2021年貴州省貴陽市第三十二中學高三數學理模擬試題含解析

2021年貴州省貴陽市第三十二中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線與圓交于不同的兩點、，是坐標原點，且有，那么的取值范圍是（

） A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.早在公元前三百多年我國已經運用“以度審容”的科學方法，其中商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的一種標準量器，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x為A．1.2

B．1.6

C．1.8

D．2.4參考答案：B由三視圖知，商鞅銅方升是由一個圓柱和一個長方體組合而成的，故其體積為，又故.故選B．3.為了得到函數的圖象，只需要把函數的圖象上所有的點（

）．A．向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度B．向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度C．向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度D．向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度參考答案：C函數，所以為了得到的圖象，只需把函數的圖象上所有的點，向左左平移個單位長度，再向下平移個單位長度．故選．4.若將函數f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是（）A．B．C．D．參考答案：C考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數的求值．分析：利用兩角和的正弦函數對解析式進行化簡，由所得到的圖象關于y軸對稱，根據對稱軸方程求出φ的最小值．解答：解：函數f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的圖象向右平移φ的單位，所得圖象是函數y=sin（2x+﹣2φ），圖象關于y軸對稱，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，當k=﹣1時，φ的最小正值是．故選：C．點評：本題考查三角函數的圖象變換，考查正弦函數圖象的特點，屬于基礎題．5.已知直線，則“”是“的（

）

A．充分不必要條件

B.必要不充分條件C．充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略6.若等差數列滿足，則的最大值為

A．60

B．50

C．45

D．40參考答案：【知識點】等差數列的性質D2B解析：設等差數列的公差為，因為，所以而，可得，代入整理得由關于d的二次方程有實根可得化簡可得，解得，故選擇B.【思路點撥】設等差數列的公差為，易得由求和公式可得，代入整理可得關于的方程，由可得S的不等式，解不等式可得．7.若數列{an}滿足2an+an+1=0（n∈N*）且a3=﹣2，則a8的值為（）A．﹣64 B．﹣32 C． D．64參考答案：D【考點】等比數列的通項公式．【分析】依題意，得an+1=﹣2an，所以數列{an}是公比為﹣2的等比數列，即可求出a8的值．【解答】解：依題意，得an+1=﹣2an，所以數列{an}是公比為﹣2的等比數列，故，故選：D．【點評】本題考查等比數列的判定，考查數列的通項公式，比較基礎．8.設不等式組所表示的區(qū)域為M，函數y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為N，向M內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】幾何概型；簡單線性規(guī)劃．【專題】概率與統計．【分析】畫出圖形，求出區(qū)域M，N的面積，利用幾何概型的公式解答．【解答】解：如圖，區(qū)域M的面積為2，區(qū)域N的面積為，由幾何概型知所求概率為P=．故選B．【點評】本題考查了幾何概型的運用；關鍵是求出區(qū)域的面積，利用幾何概型的公式解答．9.若a∈（0，），且sin2a+cos2a=，則tana的值等于A.

B.

C.

D.參考答案：D

本題主要考查三角函數的平方和公式以及倍角公式，屬容易題。，，則，故選D10.定義：在區(qū)域內任取一點，則點滿足的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用幾何概型計算公式，求出試驗包含的全部事件對應的集合以及滿足條件的事件A對應的面積，即可求得。【詳解】試驗包含的全部事件對應的集合是，滿足條件的事件，如圖所示，，，所以，故選A【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃中可行域的畫法和幾何概型的概率計算。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將楊輝三角中的每一個數都換成，就得到一個如下圖所示的分數三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中

。令，則

。

…參考答案：答案：r+1,解析：第一個空通過觀察可得。＝（1＋－1）＋（）＋（＋－）＋（＋－）＋…＋（＋－）＋（＋－）＝（1＋＋＋…＋）＋（＋＋＋＋…＋）－2（＋＋…＋）＝〔（1＋＋＋…＋）－（＋＋…＋）〕＋〔（＋＋＋＋…＋）－（＋＋…＋）〕＝1－＋－＝＋－所以12.某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的范圍是，樣本數據分組為：，則（1）圖中的

（2）若上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，則該校600名新生中估計

名學生可以申請住宿．參考答案：【知識點】頻率分布直方圖．I2【答案解析】（1）0.0125；（2）72

解析：（1）由頻率分布直方圖知，解得.（2）上學時間不少于1小時的學生頻率為0.12，因此估計有名學生可以申請住宿.【思路點撥】（1）利用面積之和為1解出x即可；（2）先求出上學時間不少于1小時的學生的頻率，再由頻率估計概率，從而求人數．13.已知數列滿足：（m為正整數），若，則m所有可能的取值為__________。（把你認為正確的答案全部寫上）參考答案：4、5、32(不全不得分)（1）若為偶數，則為偶,故①當仍為偶數時，

