22地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-課件

第2章地理信息系統(tǒng)§2.2地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四空間尺度一地理空間參考解決地球的空間定位與數(shù)學(xué)描述問(wèn)題。（一）地球形狀與地球橢球（二）坐標(biāo)系統(tǒng)（三）高程基準(zhǔn)一地理空間參考

（一）地球形狀與地球橢球自然地球表面自然地球表面是一個(gè)起伏不平，十分不規(guī)則的表面，最高點(diǎn)珠峰（8848.13米），最深處馬里亞那海溝（-11034米。這個(gè)高低不平的表面無(wú)法用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，也無(wú)法進(jìn)行計(jì)算。那么如何準(zhǔn)確表達(dá)地球上每一點(diǎn)的絕對(duì)位置呢？——找出一個(gè)規(guī)則的曲面來(lái)代替地球的自然表面。

假設(shè)，當(dāng)海水處于完全靜止的平衡狀態(tài)時(shí)，存在著一個(gè)從海平面延伸到所有大陸下部、而與地球重力方向處處正交的一個(gè)連續(xù)、閉合的水準(zhǔn)面，這就是大地水準(zhǔn)面。

大地水準(zhǔn)面以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)，可以用水準(zhǔn)儀完成地球自然表面上任一點(diǎn)高程的測(cè)量。地球橢球面——規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面ab基于大地水準(zhǔn)面建立地球橢球體模型：

旋轉(zhuǎn)橢球體是地球表面幾何模型中最簡(jiǎn)單一類(lèi)模型，為世界各國(guó)普遍采用作為測(cè)量工作的基準(zhǔn)。我國(guó)目前一般采用克拉索夫斯基橢球體作為地球表面幾何模型。主要參數(shù)：長(zhǎng)軸、短軸、扁率國(guó)際主要的橢球參數(shù)

橢球名稱(chēng)年代長(zhǎng)半徑/m扁率附注

德蘭勃（Delambre）18006,375,6531：334.0法國(guó)

埃弗瑞斯(Everest)18306,337,2761:300.801英國(guó)

貝賽爾(Bessel)18416,377,3971:299.152德國(guó)

克拉克(Clarke)18806,378,2491:293.459英國(guó)

海福特(Hayford)19106,378,3881:297.01942年國(guó)際第一個(gè)推薦值

克拉索夫斯基19406,378,2451:298.3蘇聯(lián)

1967年大地坐標(biāo)系19676,378,1601:298.2471971年國(guó)際第二個(gè)推薦值

1975年大地坐標(biāo)系19756,378,1401:298.2571975年國(guó)際第三個(gè)推薦值

1980年大地坐標(biāo)系19796,378,1371:298.2571979年國(guó)際第四個(gè)推薦值地球表面橢球體海面大地水準(zhǔn)面從地球自然表面

大地水準(zhǔn)面

地球橢球面

大地基準(zhǔn)面：大地基準(zhǔn)面是利用特定橢球體對(duì)特定地區(qū)地球表面的逼近。因此每個(gè)國(guó)家或地區(qū)均有各自的大地基準(zhǔn)面。

橢球體與大地基準(zhǔn)面之間的關(guān)系是一對(duì)多的關(guān)系一地理空間參考

（二）坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)系統(tǒng)球面坐標(biāo)系統(tǒng)平面坐標(biāo)系統(tǒng)天文坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，它的基準(zhǔn)面是大地水準(zhǔn)面，它用天文經(jīng)度λ和天文緯度φ兩個(gè)參數(shù)來(lái)表示地面點(diǎn)在大地體上的位置。球面坐標(biāo)系統(tǒng)：天文坐標(biāo)系天文坐標(biāo)系K(λ,φ)大地測(cè)量中以參考橢球面為基準(zhǔn)面建立起來(lái)的坐標(biāo)系。地面點(diǎn)的位置用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高程來(lái)表示。球面坐標(biāo)系統(tǒng)：大地坐標(biāo)系P(L,B,H)LB大地坐標(biāo)系大地經(jīng)、緯度是根據(jù)起始大地點(diǎn)（大地原點(diǎn)，該點(diǎn)的大地經(jīng)緯度與天文經(jīng)緯度一致）的大地坐標(biāo)，按大地測(cè)量所得的數(shù)據(jù)推算而得的。由于天文坐標(biāo)和大地坐標(biāo)選用的基準(zhǔn)線(xiàn)和基準(zhǔn)面不同，所以同一點(diǎn)的天文坐標(biāo)與大地坐標(biāo)不一樣，不過(guò)這種差異很小，在普通測(cè)量工作中可以忽略。陜西涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)石際寺村大地原點(diǎn)國(guó)家大地控制網(wǎng)大地坐標(biāo)系1954北京坐標(biāo)系——采用克拉索夫斯基橢球，實(shí)質(zhì)上是由原蘇聯(lián)普爾科沃為原點(diǎn)的1942年坐標(biāo)系的延伸。

