理空間參考

（三）高程基準(zhǔn)

1絕對高程。地面點(diǎn)沿垂線方向至大地水準(zhǔn)面的距離稱為絕對高程或稱海拔。

高程基準(zhǔn)是推算國家統(tǒng)一高程控制網(wǎng)的水準(zhǔn)原點(diǎn)的起算依據(jù)，它包括一個水準(zhǔn)基面和一個永久性水準(zhǔn)原點(diǎn)。我國高程基準(zhǔn)：1956年黃海高程系（水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為72.289m）1985年國家高程基準(zhǔn)（國家水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為72.260m)水準(zhǔn)原點(diǎn)1985國家高程基準(zhǔn)，72.2604米黃海海面1952-1979年平均海水面為0米青島市觀象山上國家水準(zhǔn)原點(diǎn)國家高程控制網(wǎng)是確定地貌地物海拔高程的坐標(biāo)系統(tǒng)，按控制等級和施測精度分為一、二、三、四等網(wǎng)。目前提供使用的1985國家高程系統(tǒng)共有水準(zhǔn)點(diǎn)成果114041個，水準(zhǔn)路線長度為416619．1公里。2019年5月，為更好地利用水準(zhǔn)原點(diǎn)這一獨(dú)特的資源，經(jīng)國家測繪局批準(zhǔn)，由專家精確移植水準(zhǔn)原點(diǎn)信息數(shù)據(jù)，在青島銀海大世界內(nèi)（也叫銀海國際游艇俱樂部內(nèi)）建起了“中華人民共和國水準(zhǔn)零點(diǎn)”。這也是全國唯一的水準(zhǔn)零點(diǎn)標(biāo)志。2相對高程。地面點(diǎn)沿鉛垂線方向至任意假定的

水準(zhǔn)面的距離稱為該點(diǎn)的相對高程，亦稱假定高程。

3高差。地面上任意兩點(diǎn)的高程(絕對高程或相對

高程)之差稱為高差。本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四空間尺度二空間數(shù)據(jù)投影解決如何把地球曲面信息展布到二維平面。（一）為何要進(jìn)行投影？（二）地圖投影變形（三）地圖投影的分類（四）常用地圖投影概述（五）地圖投影的選擇地圖投影MapScaleMapdistance

Earthdistance=CurvedEarthGeographiccoordinates:B,L

(Latitude&Longitude)FlatMap

Cartesiancoordinates:x,y(Easting&Northing)(xo,yo)XY二空間數(shù)據(jù)投影

將地球橢球面上的點(diǎn)映射到平面上的方法，稱為地圖投影。1球面坐標(biāo)不方便進(jìn)行距離、方位、面積等參數(shù)的量算；2地圖為平面，符合視覺心理，并易于進(jìn)行距離、方位、面積等量算和各種空間分析。3地球橢球體為不可展曲面；（一）為何要進(jìn)行投影？地圖投影實(shí)質(zhì)：

建立地球橢球面上的點(diǎn)的地理坐標(biāo)（B，L）與平面上對應(yīng)點(diǎn)的平面坐標(biāo)（x，y）之間的函數(shù)關(guān)系：

二空間數(shù)據(jù)投影

（二）地圖投影變形將不可展的地球橢球面展開成平面，并且不能有斷裂，則圖形必將在某些地方被拉伸，某些地方被壓縮，故投影變形是不可避免的。長度變形面積變形角度變形二空間數(shù)據(jù)投影

（三）地圖投影的分類變形分類：等角投影：投影前后角度不變等面積投影：投影前后面積不變；任意投影：角度、面積、長度均變形投影面：圓柱投影：投影面為圓柱圓錐投影：投影面為圓錐方位投影：投影面為平面投影面位置：正軸投影：投影面中心軸與地軸相互重合斜軸投影：投影面中心軸與地軸斜向相交橫軸投影：投影面中心軸與地軸相互垂直

相切投影：投影面與橢球體相切相割投影：投影面與橢球體相割二空間數(shù)據(jù)投影

（四）常用地圖投影概述1高斯-克呂格投影2通用墨卡托投影（UTM-UniversalTransverseMercator)3蘭勃特等角投影（Lambertconformalconic)1高斯-克呂格投影-等角橫軸切圓柱投影

