第5章-1-振動課件

振動與波動VIBRATIONANDWAVE第5章振動與波動§5.1簡諧振動任何物理量隨時間做周期性變化都叫做振動。例如，位矢、電流、電壓、電場、磁場、密度等。物體在某位置附近來回運(yùn)動叫機(jī)械振動。物理量按余(正)弦規(guī)律隨時間變化,叫簡諧振動。一、簡諧振動：OxxkmF彈性力牛二律最簡單的振動是簡諧振動，任何振動都可由簡諧振動合成得到。加速度得此即簡諧振動微分方程，可用其判斷簡諧振動。其解為為簡諧振動運(yùn)動函數(shù)，其中A,

為待定系數(shù)。式中速度二、特征量：1.振幅

A：表征振動的強(qiáng)度。2.角頻率

：表征振動的快慢。單位rad/s或s-1。T為周期，單位為sv

為頻率，單位為Hz3.相位t+

，初相：

t=0時刻的相位。說明1.角頻率是彈簧振子的固有物理特征，稱為固有角頻率。2.振幅A，初相

決定于初始時刻的選擇，具有任意性，因此不是彈簧振子的固有物理特征。振幅A決定于振動的能量(E=kA2/2=m2A2/2)。三、確定特征量的方法：1.2.A,

由初始條件確定，或由任意時刻的位移、速度確定。已知t=0時，x=x0,v=v0，得到所以利用第二個公式求得出兩個值，而利用兩個公式則求出唯一正確的值。

TxtOA-A四、簡諧振動的描述方法：1.振動曲線：x–t曲線xtOvaAA2A2.旋轉(zhuǎn)矢量圖：tAωOxxA-A圓周的半徑—振幅A旋轉(zhuǎn)角速度—角頻率旋轉(zhuǎn)矢量與x方向的夾角—相位

t+2通過相位比較振動的步調(diào)：t=0t123123質(zhì)點(diǎn)2振動落后于質(zhì)點(diǎn)1振動質(zhì)點(diǎn)3振動超前于質(zhì)點(diǎn)1振動簡諧振動可表示為質(zhì)點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動在某方向(此處為x方向)上的投影。tOOxtAt=0tOtxA-Av超前x相位

/2a超前

v相位

/2a超前

x相位

，或a與x反相xavT相位差：當(dāng)12時，相位差隨時間變化，當(dāng)1=2時，相位差不隨時間變化例1證明如圖所示系統(tǒng)做簡諧振動，并求角頻率。Oxm2gkm1m2MT3T3T2T1T2解：以彈簧固有長度的端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正建立一維坐標(biāo)系。受力分析。由牛二律和轉(zhuǎn)動定律得還有得令得標(biāo)準(zhǔn)形式簡諧振動微分方程例2如圖所示簡諧振動，已知周期T，求(1)初相；(2)a,b兩點(diǎn)相位；(3)從t=0開始到a,b兩點(diǎn)的時間。xA/2TOtAabxab-/3ω解：(1)(2)a點(diǎn)相位b點(diǎn)相位(3)已求出

和

，解得ta=T/6,tb=5T/12五、其它簡諧振動實(shí)例：1.單擺：mgft取逆時針方向?yàn)榻俏灰?/p>

的正向，則小球做圓周運(yùn)動的切向力為

很小由得這就是單擺的角位移滿足的微分方程，因此單擺的擺動是簡諧振動。其角頻率和周期分別為lT2.復(fù)擺：擺動的剛體叫做復(fù)擺。mglO

很小取逆時針方向?yàn)榻俏灰?/p>

的正向，則復(fù)擺受到的對于轉(zhuǎn)軸O的重力矩為由轉(zhuǎn)動定律得這就是復(fù)擺的角位移滿足的微分方程，因此復(fù)擺的擺動是簡諧振動。其角頻率和周期分別為，,用復(fù)擺可以測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量。C3.電諧振蕩：電容C和電感L組成的電路中，電容器電量q和電路中電流i的振蕩。GC+q－quCLLKi感生電動勢與電容電壓滿足L

+uC

=0由L得這也是簡諧振動滿足的微分方程。其解為例3單擺鐘擺長l=0.995m，(1)在某地發(fā)現(xiàn)此鐘每天快1分30秒；(2)在另一地發(fā)現(xiàn)此鐘慢了2分15秒,問分別如何調(diào)整擺長，才能使鐘正確？解：不能用g=9.8m/s2求標(biāo)準(zhǔn)鐘擺長，因?yàn)椴煌攸c(diǎn)重力加速度的不同正是造成此鐘忽快忽慢的原因。(1)此鐘，此地標(biāo)準(zhǔn)鐘二式相除(不能相減，為什么？)得調(diào)長2.07mm(2)此鐘，此地標(biāo)準(zhǔn)鐘調(diào)短3.11mm§5.2簡諧振動的能量所以機(jī)械能為可見，彈簧振子的總能量不隨時間改變(機(jī)械能守恒)，而且與振幅的平方成正比。彈簧振子的勢能和動能分別為動能與勢能的大小都發(fā)生振蕩，振動周期為T/2。xEEpEkT2TtOtOxA-AEkEpOEpx振子的動能與勢能互相轉(zhuǎn)化。振子不能到達(dá)|x|>A的區(qū)域，因?yàn)閯菽懿荒艹^E，否則動能將變?yōu)樨?fù)值。勢能和動能對時間的平均值例水平彈簧振子，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m，重物質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體(不計摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動了0.05m，此時撤去力F。當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置時開始計時，求物體的運(yùn)動方程。解：設(shè)物體的運(yùn)動方程為