1980西安坐標(biāo)系——采用1975國(guó)際橢球，以陜西省涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)大地原點(diǎn)為起算點(diǎn)。

參心空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于參考橢球的中心，Z軸指向參考橢球的北極，X軸指向起始子午面與赤道的交點(diǎn)，Y軸位于赤道面上切按右手系于X軸呈90度夾角。球面坐標(biāo)系統(tǒng)：空間直角坐標(biāo)系（參心、地心）地心空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球質(zhì)心。WGS-84坐標(biāo)系——“WorldGeodeticSystem”(世界大地坐標(biāo)系）是美國(guó)國(guó)防局為進(jìn)行GPS導(dǎo)航定位于1984年建立的地心坐標(biāo)系，1985年投入使用，采用WGS-84橢球。平面坐標(biāo)系統(tǒng)=球面坐標(biāo)系統(tǒng)+投影規(guī)則一地理空間參考

（三）高程基準(zhǔn)

1絕對(duì)高程。地面點(diǎn)沿垂線(xiàn)方向至大地水準(zhǔn)面的距離稱(chēng)為絕對(duì)高程或稱(chēng)海拔。

高程基準(zhǔn)是推算國(guó)家統(tǒng)一高程控制網(wǎng)的水準(zhǔn)原點(diǎn)的起算依據(jù)，它包括一個(gè)水準(zhǔn)基面和一個(gè)永久性水準(zhǔn)原點(diǎn)。我國(guó)高程基準(zhǔn)：1956年黃海高程系（水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為72.289m）1985年國(guó)家高程基準(zhǔn)（國(guó)家水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為72.260m)水準(zhǔn)原點(diǎn)1985國(guó)家高程基準(zhǔn)，72.2604米黃海海面1952-1979年平均海水面為0米青島市觀象山上國(guó)家水準(zhǔn)原點(diǎn)國(guó)家高程控制網(wǎng)是確定地貌地物海拔高程的坐標(biāo)系統(tǒng)，按控制等級(jí)和施測(cè)精度分為一、二、三、四等網(wǎng)。目前提供使用的1985國(guó)家高程系統(tǒng)共有水準(zhǔn)點(diǎn)成果114041個(gè)，水準(zhǔn)路線(xiàn)長(zhǎng)度為416619．1公里。2019年5月，為更好地利用水準(zhǔn)原點(diǎn)這一獨(dú)特的資源，經(jīng)國(guó)家測(cè)繪局批準(zhǔn)，由專(zhuān)家精確移植水準(zhǔn)原點(diǎn)信息數(shù)據(jù)，在青島銀海大世界內(nèi)（也叫銀海國(guó)際游艇俱樂(lè)部?jī)?nèi)）建起了“中華人民共和國(guó)水準(zhǔn)零點(diǎn)”。這也是全國(guó)唯一的水準(zhǔn)零點(diǎn)標(biāo)志。2相對(duì)高程。地面點(diǎn)沿鉛垂線(xiàn)方向至任意假定的

水準(zhǔn)面的距離稱(chēng)為該點(diǎn)的相對(duì)高程，亦稱(chēng)假定高程。

3高差。地面上任意兩點(diǎn)的高程(絕對(duì)高程或相對(duì)

高程)之差稱(chēng)為高差。本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四空間尺度二空間數(shù)據(jù)投影解決如何把地球曲面信息展布到二維平面。（一）為何要進(jìn)行投影？（二）地圖投影變形（三）地圖投影的分類(lèi)（四）常用地圖投影概述（五）地圖投影的選擇地圖投影MapScaleMapdistance

