人教A版高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2.5直線與圓、圓與圓的位置 學(xué)案(含詳細(xì)解析)

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2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（原卷版）

考點一直線與圓的位置的關(guān)系

【例1】（2023·林芝市第二高級中學(xué)高二期末（文））若直線與圓相切，則（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·福建高一期末）若直線與圓相切，則直線l與圓的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．不確定

2．（2023·包頭市田家炳中學(xué)高二期中）直線y＝x﹣1與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系為（）

A．相切B．相離

C．直線過圓心D．相交但直線不過圓心

3．（2023·輝縣市第二高級中學(xué)高二期中（文））“點在圓內(nèi)”是“直線與圓相離”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

考點二弦長

【例2】（2023·全國高三其他（文））直線被圓截得的弦長為（）

A．1B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·河南濮陽。高一期末（文））斜率為1的直線l被圓x2+y2＝4x截得的弦長為4，則l的方程為（）

A．y＝x﹣3B．y＝x+3C．y＝x﹣2D．y＝x+2

2．（2023·廣東高一期末）已知圓，直線，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（）

A．2B．4C．6D．8

3．（2023·全國高三課時練習(xí)（理））⊙C1：(x－1)2＋y2＝4與⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直線為l，則l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦長為（）

A．B．4

C．D．

考點三圓與圓的位置關(guān)系

【例3-1】（2023·湖南張家界.高一期末）已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系為（）

A．內(nèi)切B．外切C．相交D．外離

【例3-2】（2023·西夏.寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）圓與圓的公共弦長為（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·貴州省思南中學(xué)高一期末）圓x2+y2-2x-3=0與圓x2+y2-4x+2y+3=0的位置關(guān)系是（）

A．相離B．內(nèi)含C．相切D．相交

2．（2023·昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高一月考）圓與圓的位置關(guān)系為（）

A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離

3．（2023·吐魯番市高昌區(qū)第二中學(xué)高一期末）圓與圓的公共弦所在的方程為（）

A．x+2y=0B．x－2y=0C．y－2x=0D．y+2x=0

4．（2023·天津北辰。高三二模）圓與圓的公共弦長為________．

考點四切線

【例3】（2023·江蘇省海頭高級中學(xué)高一月考）圓過點的切線方程為（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·廣東高一期末）過圓x2+y2＝5上一點M（1，﹣2）作圓的切線l，則l的方程是（）

A．x+2y﹣3＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．2x﹣y﹣5＝0D．2x+y﹣5＝0

2．（2023·湖南婁底。高一期末）已知點是直線上的動點，點為圓上的動點，則的最小值為（）

A．B．1C．D．

3．（2023·江蘇如東.高一期中）兩圓與的公切線條數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2023·江蘇宿遷.高一期末）兩圓與的公切線條數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（解析版）

考點一直線與圓的位置的關(guān)系

【例1】（2023·林芝市第二高級中學(xué)高二期末（文））若直線與圓相切，則（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由題得圓的圓心坐標(biāo)為（0,0），所以.故選C

【一隅三反】

1．（2023·福建高一期末）若直線與圓相切，則直線l與圓的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．不確定

【答案】A

【解析】圓的方程可化為，故圓心為，半徑.由于直線：和圓相切，所以，結(jié)合解得，所以直線的方程為，即.圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以直線與圓相交.故選：A

2．（2023·包頭市田家炳中學(xué)高二期中）直線y＝x﹣1與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系為（）

A．相切B．相離

C．直線過圓心D．相交但直線不過圓心

【答案】D

【解析】圓x2+y2＝1的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，

因為圓心到直線y＝x﹣1的距離為：，

所以直線y＝x﹣1與圓x2+y2＝1相交，

因為，所以直線y＝x﹣1與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系為相交但直線不過圓心.

