第一章矩陣與行列式課件

第一章矩陣和行列式第一節(jié)矩陣的概念第二節(jié)矩陣的運(yùn)算第三節(jié)分塊矩陣第四節(jié)行列式第五節(jié)逆矩陣第一節(jié)矩陣的概念1.1矩陣的概念定義1.1矩陣（1.1）1.1矩陣的概念1.1矩陣的概念矩陣稱為這個(gè)圖的關(guān)聯(lián)矩陣.上圖的關(guān)聯(lián)矩陣為：1.1矩陣的概念定義1.2主對角線，主對角元對角矩陣主對角線元全是1的對角矩陣稱為單位矩陣，記為定義1.3

上三角矩陣，下三角矩陣第二節(jié)矩陣的運(yùn)算定義矩陣的和定義矩陣的差注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加減法運(yùn)算.例如：定義矩陣的數(shù)乘例

設(shè)

滿足定義1.7矩陣的乘法例：例：求AB故解:注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如:不存在.例解：練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘積.第一，矩陣乘法不滿足交換律.

AB有意義，而BA

可能無意義；一般，ABBA例設(shè)A,B是n階上三角矩陣,試證明AB仍是上三角矩陣.1.2矩陣的運(yùn)算定義1.8矩陣的轉(zhuǎn)置例:例：已知解法1：解法2：定義對稱矩陣，反對稱矩陣注：對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣第三節(jié)分塊矩陣1.3分塊矩陣1.3分塊矩陣分塊矩陣也可以按普通矩陣的運(yùn)算方法運(yùn)算。前提是:所有(小)矩陣運(yùn)算有意義.

1.3分塊矩陣1.3分塊矩陣1.3分塊矩陣1.3分塊矩陣第四節(jié)行列式一.二階行列式二.n階行列式的定義三.行列式的性質(zhì)四.行列式按一行（列）展開五.Cramer法則

行列式概念的形成

行列式的基本性質(zhì)及計(jì)算方法（定義）

利用行列式求解線性方程組練習(xí)計(jì)算行列式四個(gè)結(jié)論：(1)上三角形行列式（主對角線下側(cè)元素都為0）(2)下三角形行列式（主對角線上側(cè)元素都為0）(3)（顯然）(4)四.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。稱為D的轉(zhuǎn)置行列式性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號。如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為0。推論：用數(shù)k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)k乘此行列式。性質(zhì)3：推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面記法第s行乘以k：第s列乘以k:推論：若行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式等于0。性質(zhì)5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。記法數(shù)k乘第t行加到第s行上：性質(zhì)6：設(shè)A，B為同階方陣，則det(AB)=det(A)det(B)=9利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。課堂練習(xí):1.計(jì)算行列式例：箭形行列式目標(biāo)：把第一列化為成三角形行列式記系數(shù)矩陣為A,當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解：例：用Cramer法則解線性方程組。解：注:1.Cramer法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形。理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。

但用此法則求解線性方程組計(jì)算量大，不可取。3.撇開求解公式Cramer法則可敘述為下面定理：定理：如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則(1)一定有解,且解是唯一的.定理：如果線性方程組(1)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組。此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組。非齊次與齊次線性方程組的概念:齊次線性方程組易知，一定是(2)的解，稱為零解。若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。有非零解.系數(shù)行列式定理：定理：如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為0。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組只有零解。例：問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？解：齊次方程組有非零解，則所以或時(shí)齊次方程組有非零解。1.行列式的概念及性質(zhì).行列式的計(jì)算方法：（1）按一行（或列）展開（2）化為上三角形

3.克萊姆法則小結(jié)：第五節(jié)逆矩陣?yán)?設(shè)則逆矩陣的求法一:待定系數(shù)法例:設(shè)解：設(shè)是

的逆矩陣,又因?yàn)樗云娈惥仃嚕悍瞧娈惥仃嚕海ㄍ嘶仃嚕ǚ峭嘶仃嚕?.矩陣可逆的判別定理及求法伴隨矩陣注意下標(biāo)代數(shù)余子式的順序!(1)(2)逆矩陣的求法二：伴隨矩陣法例：求方陣的逆矩陣.解同理可得故3.可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明：證明：證明：(5)若可逆，則有一個(gè)很重要的式子解:例：解：例：1.矩陣的3種初等運(yùn)算：(1)對調(diào)矩陣的兩行。(2)用非零常數(shù)k乘矩陣的某一行的所有元素。將矩陣的某一行所有元素乘以非零常數(shù)k后加到另一行對應(yīng)元素上。統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換

矩陣的初等變換與初等矩陣1.矩陣的初等變換2.初等矩陣3.用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣同理可定義矩陣的初等列變換

矩陣的初等變換通常稱(1)對換變換(2)倍乘變換(3)倍加變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．定義：定義：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.

2.初等矩陣(1)對調(diào)兩行或兩列，得初等對換矩陣。(2)以數(shù)乘某行或某列，得初等倍乘矩陣。(3)以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。定理：

3.逆矩陣的求法三:初等變換法可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣.定理：可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積推論1：推論2：如果對可逆矩陣

和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，那么當(dāng)變成單位矩陣時(shí)，就變成。解：例：練習(xí)：用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣若作初等行變換時(shí),出現(xiàn)全行為0，則矩陣的行列式等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!求逆時(shí),若用初等行變換必須堅(jiān)持始終,不能夾雜任何列變換.注：即初等行變換另：利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣?yán)航猓悍椒?：先求出，再計(jì)算。方法2：直接求。初等行變換1.單位矩陣初