Earthdistance=CurvedEarthGeographiccoordinates:B,L

(Latitude&Longitude)FlatMap

Cartesiancoordinates:x,y(Easting&Northing)(xo,yo)XY二空間數(shù)據(jù)投影

將地球橢球面上的點(diǎn)映射到平面上的方法，稱(chēng)為地圖投影。1球面坐標(biāo)不方便進(jìn)行距離、方位、面積等參數(shù)的量算；2地圖為平面，符合視覺(jué)心理，并易于進(jìn)行距離、方位、面積等量算和各種空間分析。3地球橢球體為不可展曲面；（一）為何要進(jìn)行投影？地圖投影實(shí)質(zhì)：

建立地球橢球面上的點(diǎn)的地理坐標(biāo)（B，L）與平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平面坐標(biāo)（x，y）之間的函數(shù)關(guān)系：

二空間數(shù)據(jù)投影

（二）地圖投影變形將不可展的地球橢球面展開(kāi)成平面，并且不能有斷裂，則圖形必將在某些地方被拉伸，某些地方被壓縮，故投影變形是不可避免的。長(zhǎng)度變形面積變形角度變形二空間數(shù)據(jù)投影

（三）地圖投影的分類(lèi)變形分類(lèi)：等角投影：投影前后角度不變等面積投影：投影前后面積不變；任意投影：角度、面積、長(zhǎng)度均變形投影面：圓柱投影：投影面為圓柱圓錐投影：投影面為圓錐方位投影：投影面為平面投影面位置：正軸投影：投影面中心軸與地軸相互重合斜軸投影：投影面中心軸與地軸斜向相交橫軸投影：投影面中心軸與地軸相互垂直

相切投影：投影面與橢球體相切相割投影：投影面與橢球體相割二空間數(shù)據(jù)投影

（四）常用地圖投影概述1高斯-克呂格投影2通用墨卡托投影（UTM-UniversalTransverseMercator)3蘭勃特等角投影（Lambertconformalconic)1高斯-克呂格投影-等角橫軸切圓柱投影

高斯-克呂格爾投影是德國(guó)的C.F.高斯于1822年提出的，后經(jīng)德國(guó)的克呂格(J.H.L.Krüger)于1912年加以擴(kuò)充而完善。設(shè)想一個(gè)橢圓柱橫切于地球橢球某一經(jīng)線(xiàn)，根據(jù)等角條件，用解析法將中央經(jīng)線(xiàn)兩側(cè)一定經(jīng)差范圍內(nèi)地球橢球體面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到橢圓柱面上，并將此橢圓柱面展為平面所得到的一種等角投影。示意圖如下：高斯-克呂格投影有以下特性：①中央子午線(xiàn)是直線(xiàn)，其長(zhǎng)度不變形，離開(kāi)中央子午線(xiàn)的其他子午線(xiàn)是弧形，凹向中央子午線(xiàn)。離開(kāi)中央子午線(xiàn)越遠(yuǎn)，變形越大。②投影后赤道是一條直線(xiàn)，赤道與中央子午線(xiàn)保持正交。③離開(kāi)赤道的緯線(xiàn)是弧線(xiàn)，凸向赤道。④所有經(jīng)線(xiàn)和緯線(xiàn)正交。通常其按經(jīng)差6°或3°分為六度帶或三度帶。六度帶自本初子午線(xiàn)起每隔經(jīng)差6°自西向東分60帶。三度帶是在六度帶的基礎(chǔ)上分成的，自1.5度子午線(xiàn)起每隔經(jīng)差3度自西向東分120帶。我國(guó)規(guī)定1:1萬(wàn)、1:2.5萬(wàn)、1:5萬(wàn)、1:10萬(wàn)、1:25萬(wàn)、1:50萬(wàn)比例尺地形圖均采用高斯投影。1:2.5至1:50萬(wàn)比例尺地形圖采用經(jīng)差6度分帶，1:1萬(wàn)比例尺地形圖采用經(jīng)差3度分帶。高斯平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)：赤道和中央子午線(xiàn)的交點(diǎn)。x軸：中央子午線(xiàn)，北方向?yàn)檎?。y軸：赤道投影線(xiàn)，東方向?yàn)檎??！谟?jì)算中為避免Y值出現(xiàn)負(fù)值，我國(guó)規(guī)定各投影帶內(nèi)縱坐標(biāo)軸西移500KM。YA=100000mYB=-200000m2通用墨卡托投影（UTM-Universal

TransverseMercator)

