線性代數(shù)實踐教師班第三講

線性代數(shù)實踐教師班第三講第1頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1矩陣運(yùn)算的規(guī)則在MATLAB入門中已講過的，不再重復(fù)。由于其乘法不符合交換律，有些公式不能亂用；單列向量與單行向量的左右兩種乘法要加區(qū)別，而且往往有特別的用途。例如向量長度（范數(shù)）的計算；例如二維坐標(biāo)網(wǎng)格的生成；

X=ones(21,1)*[-10:10],Y=[-10:10]’*ones(1,21)矩陣的乘冪An,eA和(I-A)-1的級數(shù)展開，都要求A是方陣。第2頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣乘法不滿足交換律有許多我們習(xí)慣的公式，其中隱含地包含了交換律，這些公式在矩陣運(yùn)算中也不能直接使用。比如：正確的做法是展開時不交換次序第3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月平面上網(wǎng)格坐標(biāo)系的產(chǎn)生第4頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月用列矩陣乘行矩陣生成網(wǎng)格坐標(biāo)這兩個矩陣都是21行21列的，都有441個元素，如何快捷地輸入呢？這時可以用到列乘行的乘法運(yùn)算?？捎孟旅娴恼Z句：h10:10;lhlength(h) %輸入均分行向量%用全么列乘均分行生成XXones(lh,1)*h%用均分列乘全么行生成YYh‘*ones(1,lh)第5頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2初等變換乘子矩陣的生成行交換E1gen(n,i,j)：使n行矩陣中的第i,j兩行交換functionE=E1gen(n,i,j)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=0;E(j,j)=0;E(i,j)=1;E(j,i)=1;乘子矩陣E2gen(n,i,k),使n行矩陣中的第i行乘以kfunctionE=E2gen(n,i,k)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=k;E3gen(n,i,j,c)使n行矩陣中的第i行乘以k加到第j行上functionE=E3gen(n,i,j,k)n=size(A);E=eye(n);E(j,i)=k;第6頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月初等變換乘子矩陣示例E=E1gen(8,4,6)E2=E2gen(8,4,6)E3=E3gen(8,4,6,5)例如E3=E3gen(3,1,3,4)第7頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.2.4求消元所需的乘子矩陣要消去下列矩陣的A(2,1),求乘子矩陣E3在第二行加以第一行乘A(2,1)/A(1,1)3，故令BE3gen（A,1,2,3）第8頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月行階梯生成等價于矩陣左乘因此，整個行階梯形式U的生成過程，可以看作把原矩陣左乘以一系列的初等變換矩陣E1和E3。把這些初等矩陣的連乘積寫成Ex，設(shè)其逆為L:

從而有 L*UA（7.10）就是說，A可以分解為一個準(zhǔn)下三角矩陣L和一個上三角（即行階梯）矩陣U的乘積。MATLAB提供了三角分解的函數(shù)lu，它的調(diào)用方法是：

[L,U]lu(A)第9頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月lu分解是求行階梯的一個方法用lu函數(shù)求出的U實際上就是A的行階梯形式（不是簡化行階梯形式）。所以，求簡化行階梯形式用rref函數(shù)，而求行階梯形式可以用lu函數(shù)。不過，它和我們用消元運(yùn)算所得U的數(shù)據(jù)不一定相同，盡管得出的階次和階梯形狀相同。但因為行階梯形式可以有無數(shù)種，用不同步驟算出的結(jié)果也不同。只有變成簡化行階梯形式，才能進(jìn)行比較，看它是不是惟一的。第10頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.3行列式的定義和計算兩種定義方法：1。按全排列求和定義，其中tj為第j種排列的逆序數(shù)。第11頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式第2種定義方法2。按解的分母項，從低階到高階用歸納法定義

二階：三階：第12頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種定義方法的比較第一種定義的兩個數(shù)學(xué)難點(diǎn)‘全排列’和‘逆序數(shù)’，是絕大多數(shù)工科學(xué)生一生不會用的。第二種定義方法自然地得出了行列式按行（或按列）展開的公式。美國教材都用第二種定義方法，成電教材（全國精品課程）也用這種方法。兩種方法都不能用來計算，因為其計算效率都極低，25×25矩陣要算上萬年。第8章將指出，行列式的幾何意義是面積或體積，可否從這方面探索，因為它的用途很單一，就是判斷奇異性，連正負(fù)號都不必關(guān)心。第13頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式的計算方法計算行列式的最好方法還是行階梯法，可以利用lu分解