高斯-克呂格爾投影是德國的C.F.高斯于1822年提出的，后經(jīng)德國的克呂格(J.H.L.Krüger)于1912年加以擴(kuò)充而完善。設(shè)想一個橢圓柱橫切于地球橢球某一經(jīng)線，根據(jù)等角條件，用解析法將中央經(jīng)線兩側(cè)一定經(jīng)差范圍內(nèi)地球橢球體面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到橢圓柱面上，并將此橢圓柱面展為平面所得到的一種等角投影。示意圖如下：高斯-克呂格投影有以下特性：①中央子午線是直線，其長度不變形，離開中央子午線的其他子午線是弧形，凹向中央子午線。離開中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。②投影后赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。③離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道。④所有經(jīng)線和緯線正交。通常其按經(jīng)差6°或3°分為六度帶或三度帶。六度帶自本初子午線起每隔經(jīng)差6°自西向東分60帶。三度帶是在六度帶的基礎(chǔ)上分成的，自1.5度子午線起每隔經(jīng)差3度自西向東分120帶。我國規(guī)定1:1萬、1:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬比例尺地形圖均采用高斯投影。1:2.5至1:50萬比例尺地形圖采用經(jīng)差6度分帶，1:1萬比例尺地形圖采用經(jīng)差3度分帶。高斯平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)：赤道和中央子午線的交點(diǎn)。x軸：中央子午線，北方向為正。y軸：赤道投影線，東方向為正?！谟嬎阒袨楸苊釿值出現(xiàn)負(fù)值，我國規(guī)定各投影帶內(nèi)縱坐標(biāo)軸西移500KM。YA=100000mYB=-200000m2通用墨卡托投影（UTM-Universal

TransverseMercator)

——等角橫軸割圓柱投影

圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線上沒有變形。該投影將地球劃分為60個投影帶，自180度經(jīng)線向東每帶經(jīng)差為6度，已被許多國家作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。高斯-克呂格投影的中央經(jīng)線投影后保持長度不變，而UTM投影的比例系數(shù)為0.9996。3蘭勃特等角投影（Lambertconformalconic)

——正軸割圓錐投影由德國數(shù)學(xué)家蘭勃特在1772年擬定。設(shè)想用一個正圓錐割球面兩標(biāo)準(zhǔn)緯線，應(yīng)用等角條件將地圖投影到圓錐面上，然后沿一母線展開，即為蘭勃特投影平面。我國比例尺小于1:100萬的地圖通常采用蘭勃特投影。二空間數(shù)據(jù)投影

（五）地圖投影的選擇地圖投影的選擇依據(jù)：1.制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍2.制圖比例尺3.地圖的內(nèi)容1.制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍地理位置

制圖區(qū)域的地理位置決定了所選擇投影的種類。例如，制圖區(qū)域在極地位置，理所當(dāng)然地選擇正軸方位投影；在赤道附近應(yīng)考慮選擇橫軸方位投影或正軸方位投影；若制圖區(qū)域在中緯地區(qū)，則應(yīng)考慮選擇正軸圓錐投影或斜軸方位投影。選用投影時最好使等變形線與制圖區(qū)域的輪廓形狀基本一致。方位投影的變形線的形狀是以投影中心為圓心的圓形，所以它最適合表示具有圓形輪廓的區(qū)域；當(dāng)制圖區(qū)域沿東西方向延伸且處于中緯地區(qū)時，則宜采用正軸圓錐投影，如中國、美國等。當(dāng)制圖區(qū)域在赤道附近或處于赤道兩側(cè)沿東西方向延伸時，應(yīng)采用正軸圓柱投影，如印度尼西亞。當(dāng)制圖區(qū)域沿南北方向延伸，一般采用橫軸圓柱投影和多圓錐投影，如南美洲的阿根廷、智利。形狀

制圖區(qū)域的范圍大小也影響地圖投影的選擇。當(dāng)制圖區(qū)域范圍不太大時，無論選擇什么投影，制圖區(qū)域范圍內(nèi)各處變形差異都不會太大。有人曾以我國最大的省區(qū)新疆維吾爾自治區(qū)為例，用等角、等積、等距三種正軸圓錐投影作比較，其計算結(jié)果表明，不同緯度的長度變形差別甚微。可見其他省區(qū)圖變形差異就更微乎其微了。而對于制圖區(qū)域廣大的大國地圖、大洲地圖、半球圖、世界圖等，則需要慎重地選擇投影。范圍2.制圖比例尺

不同比例尺地圖對精度要求的不同，導(dǎo)致在投影選擇上亦各不相同。以我國為例，大比例尺地形圖，由于要在圖上進(jìn)行各種量算及精確定位，因此應(yīng)選擇各方面變形都很小的地圖投影，比如分帶投影的橫軸等角橢圓柱投影（如高斯—克呂格投影）。而中小比例尺的省區(qū)圖，由于概括程度高于大比例尺地形圖，因而定位精度相對降低，選用正軸等角、等積、等距的圓錐投影即可滿足用圖要求。3.地圖的內(nèi)容

即使同一個制圖區(qū)域，但因地圖所表現(xiàn)的主題和內(nèi)容不同，因而其地圖投影選擇也應(yīng)有所不同。如交通圖、航海圖、軍用圖等要求方向正確地圖應(yīng)選擇等角投影；而自然地圖和社會經(jīng)濟(jì)地圖中的分布圖、類型圖等則要選擇等積投影。再如世界時區(qū)圖，為使時區(qū)的劃分表現(xiàn)得清楚，只能選擇經(jīng)線投影成直線的正軸圓柱投影等。本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四空間尺度把空間數(shù)據(jù)從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中。三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（一）空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換（二）投影解析轉(zhuǎn)換（三）數(shù)值擬合轉(zhuǎn)換本章內(nèi)容：一地理空間參考