x=Acos(t+)恒外力所做的功等于彈簧獲得的機(jī)械能，當(dāng)物體運(yùn)動到最左端時，這些能量全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能mkFx–A–sO角頻率物體運(yùn)動到–A位置時計時，Acos=–A，初相=

所以物體的運(yùn)動方程為x=0.204cos(2

t+

)(m)mkFx–A–sO思考：物體運(yùn)動到–s位置時計時，情況怎樣?§5.3簡諧振動的合成兩個任意方向、強(qiáng)度的簡諧振動都可合成，一般情況比較復(fù)雜。下面是4種較簡單的情形。一、同方向同頻率簡諧振動的合成：k1k2m合運(yùn)動仍是簡諧振動，其中A1A2A12x1x2Ox1.兩分振動同相，即則A=A1+A2，相互加強(qiáng)；2.兩分振動反相，即則A=|A1-

A2|，相互減弱。討論3.當(dāng)相位差2–1

為其它值時，合振幅A界于A1+A2和|A1-

A2|之間。A1A2A12x1x2Ox例兩振動的運(yùn)動函數(shù)分別為求合振動的運(yùn)動函數(shù)。解：同頻同向簡諧振動的合成。xA1A2Aφ1φ2應(yīng)取，○同一直線上n個同頻率、同振幅、恒定相位差的簡諧振動的合成nxOCRR矢量的外接圓半徑為R，PMOCP中OCM中合振動為討論1.若各分振動同相，即nxO則2.若各分振動相位差其中k'不取n的整數(shù)倍，則各分振幅矢量構(gòu)成閉合正多邊形，

A=0，x=0。例如n=612345k'=nxO

/OAna21-134-2二、同方向不同頻率簡諧振動的合成：兩矢量和在參考圓中旋轉(zhuǎn)過程中,夾角和合矢量隨時間改變，合振動不是簡諧振動。為簡單起見，設(shè)振幅相等，初相相同。所以合振動可以看成是“振幅隨時間改變的諧振動”。合振動的振幅矢量仍是勻速圓周運(yùn)動，但半徑周期性變化。當(dāng)兩個分振動的頻率都較大而其差較小時，合振動具有特殊的周期性。x1x2xttt因?yàn)?，所以“振幅的變化”比“相位的變化”慢得多。頻率都較大但差別很小的兩個同方向振動合成時，合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象叫做拍。單位時間內(nèi)合振動加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻應(yīng)用準(zhǔn)確測頻率，用音叉調(diào)鋼琴三、相互垂直的同頻率振動的合成：消去t，得質(zhì)點(diǎn)軌道方程討論1.兩振動同相或反相則軌跡為直線，合運(yùn)動為簡諧振動。2.兩振動相位差為/2，則軌跡為橢圓xyA1A2OxyA1A2OxyA1A2xyA1A2OO3.兩振動相位差為/4,3/4，則運(yùn)動軌跡為橢圓，半長軸和半短軸不在坐標(biāo)軸上。xyA1A2xyA1A2OOxyA1A2xyA1A2OO2–1=

/4–/43/4–3/44.兩振動相位差為其他值時，運(yùn)動軌跡仍為橢圓。四、相互垂直的不同頻率振動的合成：1.如果頻率差別很小，則近似看成同頻率振動合成，但相差緩慢變化，合運(yùn)動軌跡按下面順序變化。2.如果頻率差別較大，但有簡單的整數(shù)比，則合運(yùn)動具有穩(wěn)定閉合軌跡，即李薩如圖。該圖與矩形框的

x邊和y邊的切點(diǎn)數(shù)的比值等于兩方向振動周期比。Tx:Ty=1:22:33:4應(yīng)用測頻率§5.4阻尼振動和受迫振動一、阻尼振動：由于阻力作用而不斷損失能量的振動叫阻尼振動。當(dāng)振子速度較小時，介質(zhì)阻力為所以振動方程為即固有角頻率阻尼系數(shù)1.當(dāng)阻尼較小時，

<0，阻尼使振動頻率小于固有頻率0，xA0-A0A0e-ttO使振幅不斷減小。欠阻尼過阻尼臨界阻尼xtOA02.當(dāng)阻尼過大時，

>

0，振子以非周期運(yùn)動回到平衡位置。3.當(dāng)阻尼使

=0時，振子剛好能做非周期運(yùn)動，回到平衡位置時間最短。電流表指針止振需要這種阻尼?！鸷娮桦娭C振蕩：電能逐漸被電阻