[L,U]lu(A)把A分解為一個準(zhǔn)下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積。因為det(L)1，所以U和A的行列式相等。det(A)det(U)而三角矩陣U的det(U)很好求。只要把U的主對角線元素連乘就可得到它的行列式。此法所需的乘法次數(shù)僅為定義1法的10-23

第14頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式計算實例7.3.1程序如下[l,u]lu(A), dudiag(u) Dprod(du) 結(jié)果為du10 –4.8 10.625 9.4824

1.2349D5.9720e0035972第15頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4矩陣的秩和矩陣求逆按定義，矩陣的秩是矩陣A中行列式不等于零的最高階子式的階次。是用以衡量聯(lián)立方程中有效方程數(shù)目的指數(shù)。按照定義來計算矩陣的秩，可能遇到的問題也是子矩陣的數(shù)量很大，每個矩陣的行列式計算又非常麻煩，其計算量也將是不可接受的天文數(shù)字。計算矩陣的秩的最好方法仍然是行階梯法，如第6章所述，行階梯化簡后非全為零的行數(shù)，就是該矩陣的秩。用MATLAB函數(shù)rrank(A)可以檢驗A的秩，rank函數(shù)對A是否是方陣沒有要求，即可以有m≠n。第16頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣求逆對于nn方陣A，當(dāng)rn時，稱A是滿秩的，若rn，必有det(A)0，稱A是欠秩的或奇異的。奇異矩陣不可以求逆。矩陣求逆的最簡單方法也是行階梯化簡，其方法是設(shè)定一個由A和I組成的增廣矩陣C[A,I]，求C的簡化行階梯形式UCrref([A,I])，得出UC[I,V]。V就顯示出這個逆矩陣的內(nèi)容。第17頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.6求逆矩陣示例求A的逆陣解：程序ag706。A[3,0,3,6;5,1,1,5;3,1,4,9;1,3,4,4];C[A,eye(4)]U0Crref(C)VU0C(:,5:8)第18頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月程序運(yùn)行結(jié)果右邊四列就是其逆陣：矩陣求逆命令：V=inv(A),第19頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月用inv函數(shù)求逆求A的逆陣程序ag707為：A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],V=inv(A)運(yùn)行結(jié)果：Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=6.042030e-018.第20頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月條件數(shù)—衡量奇異程度的量在用數(shù)值方法計算矩陣的逆時，由于計算中的誤差，人們不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩陣是否奇異，并不是那么絕對的。為了評價矩陣接近‘奇異’的程度，采用了‘條件數(shù)’（ConditionNumber）作為常用的衡量指標(biāo)。它永遠(yuǎn)大于1。其數(shù)值愈接近于1，計算誤差愈??；MATLAB中，條件數(shù)用cond(A)計算，它達(dá)到104以上時，求逆的誤差就可能相當(dāng)可觀。像現(xiàn)在，條件數(shù)達(dá)到1016（注：條件數(shù)是逆條件數(shù)RCOND的倒數(shù)），結(jié)果是根本不能用的。第21頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5用矩陣‘除法’解線性方程如果mn，則線性代數(shù)方程