故②當為奇數時，故得m=4。（2）若為奇數，則為偶數，故必為偶數，所以=1可得m=5

14.若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則k=

．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】先設切點，然后利用切點來尋找切線斜率的聯系，以及對應的函數值，綜合聯立求解即可【解答】解：設y=kx+b與y=lnx+2和y=ln（x+1）的切點分別為（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由導數的幾何意義可得k==，得x1=x2+1再由切點也在各自的曲線上，可得kx1+b=lnx1+2，kx2+b=ln（x2+1）聯立上述式子解得k=2，故答案為2．15.已知函數的圖象由的圖象向右平移個單位得到，這兩個函數的部分圖象如圖所示，則=

.參考答案：函數的圖象在軸右側的第一個對稱軸為，所以。關于對稱的直線為，由圖象可知，通過向右平移之后，橫坐標為的點平移到，所以。16.設A，B是R的兩個子集，對任意，定義：①若，則對任意，_____；②若對任意，，則A，B的關系為__________.參考答案：0

【分析】由題意分類討論x?A和x∈A兩種情況即可求得的值，結合題中的定義和m,n的關系即可確定A,B之間的關系.【詳解】①∵A?B.則x?A時,m=0,m(1?n)=0.x∈A時,必有x∈B,∴m=n=1,m(1?n)=0.綜上可得：m(1?n)=0.②對任意x∈R，m+n=1，則m，n的值一個為0，另一個為1，即x∈A時，必有x?B，或x∈B時，必有x?A，∴A,B的關系為.【點睛】本題主要考查新定義知識的應用，集合之間的基本關系等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.17.是虛數單位，若，則的值是___

．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，sinA+cosA=2．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=2；B=45°；求△ABC的面積．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數公式化簡已知可得sin（A+）=1，解得A=2kπ+，k∈Z，結合范圍A∈（0，π），即可得解A的值．（Ⅱ）利用三角形內角和定理可求C的值，利用正弦定理可求b的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵sinA+cosA=2，可得：2sin（A+）=2，∴sin（A+）=1，可得：A+=2kπ+，k∈Z，解得：A=2kπ+，k∈Z，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵a=2；B=，A=，可得：C=π﹣A﹣B=∴b===2，∴S△ABC=absinC=×sin=1+．19.

已知函數，其中。（1）證明：當時，；（2）判斷的極值點個數，并說明理由；（3）記最小值為，求函數的值域。參考答案：20.已知函數f（x）=x2+bx﹣alnx．（1）當a＞0時，函數f（x）是否存在極值？判斷并證明你的結論；（2）若x=2是函數f（x）的極值點，1和x0是函數f（x）的兩個不同零點，且x0∈（n，n+1），求自然數n的值；（3）若對任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數f（x）的導數，通過判斷導函數的符號，得到函數的單調區(qū)間，從而判斷出函數的極值即可；（2）先求導得到f′（x），由f′（2）=4﹣+b=0，f（1）=1+b=0，得到a與b的值，再令導數大于0，或小于0，得到函數的單調區(qū)間，再由零點存在性定理得到得到x0∈（3，4），進而得到n的值；（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，則g（b）為關于b的一次函數且為增函數，由于對任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，則g（b）max=g（﹣1）=x2﹣x﹣alnx＜0在x∈（1，e）有解．令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可．【解答】解：（1）f（x）=x2+bx﹣alnx，（x＞0），f′（x）=2x+b﹣，f″（x）=2+＞0，故f′（x）在（0，+∞）遞增，故x→0時，f′（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→+∞，故存在x0∈（0，+∞），使得：x∈（0，x0）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，故函數f（x）存在極小值，但不存在極大值；（2）f′（x）=2x﹣+b，∵x=2是函數f（x）的極值點，∴f′（2）=4﹣+b=0．∵1是函數f（x）的零點，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令f′（x）=2x﹣﹣1=＞0，x∈（0，+∞），得x＞2；

令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上單調遞減；在（2，+∞）上單調遞增故函數f（x）至多有兩個零點，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因為f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=6ln＞0，所以x0∈（3，4），故n=3．（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，則g（b）為關于b的一次函數且為增函數，根據題意，對任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，則g（b）max=g（﹣1）=x2﹣x﹣alnx＜0在x∈（1，e）有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=2x﹣1﹣=，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，φ′（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上單調遞增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，①當1﹣a≥0，即a≤1時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上單調遞增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意．②當1﹣a＜0，即a＞1時，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a．若a≥2e2﹣e＞1，則φ（e）＜0，∴在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調遞減，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意．若2e2﹣e＞a＞1，則φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在實數m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，h（x）在（1，m）上單調遞減，∴存在存在x0∈（1，m）使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意．綜上所述，當a＞1時，對?b∈[﹣2，﹣1]，都有?x∈（1，e）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立．21.（本小題滿分14分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求角C的大??；（2）求的最大值．參考答案：解：（1）sinA＋cosA＝2sinB即2sin(A＋)＝2sinB，則sin(A＋)＝sinB．因為0＜A，B＜p，又a≥b進而A≥B，所以A＋＝p－B，故A＋B＝，C＝．

（2）由正弦定理及（Ⅰ）得＝＝[sinA＋sin(A＋)]＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．當A＝時，取最大值2．

略22.某校學生參加了“鉛球”和“立