故選：D

3．（2023·輝縣市第二高級中學(xué)高二期中（文））“點在圓內(nèi)”是“直線與圓相離”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若點在圓內(nèi)，則

則圓心到直線的距離

則直線與圓相離

反之直線與圓相離，則圓心到直線的距離，即，則點在圓內(nèi)

所以“點在圓內(nèi)”是“直線與圓相離”的充分必要條件

故選：C

考點二弦長

【例2】（2023·全國高三其他（文））直線被圓截得的弦長為（）

A．1B．C．D．

【答案】C

【解析】圓心到直線的距離為，所求弦長為．故選：C．

【一隅三反】

1．（2023·河南濮陽。高一期末（文））斜率為1的直線l被圓x2+y2＝4x截得的弦長為4，則l的方程為（）

A．y＝x﹣3B．y＝x+3C．y＝x﹣2D．y＝x+2

【答案】C

【解析】由題設(shè)知圓心的坐標(biāo)為（2，0），半徑r＝2，又弦長為4＝2r，所以直線l過圓心（2，0），且斜率為1，∴直線l的方程為y＝x﹣2.故選：C.

2．（2023·廣東高一期末）已知圓，直線，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】B

【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5，

由直線，得，

聯(lián)立，解得，∴直線l過定點，

點在圓內(nèi)部，則當(dāng)直線l與線段PC垂直時，直線l被圓C截得的弦長最小，

此時，

∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為．

故選：B．

3．（2023·全國高三課時練習(xí)（理））⊙C1：(x－1)2＋y2＝4與⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直線為l，則l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦長為（）

A．B．4

C．D．

【答案】D

【解析】由⊙C1與⊙C2的方程相減得l：2x－3y＋2＝0.

圓心O(0，0)到l的距離，⊙O的半徑R＝2，∴截得弦長為.故選：D

考點三圓與圓的位置關(guān)系

【例3-1】（2023·湖南張家界.高一期末）已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系為（）

A．內(nèi)切B．外切C．相交D．外離

【答案】B

【解析】因為圓的圓心為，半徑為；

圓的圓心為，半徑為，因此圓心距為，

所以兩圓外切.故選：B.

【例3-2】（2023·西夏.寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）圓與圓的公共弦長為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

x2＋y2＝50與x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得兩圓公共弦所在直線的方程為2x＋y－15＝0，圓x2＋y2＝50的圓心(0，0)到2x＋y－15＝0的距離，因此，公共弦長為.選C

【一隅三反】

1．（2023·貴州省思南中學(xué)高一期末）圓x2+y2-2x-3=0與圓x2+y2-4x+2y+3=0的位置關(guān)系是（）

A．相離B．內(nèi)含C．相切D．相交

【答案】D

【解析】由于圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的圓心為（1，0），半徑等于2，

而圓x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）為圓心，半徑等于的圓．

由于兩個圓的圓心距為：，2，故兩個圓相交，故選D．

2．（2023·昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高一月考）圓與圓的位置關(guān)系為（）

A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離

【答案】B

【解析】

兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．

3．（2023·吐魯番市高昌區(qū)第二中學(xué)高一期末）圓與圓的公共弦所在的方程為（）

A．x+2y=0B．x－2y=0C．y－2x=0D．y+2x=0

【答案】A

【解析】設(shè)兩圓交點，

圓①，圓②，

①②得：

因為，，

即A，B點在直線上，

而過A，B點的直線有且只有一條，

所以公共弦所在的方程為，故選：A

4．（2023·天津北辰。高三二模）圓與圓的公共弦長為________．

【答案】

【解析】兩圓方程相減得，即，

原點到此直線距離為，圓半徑為，

所以所求公共弦長為．故答案為：．

考點四切線

【例3】（2023·江蘇省海頭高級中學(xué)高一月考）圓過點的切線方程為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，又點在圓上，

所以與切線垂直的直線的斜率為：，

所以切線斜率為，切線方程為：，

所以切線方程為：故選：B.

【一隅三反】

1．（2023·廣東高一期末）過圓x2+y2＝5上一點M（1，﹣2）作圓的切線l，則l的方程是（）

A．x+2y﹣3＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．2x﹣y﹣5＝0D．2x+y﹣5＝0

【答案】B

【解析】由題意：點M（1，﹣2）為切點，則，，解得：，

∴l(xiāng)的方程：，整理得：，故選：B.

2．（2023·湖南婁底。高一期末）已知點是直線上的動點，點為圓上的動點，則的最小值為（）

A．B．1C．D．

【答案】A

【解析】的最小值為,選A.

3．（2023·江蘇如東.高一期中）兩圓與的公切線條數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】由題意，圓的圓