Axb（7.21）中的A是方陣，設(shè)det(A)≠0，則它的逆陣存在。將上式左右同乘以inv(A)，由于inv(A)*AI，得到

xinv(A)*b（7.23）MATLAB創(chuàng)立了矩陣除法的概念，因為inv(A)相當(dāng)于將A放到分母上去，所以可以把上式寫成

xA\b（7.24）‘\’就稱為左除，因為inv(A)是乘在b的左方。第22頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月左除’\’解線性方程的擴(kuò)展左除‘\’的功能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了矩陣求逆函數(shù)inv，inv(A)函數(shù)要求A必須是方陣，所以（7.23）式只能用來解‘適定’方程，而（7.24）式并不要求A為方陣，在A是mn階且mn（欠定）時，它只要求A與b的行數(shù)相等且A的秩為m。所以（7.24）式也可以用來解欠定方程，在下例中可以看出。此外，運(yùn)算符‘\’還能用來解超定方程，第23頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月左除’\’解欠定方程例7.8用矩陣算法解例6.5.1A[3,4,3,2,1;0,6,0,3,3;4,3,4,2,2;…1,1,1,0,1;2,6,2,1,3];b[2;3;2;0;1];x=A\b得到x=inf，無解。改用行階梯方法找有效行。左除要求的是系數(shù)矩陣的行數(shù)與秩相同，B[A,b],r=rank(B),[UB,ip]rref(B);U0UB(1:r,1:5);dUB(1:3,6);xU0\d第24頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月本例運(yùn)行結(jié)果r=3,及 它是此欠定方程的一個特解。第25頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.1

網(wǎng)絡(luò)的矩陣分割和連接在電路設(shè)計中，經(jīng)常要把復(fù)雜的電路分割為局部電路，每一個電路都用一個網(wǎng)絡(luò)‘黑盒子’來表示?！诤凶印妮斎霝閡1，i1，輸出為u2，i2，其輸入輸出關(guān)系用矩陣A來表示（如圖7.1所示）：A是22矩陣，稱為該局部電路的傳輸矩陣第26頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)兩個串接的子網(wǎng)絡(luò)。第一個子網(wǎng)絡(luò)包含電阻R1，第二個子網(wǎng)絡(luò)包含電阻R2，列出第一個子網(wǎng)絡(luò)的電路方程為：由得矩陣方程第27頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)（續(xù)）由第二網(wǎng)絡(luò)：寫成矩陣方程為：整個電路的傳輸矩陣為兩者的乘積第28頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.2

用逆陣進(jìn)行保密編譯碼在英文中有一種對消息進(jìn)行保密的措施，就是把英文字母用一個整數(shù)來表示。然后傳送這組整數(shù)。這種方法是很容易根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率來破譯，例如出現(xiàn)頻率特別高的數(shù)字，很可能對應(yīng)于字母E。可以用乘以矩陣A的方法來進(jìn)一步加密。假如A是一個行列式等于±1的整數(shù)矩陣，則A1的元素也必定是整數(shù)。而經(jīng)過這樣變換過的消息，同樣兩個字母對應(yīng)的數(shù)字不同，所以就較難破譯。接收方只要將這個消息乘以A1就可以復(fù)原。第29頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.3

減肥配方的實現(xiàn)設(shè)脫脂牛奶的用量為x1個單位（100g），大豆面粉的用量為x2個單位，乳清的用量為x3個單位，表中的三個營養(yǎng)成分列向量為：使這個合成的營養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，得到

第30頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.4

彈性梁的柔度矩陣設(shè)簡支梁如圖7.3所示，在梁的三個位置分別施加力f1，f2和f3后，在該處產(chǎn)生的綜合變形為圖示的y1，y2和y3，通常稱為撓度。根據(jù)虎克定律，在材料未失去彈性的范圍內(nèi)，力與它引起的變形呈線性關(guān)系，可以寫出：矩陣中的元素d為單位力f引起的撓度，它愈大，表明這個梁愈柔軟。

第31頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字實例設(shè)柔度矩陣（1）在1，2，3處施加的力為30，50和20試求出其撓度。（2）要在3處產(chǎn)生0.4撓度，其他兩處為零，求應(yīng)加的力。

程序ag764D0.001*[5,2,1;2,4,3;1,3,6] %輸入柔度矩陣f[30;50;20], yD*f （排齊）%給定力，求撓度y1[0;0;0.4] %給定撓度，Kinv(D),f1K*y1 %求剛度矩陣,求力第32頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月梁的剛度矩陣計算柔度矩陣的逆就是剛度矩陣K，KD1，其中第33頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7.6.5

網(wǎng)絡(luò)和圖圖為1，2，3，4四個城市之間的空運(yùn)航線，用有向圖表示。則該圖可以用下列航路矩陣表示：經(jīng)過一次轉(zhuǎn)機(jī)（也就是坐兩次航班）能到達(dá)的城市，可以由鄰接矩陣的平方A2A1^2來求得。