——等角橫軸割圓柱投影

圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線(xiàn)上沒(méi)有變形。該投影將地球劃分為60個(gè)投影帶，自180度經(jīng)線(xiàn)向東每帶經(jīng)差為6度，已被許多國(guó)家作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。高斯-克呂格投影的中央經(jīng)線(xiàn)投影后保持長(zhǎng)度不變，而UTM投影的比例系數(shù)為0.9996。3蘭勃特等角投影（Lambertconformalconic)

——正軸割圓錐投影由德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭勃特在1772年擬定。設(shè)想用一個(gè)正圓錐割球面兩標(biāo)準(zhǔn)緯線(xiàn)，應(yīng)用等角條件將地圖投影到圓錐面上，然后沿一母線(xiàn)展開(kāi)，即為蘭勃特投影平面。我國(guó)比例尺小于1:100萬(wàn)的地圖通常采用蘭勃特投影。二空間數(shù)據(jù)投影

（五）地圖投影的選擇地圖投影的選擇依據(jù)：1.制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍2.制圖比例尺3.地圖的內(nèi)容1.制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍地理位置

制圖區(qū)域的地理位置決定了所選擇投影的種類(lèi)。例如，制圖區(qū)域在極地位置，理所當(dāng)然地選擇正軸方位投影；在赤道附近應(yīng)考慮選擇橫軸方位投影或正軸方位投影；若制圖區(qū)域在中緯地區(qū)，則應(yīng)考慮選擇正軸圓錐投影或斜軸方位投影。選用投影時(shí)最好使等變形線(xiàn)與制圖區(qū)域的輪廓形狀基本一致。方位投影的變形線(xiàn)的形狀是以投影中心為圓心的圓形，所以它最適合表示具有圓形輪廓的區(qū)域；當(dāng)制圖區(qū)域沿東西方向延伸且處于中緯地區(qū)時(shí)，則宜采用正軸圓錐投影，如中國(guó)、美國(guó)等。當(dāng)制圖區(qū)域在赤道附近或處于赤道兩側(cè)沿東西方向延伸時(shí)，應(yīng)采用正軸圓柱投影，如印度尼西亞。當(dāng)制圖區(qū)域沿南北方向延伸，一般采用橫軸圓柱投影和多圓錐投影，如南美洲的阿根廷、智利。形狀

制圖區(qū)域的范圍大小也影響地圖投影的選擇。當(dāng)制圖區(qū)域范圍不太大時(shí)，無(wú)論選擇什么投影，制圖區(qū)域范圍內(nèi)各處變形差異都不會(huì)太大。有人曾以我國(guó)最大的省區(qū)新疆維吾爾自治區(qū)為例，用等角、等積、等距三種正軸圓錐投影作比較，其計(jì)算結(jié)果表明，不同緯度的長(zhǎng)度變形差別甚微。可見(jiàn)其他省區(qū)圖變形差異就更微乎其微了。而對(duì)于制圖區(qū)域廣大的大國(guó)地圖、大洲地圖、半球圖、世界圖等，則需要慎重地選擇投影。范圍2.制圖比例尺

不同比例尺地圖對(duì)精度要求的不同，導(dǎo)致在投影選擇上亦各不相同。以我國(guó)為例，大比例尺地形圖，由于要在圖上進(jìn)行各種量算及精確定位，因此應(yīng)選擇各方面變形都很小的地圖投影，比如分帶投影的橫軸等角橢圓柱投影（如高斯—克呂格投影）。而中小比例尺的省區(qū)圖，由于概括程度高于大比例尺地形圖，因而定位精度相對(duì)降低，選用正軸等角、等積、等距的圓錐投影即可滿(mǎn)足用圖要求。3.地圖的內(nèi)容

即使同一個(gè)制圖區(qū)域，但因地圖所表現(xiàn)的主題和內(nèi)容不同，因而其地圖投影選擇也應(yīng)有所不同。如交通圖、航海圖、軍用圖等要求方向正確地圖應(yīng)選擇等角投影；而自然地圖和社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖中的分布圖、類(lèi)型圖等則要選擇等積投影。再如世界時(shí)區(qū)圖，為使時(shí)區(qū)的劃分表現(xiàn)得清楚，只能選擇經(jīng)線(xiàn)投影成直線(xiàn)的正軸圓柱投影等。本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換四空間尺度把空間數(shù)據(jù)從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中。三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換三空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（一）空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換（二）投影解析轉(zhuǎn)換（三）數(shù)值擬合轉(zhuǎn)換本章內(nèi)容：一地理空間參考