第34頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月第8章用向量空間解方程組8.1向量和向量空間二維空間R2中的向量用兩個沿列向的元素表示u=[2;4];v=[3;-1];plot([2,3],[4,1],’x’);holdon %若用中的子程序drawvec，drawvec(u);holdon drawvec(v,’g’);holdoff 第35頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月二維向量張成的空間平面上的任何一點(diǎn)[w1;w2]是不是一定能用u和v的線性組合來實現(xiàn)？即是不是一定能找到一組常數(shù)[c1,c2]，使得c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v張成的子空間，在所給的u和v下，它是一個平面。若u和v兩個向量的各元素成簡單的比例關(guān)系，合成的向量只能在一根直線上，不可能張成整個二維平面。這種情況下，稱這兩個向量u和v是線性相關(guān)的。

第36頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月2．三維空間中的向量若v1,v2和v3都是三維空間的列向量?？梢杂每臻g坐標(biāo)中的三個點(diǎn)，或從坐標(biāo)原點(diǎn)引向這三點(diǎn)的箭頭來表示。用矩陣代數(shù)表示如下如果三個基本向量之間線性無關(guān)，那么它們的線性組合可以覆蓋（張成）整個三維空間。如果三個向量共面，即相關(guān)，就不能張成三維空間。判斷三個向量的線性相關(guān)性，可用行列式。第37頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月三維空間向量的相關(guān)性即看三向量并列所得矩陣的行列式det(A)=0相關(guān)det(A)≠0不相關(guān)行列式的幾何意義:在二維是兩個向量組成的平行四邊形面積，在三維是三個向量組成的平行六面體的體積。第38頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式的幾何意義二維三維det(A)=右圖平行六面體的體積(v1,v2)(u1,0)a2+a1,a3張成的平面a1,a3張成的平面a3a2a10第39頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月n維向量的相關(guān)性在進(jìn)入三維以上的空間時，已經(jīng)沒有可與面積、體積直接相當(dāng)?shù)母拍羁捎昧?，所以采用了秩的概念。如果A的行列式為零，也就是它的秩r小于n時，說明這n個向量是線性相關(guān)的。秩的概念也概括了面積存在（r2）和體積存在（r3）的意義，因此，它是更高度的抽象。第40頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.2向量空間和基向量若r個向量是線性無關(guān)的，則它們的線性組合的全體V就構(gòu)成了r維空間Rr

。如果它不是空集，則V稱為向量空間。生成V的r個線性無關(guān)的向量v稱為基向量或基（Basis）。當(dāng)rn時，給定的n個向量就是一組基。如果rn，那就要在n個向量中選出r個線性無關(guān)的向量。用秩的概念還無法判定哪些向量是線性無關(guān)的，這時又要藉助于把矩陣簡化為階梯形式的方法。第41頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.2求四個五維向量的子空間這四個向量組成的矩陣如右，對它進(jìn)行行階梯簡化。程序為：A[4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1][U0,ip]rref(A)得到ip=1,2,4其三個樞軸列對應(yīng)的就是三個線性無關(guān)的列向量。第42頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月三個向量空間位置演示程序三維空間中，為了觀察三個向量的空間關(guān)系，ATLAST手冊還提供了一個演示程序viewsubspaces(u,v,w)，它用藍(lán)色直線顯示向量u，同時用紅色顯示v和w所組張成的平行四邊形平面，畫在同一張立體圖上。例如： u=[-1;1;8];v=[5;-4;7];w=[-3;1;-5];

viewsubspaces(u,v,w),gridon

三個向量的起點(diǎn)都是xyz0的原點(diǎn)。要看清其幾何意義，還是需要一定的空間想象力。

第43頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月三個向量的空間關(guān)系第44頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.3w是否在v1,v2,v3的空間內(nèi)設(shè)w是否能由v1,v2,v3的線性組合構(gòu)成的問題，取決于線性方程組 解的存在性。

v1=[7;-4;-2;9];v2=[-4;5;-1;-7]; v3=[9;4;4;-7];w=[-9;7;1;-4]; v=[v1,v2,v3];c=v\w %把基向量組成矩陣v求解

也可以按det(v)是否為零進(jìn)行判別

第45頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3向量的內(nèi)積和正交性在三維空間中，x和y兩個向量的內(nèi)積定義為[x,y]x1y1x2y2x3y3。m維情況可以寫成這是一個標(biāo)量。向量x與自己求內(nèi)積：得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的長度（或模、或范數(shù)norm）。第46頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)積的幾何意義在平面情況，兩向量的內(nèi)積除以它們的長度是它們夾角的余弦，可以利用下圖證明。根據(jù)余弦定律，最后得到此結(jié)果可推廣到高維空間，只是被抽象化了：第47頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.4基向量長度規(guī)一化和夾角例8.4求例8.3中的單位基向量v01,v02,v03，并分別求它們之間的夾角。解：解題的程序為ag822：

v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v1), theta12=acos((v1'*v2)/(norm(v1)*norm(v2))) theta13=acos((v1'*v3)/(norm(v1)*norm(v3))) theta23=acos((v3'*v2)/(norm(v3)*norm(v2)))第48頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月正交基向量的生成兩向量x，y正交的條件是它們的內(nèi)積為零。給出向量求正交基常用施密特算法，ATLAST手冊中給出了相應(yīng)的程序gschmidt。調(diào)用時鍵入[Q,R]=gschmidt(v)，Q就是單位正交基向量e。MATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法編成了正交分解子程序qr.m，它將v分解為Q和R兩個矩陣的乘積。調(diào)用方法為：

[Q,R]qr(v)Q就是mm單位正交矩陣。第49頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月基向量正交化的schmidt公式得到qi(i1,2,…,k)后，再把它們除以norm(qi)，就可歸一化為單位向量ek。第50頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月基向量正交化的schmidt子程序function[Q,R]=gschmidt(V) [m,n]=size(V);R=zeros(n); R(1,1)=norm(V(:,1)); Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1); fork=2:n

R(1:k1,k)=Q(:,1:k1)'*V(:,k); Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:k1)*R(1:k1,k); R(k,k)=norm(Q(:,k)); Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k); end第51頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月求單位正交基向量的例例8.5對于例8.3的數(shù)據(jù)，求其規(guī)范化正交基向量e1,e2,…,en。解：程序為

V[7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7] [Q,R]qr(v) %或[Q,R]gschmidt(v) eQ(:,[1:3])得到：第52頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.4齊次方程Ax=0的解空間設(shè)有m個方程和n個變量，A的秩是r，則經(jīng)過行簡化后得到的行階梯矩陣U的有r個樞軸元素，非樞軸元素有nr個。因此該方程的全解將等于Axb的一個特解加上其齊次方程Ax0的通解。本節(jié)將從向量空間的視點(diǎn)來討論它的解，因為通解是nr階的無窮的集合，所以要研究解所張成的向量空間。Ax0意味著這些解x的集合經(jīng)過矩陣A變換后都映射到像空間的零點(diǎn)，所以英文把此解所張成的空間稱為NullSpace，直譯為‘零空間’。我國的通用譯名為‘解空間’或‘基礎(chǔ)解系’，我們覺得用‘齊次解空間’較為準(zhǔn)確。第53頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程Ax=0解空間的例例8.6試求下列系數(shù)矩陣的齊次解空間：解：輸入A，并求出它的簡化行階梯形式，鍵入[u0,ip]rref(A)，得到

ip[1,3]第54頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次解空間的例（續(xù)）其通解可以看成三個向量的線性組合這個式子就表示了一個三維的向量空間，在這個空間中所有的向量都能使Ax0。所以它被稱為齊次解空間或零空間。

第55頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月求齊次解空間的子程序這樣齊次解空間的mis系數(shù)矩陣N可以用下面的程序來自動完成：

functinN=nulspace(A) [m,n]=size(A); [U0,ip]=rref(A) is=1:n;is(ip)=[]; N(ip,:)=-U0(1:rank(A),is); N(is,:)=eye(n-rank(A))MATLAB中的子程序為N=null(A).第56頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月計算例題8.7系數(shù)矩陣A如右，求Ax0的通解。解：程序ag842先輸入A，再鍵入vnulbasis(A)%或v=null(A,’r’)’r’表示用有理分式的 基向量得到都是三個分量并列，

v=[v1,v2,v3]第57頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.5解超定方程的思路有時用向量空間的方法可以更為簡捷地推導(dǎo)公式，超定方程的解就是一個例子。既然我們已討論了‘適定’方程組和‘不定’方程組的求解方法，自然會提出如何解‘超定’方程組的問題。工程問題都可以允許方程有誤差，把一組解代入方程后，每個方程都有誤差；要找誤差在一定意義下的總和為最小的解。在這樣的思路引導(dǎo)下，就產(chǎn)生了超定方程求解的方法。第58頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差線性方程組的建立引入誤差向量e。

eAxb 寫出其完全的矩陣形式如下問題是，找到解x，使e的長度或范數(shù)為最小。第59頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月從向量空間的視點(diǎn)分析研究例6.1的超定方程組（d）：改寫成 簡寫為選擇不同的x1和x2將得到不同的合成向量A*xx1v1x2v2q，q必定處于v1和v2張成的平面之內(nèi)。而方程中的b則一般不會在這個平面內(nèi)，第60頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月本例的向量空間圖這時最近似的解就應(yīng)該是該平面上與b點(diǎn)最近的點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)A*xhat。它應(yīng)該是b點(diǎn)向v1和v2張成的平面的投影。所以和b的連線應(yīng)該和v1和v2張成的平面垂直，也就是說必須分別與v1和v2正交。如圖8.6所示。第61頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘解的公式推導(dǎo)A*xhat和b的連線向量應(yīng)該是這兩個向量之差，即 ，它與v1和v2正交的要求可以分別表示為： 和 綜合在一起可以寫成：最后得到公式第62頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘解的數(shù)字例例8.求題6.1(d)方程組的最小二乘解。解：MATLAB程序ag808如下：

A=[1,1;1,1;1,2],b=[1;3;3] xhat=inv(A’*A)*A’*b e=A*xhatb,norm(e)

運(yùn)行此程序，得到第63頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月MATLAB中超定方程的解在MATLAB中，把運(yùn)算(ATA)-1AT單獨(dú)編成一個子程序，稱為pinv函數(shù)。求最小二乘解的公式可以寫成xpinv(A)*b，與‘適定方程’的解xinv(A)*b非常相似，只是pinv函數(shù)并不要求A是方陣。最小二乘解也可用‘\’運(yùn)算符表示，這就把‘欠定方程’、‘適定方程’和‘超定方程’用統(tǒng)一的運(yùn)算格式：

xA\bMATLAB會自動根據(jù)系數(shù)矩陣A的行數(shù)m和列數(shù)n，來判斷采用哪個方法和程序。不過對于欠定方程，這個式子只給出了一個特解，沒給通解。第64頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字實例8.9：實驗數(shù)據(jù)處理例8.9設(shè)在某一實驗中，給某元件加[1,2,3,4,5]v電壓，測得的電流為[0.2339，0.3812，0.5759，0.8153，0.9742]ma。求此元件的電阻。解：設(shè)直線的方程為yc(1)xc(2)，待定的系數(shù)是c(1)，c(2)。將上述數(shù)據(jù)分別代入x，y，把這五個方程聯(lián)立，用矩陣表述：第65頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月實驗數(shù)據(jù)處理實例寫成datax*c(1)ones(N,1)*c(2)datay其中datax，datay都是5行數(shù)據(jù)列向量，這是5個一次代數(shù)方程，含兩個未知數(shù)，方程數(shù)超過未知數(shù)的數(shù)目，是一個超定方程，解的程序如下：A[datax,ones(N,1)];Bdatay;cA\B第66頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8.6.1

價格平衡模型單位消耗列向量vi表示第i個部門每產(chǎn)出一個單位產(chǎn)品中，本部門和其他各個部門消耗的百分比。于是總的價格平衡方程可以寫成為：(I–V)p=0此等式右端常數(shù)項為零，是一個齊次方程。它有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。